级数求和的常用方法.doc

1、1.7 方程式法 .31.8 原级数转化为子序列求和 .31.9 数项级数化为函数项级数求和 .31.10 化数项级数为积分函数求原级数和 .41.11 三角型数项级数转化为复数系级数 .41.12 构造函数计算级数和 .51.13 级数讨论其子序列 .51.14 裂项法求级数和 .61.15 裂项 +分拆组合法 .71.16 夹逼法求解级数和 .72 函数项级数求和 .82.1 方程式法 .82.2 积分型级数求和 .82.3 逐项求导求级数和 .92.4 逐项积分求级数和 .92.5 将原级数分解转化为已知级数 .102.6 利用傅里叶级数求级数和 .102.7 三角级数对应复数求级数和

2、.112.8 利用三角公式化简级数 .122.9 针对 2.7 的延伸 .122.10 添加项处理系数 .122.11 应用留数定理计算级数和 .132.12 利用 Beta 函数求级数和 .14参考文献 .151级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个 的极限和.加之级数能求和的本身就n困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1 数项级数求和1.1 等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其

3、公差，并运用公式可求和.，其中 为首项， 为公差11()2nansad） 1ad证明： ， 12=+.ns21s=+.n+得： 2-1()a）因为等差级数 1.nn所以 此证明可导出一个方法“首尾相加法”见 1.2.(2s）1.2 首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.例 1:求 .01235.(1)nnncc解： ， ，两式相加得：ns 210(21).53nnscc，即：21012().)(nncc.01235(nnnc1.3 等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当 =1， ；当 1，

4、 ，其中 为首项， 为公比.q1snaq1()naqs1aq证明：当 =1，易得 ，1当 1， ， ，q1=+.nsaq211=+.nqsaaq-得 .可以导出一种方法“错位相减”见下 1.41()21.4 错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比 ，再与原级数四则运算后q化为等差或等比级数求和.例 2：计算 .12n解： ， ，35ns21351.ns-得： ， =3.12 122nnnkkkns 11232nnnnlimns1.5 蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例 3：计算 .1(2

5、2)ni ii解：将各项展开可得：(12)(34).(1)(21)(2)s nnnn，所以 .-+21nlim-s1.6 有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例 4：计算 .1()1)nn解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项，对其分母有理化得：()na，则原级数可以采用本文中的 1.5“蕴含111-()()nnn 分 母 有 理 化型级数相消法” ，则可以快速求得级数和的极限为 1.1.7 方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过

6、解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例 5：计算 ，其中 .2coss.cosnqq1q解：记 = 2.=n1cosnk3两边同时乘以 得cos2q+1+1=cos2cos+cos-1)nnkk kqq （ ） （即： 1 22cos)(s)n nqq（ ）（解此方程得：212cs(cosnq.22limcos1nq1.8 原级数转化为子序列求和若下列条件成立 1:（1）当 时级数的通项 （2）级数各项没有破坏次序的情况而得n0na新序列 收敛于原级数 .n1b例 6：计算 .111+-+-+

7、-2345627893（ ） （ ） （ ）解： ，应用欧拉公式 ，其中 为欧拉常数，lim0na.ln3cec0()ne1.-1.sn， .3lne-lins1.9 数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例 7：求级数和 .135.nn（ 2-1）解：建立函数项级数 由函数敛散性知识可知其收敛域为211().nnsxx（ -），将函数项级数逐项求导可得： = (,) 21()35.nns x（ -），由此可知 满足微分方程211 ()35.nnxxx （ -） ()sx，且易知 ，解此常微分方程得：()s(

8、0)s，令 则可以求出原级数和： .2210xtde1x210sted41.10 化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数n与积分式子的桥梁.例 8：计算 ，其中 .1kn()n解：记 .1011lim=ln2+nnkk dxs 分 子 分 母 同 时 除 以 构 造 分 割建 立 级 数 与 积 分 的 桥 梁1.11 三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级

