西经课后题(课后大题-期末).doc

1、5假定某消费者关于某种商品的消费数量 与收入 M 之间的函数关系为 M100 Q2。求：当收入 M6 400 时的需求的收入点弹性。解：由已知条件 M100 Q2，可得：于是有：进一步，可得：观察并分析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数 Ma 2（其中 a0 且为常数）时，则无论收入 M 为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于 1/2。6假定需求函数为 MP N ，其中 M 表示收入，P 表示商品价格，N（N0）为常数。求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。解：由已知条件 MP N 可得：由此可见，一般地，对于幂指数需求函数 （P）MP N 而言，其需求的价格点弹性总等于幂指数的绝对值 N

2、。而对于线性需求函数 （M）MP N 而言，其需求的收入点弹性总是等于 1。7假定某商品市场上有 100 个消费者，其中，60 个消费者购买该市场 的商品，且31每个消费者的需求的价格弹性均为 3；另外 40 个消费者购买该市场 的商品，且每个消费2者的需求的价格弹性均为 6。求：按 100 个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？解：令在该市场上被 100 个消费者购买的商品总量为 ，相应的市场价格为 P。根据题意，该市场 的商品被 60 个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是313，于是，单个消费者 i 的需求的价格弹性可以写为：即： （1）且： （2）相类似地，再根据题意，该市场

3、 的商品被另外 40 个消费者购买，且每个消费者的32需求的价格弹性都是 6，于是，单个消费者 j 的需求的价格弹性也可以写为：即： （3）且： （4）此外，该市场上 100 个消费者合计的需求的价格弹性可以写为：将（1）式、 （2）式代入上式，得：再将（2）式、 （4）式代入上式，得：所以，按 100 个消费者合计的需求的价格弹性系数是 5。8假定某消费者的需求的价格弹性 ed1.3，需求的收入弹性 eM2.2。求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降 2对需求数量的影响。（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高 5对需求数量的影响。解：（1）由于 ，于是将 ， 2%代入，有：dQ

4、eP1.3deP；1.30.2602ddQ所以在其他条件不变的情况下，价格降低 2%使需求增加 2.6%。（2）由于 ，于是有：；因此，其他条件不变收入提高 5%时，需求增加 11%。9假定在某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂商的需求曲线为 PA200Q A，对 B 厂商的需求曲线为 PB3 000.5Q B；两厂商目前的销售量分别为 QA50，Q B100。求：（1）A、B 两厂商的需求的价格弹性 edA和 edB各是多少？（2）如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为 QB160，同时使竞争对手 A厂商的需求量减少为 QA40。那么，A 厂商

5、的需求的交叉价格弹性 eAB是多少？（3）如果 B 厂商追求销售收入最大化，那么，你认为 B 厂商的降价是一个正确的行为选择吗？解：（1）关于 A 厂商：由于 PA200Q A20050 150，且 A 厂商的需求函数可以写成：QA 200P A于是， A 厂商的需求的价格弹性为： 3501)(Ade关于 B 厂商：由于 PB3000.5 QB3000.5100250，且 B 厂商的需求函数可以写成：QB 6002P B于是，B 厂商的需求的价格弹性为： 250().1dBe（2）令 B 厂商降价前后的价格分别为 PB 和 PB，且 A 厂商相应的需求量分别为 A 和 A，根据题意有： A 5

6、0 A40因此， A 厂商的需求的交叉价格弹性为：（3）由（1）可知，B 厂商在 PB 250 时的需求的价格弹性为 edB5，也就是说，对B 厂商的需求是富有弹性的。对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B 厂商将商品价格由 PB 250 下降为 PB220，将会增加其销售收入。具体地有：降价前，当 PB250 且 QB 100 时，B 厂商的销售收入为：降价后，当 PB20，且 Q B100，B 厂商的销售收入为：显然， ，即 B 厂商降价增加了它的销售收入，所以，对于 B 厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。12.假定某商品销售的总收益函数为

7、 TR120Q3Q 2。求：当 MR30 时需求的价格弹性。解答：由已知条件可得MR 1206Q 30(1)dTRdQ得 Q15由式(1)式中的边际收益函数 MR1206Q ，可得反需求函数P1203Q(2)将 Q15 代入式(2) ，解得 P75，并可由式(2)得需求函数 Q40 。最后，根据需P3求的价格点弹性公式有e d dQdPPQ ( 13)7515 5313.假定某商品的需求的价格弹性为 1.6，现售价格为 P4。求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加 10% ？解答：根据已知条件和需求的价格弹性公式，有e d 1.6QQPP 10%P4由上式解得 P0.25。也就是说，当该

8、商品的价格下降 0.25，即售价为 P3.75 时，销售量将会增加 10%。2. 假设某消费者的均衡如图 31(即教材中第 96 页的图 322)所示。其中，横轴 OX1和纵轴 OX2 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，线段 AB 为消费者的预算线，曲线图 31 某消费者的均衡U 为消费者的无差异曲线，E 点为效用最大化的均衡点。已知商品 1 的价格 P12 元。(1)求消费者的收入；(2)求商品 2 的价格 P2；(3)写出预算线方程；(4)求预算线的斜率；(5)求 E 点的 MRS12 的值。解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品 1 的数量为 30 单位，且已知P12