9、数进而求原级数和.例 97：设 ，求 .2coss.cos= nqqs解：由于 ，令 为复数，其中1nk(in)ize0,12.k，其中 ，得：(cosi)kikzqe1,2.k12 20+.(cosin)(cosin2)+nknzzqq3 23s(cosi3).(cosi)1nqq而另一方面2.+(sii.nn =11c+)s()(oinzq21-cosq +12s)()in(1)sinnq 212ic(sisisconq AA取实部对应原级数和即得：即：12211(oscs()s)-cosnnqsqq1122 ocnnq当 ，且 时 .nq22limcsnq1.12 构造函数计算级数和将级

10、数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统5一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例 107：请计算下面的级数式子：记，其中 .23=1-+.)11nttts（ ） ( 1t-解：构造函数式子： ,此函数在 单调递减.()xxef0,)由于 ，0001ln(1)|ln21xxxede令 ，满足 =0lnht1limlitth， .l1t eteAln()()11ktkhkteef代入题目中的级数式子得： =231li-+.)nttt

11、t（ ） (+= .01lim()hhkef001lim()l21hxhkeefd1.13 级数讨论其子序列引理 1：数列 收敛的充分必要条件是 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数nsns列 收敛于 的充分必要条件是两个互补的子列 , ,收敛于同一极限.推广可得：定理 1：ns 21ns若级数 通项满足当 时， （收敛判别的必要条件） ， 收敛于 的充分必要条1na0na1nas件是：部分和 的一个子序列 收敛于 ，其中 满足： 是某个正整数 =1，2，nsnpsspp将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序

12、列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和 1.6 的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例 116：计算： .12cos3n解：记 ，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解1cs2n6为： ， ， .1|3,01,2.Ank2|31,0,2.Ank3|2,01,Ank则： 12302coscoscoscos=+nnnnAAA33132000cscs2kkk（ ） 12cos+s()43kk3=01（ （ ） ） 2

13、，所以： .5(1)487A137ns1.14 裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出.裂项一般形式： ，此处 .11()()+xmnxmnn例 12：计算 .234()2sAA解:记 ，1()nan112()()nan针对 同理采用裂项法记 则 =1()k(1)nb1()nk1()()+.)23456 裂 项 后 后 面 项 可 以 消 去 前 面 项 部 分这 就 是 裂 项 法 的 好 处 ！， ，所以1-n1lim

14、li-1()nnk=1 1li li()2()(2)n nk kk= .11lili(2()2nnkk141.15 裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例 13：计算 .1()+2nn（ 3）7解： 1235+(+1)2nn（ ）=1 1 1)()233(+)2n n nn （ ） （ ）.5)3461.16 夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例 148：设 为一给定的正整数，求 .m21,nm解：12221, 1N

15、mNnmnns11 . (2 )mnn 11(. .)22N且 时， ，且+mNN2li0+1N，所以 ，即li0+223li04mNs221, 34nm2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.x2.1 方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例 15：计算函数项级数23456()1.124xxsxAA解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为 ，逐项求导得 即：3 2()1.sx()()sxs0解此微分方程得： .220()1)xted2.2 积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通

16、常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.8例 16：计算级数 .(21)0|sinco|xkxed解：因为 ，作变量替换 得：(,x） ） tk2(21) (2 20 0|sinco|sinco|sinco|=t tk kt tededed ）再根据： 得：2 2|is| i(si)nnt tt tC=( 42 220 04|sico|incosicost t tkt ttededed ）= .24204sin|si|t te 48824204i|sin|sin2t t te所以原级数=

17、.820incos1tktde 2.3 逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。泰勒定理 1：若函数 在 的某领域内存在 阶的连续导数，则 = ()fx01n()fx，这里 是拉格朗日余项即 () 2000 00()(+.)()nfxfxfx Rx！ ！ n.设 在区间 内等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一(1)100)nnnfR！ ()fx),(0r切满足不等式 的 ，有 ，上式右边称为 在 处的泰勒展开式.由泰勒0|xrlim)nR)(xf0展开式可知右

18、边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已知以级数和像求 的方向行进，()fx找准各阶对应的导数形式，并按泰勒级数的样子提炼出 .但在实际应用中 在 处的级数()fx0应用较多，称为麦克劳林级数.而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.例 17：求解 .410()nxsx解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为-1,1,将级数逐项求导可得：