9、元，所以，消费者的收入 M2 元3060 元。(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品 2 的数量为 20 单位，且由(1) 已知收入 M 60 元，所以，商品 2 的价格 P2 3 元。M20 6020(3)由于预算线方程的一般形式为P 1X1P 2X2M所以，由(1)、(2) 可将预算线方程具体写为：2X 13X 260。(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为 X2 X120。很清楚，预算线的斜率为 。23 23(5)在消费者效用最大化的均衡点 E 上，有 MRS12 ，即无差异曲线斜率的绝对值即P1P2MRS 等于预算线斜率的绝对值 。因此，MRS 12 。P1P2 P1P2 2

10、36假定某消费者的效用函数为 Ux 13/8x25/8，两商品的价格分别为 P1，P 2，消费者的收入为 M。分别求该消费者关于商品 l 和商品 2 的需求函数。解：建立拉格朗日函数： 12112(,)(,)()LxM即35812(,)LxxPx令 ，0得： 528113()x3822()0Px1M由联立可得： 1235,8xP此即为二者的需求函数。7令某消费者的收入为 M，两商品的价格为 P 、P 2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为a。求：该消费者的最优商品消费组合。解：据题意，可知预算方程为： ，预算线斜率为12xy12P由于无差异曲线是直线，且斜率为a，所以无差异曲线斜率的绝

11、对值为：。 adXMRS1212所以，该消费者的最优商品消费组合为：（1）当 时，边角解是预算线与横轴的交点，如图 3-9（a）所示。12Pa这时， 0y由预算方程得： 1MxP即最优商品组合为 1(,0)（2）当 时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图 3-9（b）所示。2aP这时， 0x由预算方程得： 2My即最优商品组合为 2(0,)P（3）当 时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点。12a（a） （b） （c）图 3-9 最优商品组合8假定某消费者的效用函数为 ，其中，q 为某商品的消费量，M 为收入。求：（1）该消费者的需求函数。（2）该消费者的反需求函数。（3）当

12、 q4 时的消费者剩余。解：（1）由题意可得，商品的边际效用为： 0.5UM货币的边际效用为： 3于是，根据消费者均衡条件 ， 有：p0.53qp整理得需求函数为 q 216p（2）由需求函数 q 可得反需求函数为：2316p（3）由反需求函数 可得消费者剩余为：16pq将 p ,q4 代人上式，则有消费者剩余：123已知生产函数 ，假定厂商目前处于短期生产，22(,)0.5.QfLKLK且 K10 。（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TPL函数、劳动的平均产量 APL函数和劳动的边际产量 MPL函数；（2）分别计算当劳动的总产量 TP、劳动的平均产量 AP 和劳动的边际产量 MP

13、L各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；（3）什么时候 APLMP L？它的值又是多少？解：（1）将 K10 代入生产函数 中，2(,)0.5.QfKLK得： 20.50Q于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数 20.50LTPL劳动的平均产量函数 A劳动的边际产量函数 2LM（2）令 ，解得0LP0即当劳动的投入量为 20 时，劳动的总产量 TPL 达到最大。令 ，解得 （负值舍去） 25.LA1L且有所以，当劳动投入量为 时，劳动的平均产量 APL 达到最大。0由劳动的边际产量函数 可知， 0，边际产量曲线是一条斜2LMP1P率 为负的直线。所以边际产量函数

14、递减，因此当劳动投入量 时劳动的边际产量 MPL达到极大值。（3）当劳动的平均产量 APL达到最大时，一定有 APLMP L，即 ，得：50.2L210此时 APLMP L10。12令生产函数 f（L，K） 0 1（LK） 1/2 2K 3L，其中0 i1，i0，1，2，3。（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解：（1）f（L，K） 0 1（LK） 1/2 2K 3L则 20123(,)()()()LK120130()(1)L0,fLK如果该生产函数表现出规模报酬不变，则 ,这就意味着对于任何常(,)()fKf

15、数 0 都必有 ，解得 。0(1)0可见，当 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。0（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为 ，这时有：123(,)()fLKKL123(,)LdfKMPL12(,)Kfd03124LP0KMd这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。13已知某企业的生产函数为 L 2/3K1/3，劳动的价格 w2，资本的价格 r1。求：（1）当成本 C3 000 时，企业实现最大产量时的 L、K 和 的均衡值。（2）当产量 800 时，企业实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：其中w2，r 1

16、于是有：整理得： 即：KL再将 KL 代入约束条件 2L1K3 000，有：2LL3 000解得：L*1 000且有：K*1 000将 L*K*1 000 代入生产函数，求得最大的产量： *（L*） 2/3（K*） 1/31 000 2/3 + 1/31 000以上结果表明，在成本为 C 3 000 时，厂商以 L*1 000，K*1 000 进行生产所达到的最大产量为 *1 000此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对 L、K 和 求偏导，得极值的一阶条件：由式、式可得：，即 KL将 KL 代入约束条件即式，可得：3 0002LL0解得 L*1 000且有 K*1

17、000再将 L*K*1 000 代入目标函数即生产函数，得最大产量： *（L*） 2/3（K*） 1/31 000 2/3 + 1/31 000在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：其中 w2，r 1于是有：整理得： 即：KL再将 KL 代入约束条件 L2/3K1/3800，有：L2/3L1/3800解得 L*800且有 K*800将 L*K*800 代人成本方程 2L1KC，求得最小成本：C*2L *1K *28001 8002 400本题的计算结果表示：在 800 时，厂商以 L*800，K*800 进行生产的最小成本为 C* 2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。将拉格朗日函数分别对 L、K 和 求偏导，得极值的一阶条件：