“希望杯”全国数学邀请赛初一试题的研究【毕业设计】.doc

1、本科毕业设计（20届）“希望杯”全国数学邀请赛初一试题的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】数学竞赛源起于1886年的法国，举办100多年以来，数学竞赛的一贯宗旨在于考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力，在现实意义上，它具有考查和选拔的双重功能。初一“希望杯”数学竞赛对培养初一学生的数学思想和数学求学理念具有广泛作用，因此本文就有关初一“希望杯”数学竞赛出现的题型，作出比较详细的统计，并对常见题型，作出讲解和归纳，希望对初一的学生有帮助。【关键词】希望杯；初一；数学竞赛。IIABSTRACT【ABSTRACT】MATHCOMPETITIO

2、NWASCOMEFROMFRANCEFROMTHELAST100YEARS,THEPURPOSESOFTHEMATHCOMPETITIONSARETESTINGTHEABILITIESOFAPPLYINGTHEMATHKNOWLEDGEANDSOLVINGPROBLEMSOFSTUDENTSINTHEREALSENSE,ITHASTHEBOTHFUNCTIONSOFTESTINGANDSELECTIONTHEJUNIOR“HOPECUP”MATHCOMPETITIONHASWIDELYFUNCTIONFORDEVELOPINGTHETHOUGHTOFMATHSO,INTHISPAPER,WEH

3、AVEDONESOMETHINGCOMPARATIVELYDETAILEDSTATISTICSTOTHECOMMONMOULDOFTHECOMPETITIONWEHOPEITCANDOMAKESOMEHELPTOTHESTUDENTS。【KEYWORDS】HOPECUP；JUNIORMATH；MATHCOMPETITION。III目录摘要IABSTRACTII目录III1引言12解读“希望杯”121“希望杯”对参赛学生的意义122历届“希望杯”比赛试题主要知识点123历届“希望杯”（初一）试题的布局情况23试题讲解431概念应用题5311对概念的直接应用5312对概念的理解及应用532字母题6

4、321字母间的规律探索6322合并同类项6323字母与数轴的结合633有理数运算7331一般的有理数化简运算及大小比较7332有理数运算的巧算7333其他与有理数有关的有理数运算834方程和不等式求解9341一元一次和一元二次的方程或不等式求解9342多元一次方程组和一元多次方程或不等式求解9343二项式展开初步9344其他与解方程有关的类型1035列方程解应用题11351单价问题11352相遇问题12353时钟问题12354流水问题13355工程问题13356其他类型应用题1336平面图形相关15361直线、射线、线段、对称轴、交点个数的计数15362线段长度和角度的计算15363三角形面积

5、求取及三边不等关系运用1637立体图形相关16371正方体展开16372立体图形中的边角问题17IV373三视图初步1838数论初步、定义运算及推理题18381几点知识点的补充18382数论初步20383定义运算21384推理题2139简单逻辑推理，线性回归及最优化、概率统计初步22391简单逻辑推理22392概率统计初步22393线性回归及最优化问题23310第十类英文题、图像理解题233101英文题233102图像理解234总结24参考文献25致谢错误未定义书签。1引言纵观国内，现阶段初中阶段的大型竞赛仅有希望杯和全国联赛两项赛事。作为最受师生欢迎的全国性数学邀请赛，“希望杯”数学竞赛举办

6、已有21年之久，其考察的知识点不偏不刁，对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利，且其对良好数学习惯和数学思想的培养有极好的促进作用，因此，“希望杯”自然地成为了学生课后提高冲刺的首选。出于“希望杯”被越来越多的师生接受的原因，越来越多的学者参与到对“希望杯”试题的研究上来，各种考前奥数突击班更是如雨后春笋般冒出来。因此，对初中“希望杯”试题的研究是有价值有意义的。以下是我对初一“希望杯”数学竞赛试题做的一些分类、总结、预测，希望对对“希望杯”有兴趣的学生有所帮助，也希望在这一方面的长者能给于中肯的建议。2解读“希望杯”21“希望杯”对参赛学生的意义“希望杯”数学竞赛的试题经过专家们近20

7、年的研究，分结合了数学课堂上的内容和课本以外的数学知识，并且在每一届的竞赛试题都充分体现了试题的不偏不刁，这样不仅巩固和扩大了学生在课内所学的知识，同时也激发了学生的求知欲望，提高了他们学习的兴趣，促进他们思维能力的发展，培养了良好的思维品质、探索精神和创造才能。“希望杯”分为“一试”和“二试”。“一试”以考察学校学习的基础知识和技巧为主，强调对学校学习基础的充分理解和运用，培养独立解决问题的能力。“二试”难度较高，需要补充一些课外知识点，并要求具有比较强的解题能力。这也就是说，只要学生平时认真掌握书本知识，并在学有余力的同时在此基础上认真思考，有良好的数学学习习惯和较好的逻辑思维，就可以在竞

8、赛中获奖。同时通过备战“希望杯”，也可以拓宽学生解题思路，增强逻辑推理能力、解题能力和运用数学知识解决实际问题的能力，帮助学生养成良好的学习习惯，掌握正确的学习方法，使得初一学生能很好地从小学过渡到初中。再者，对学校来说，参加“希望杯”不失为一个发现和发展学生的特长，选拔和培养智力超常的青少年的机会。22历届“希望杯”比赛试题主要知识点根据“希望杯”研究委员会的文件，规定初一“希望杯”的考察内容为1有理数的加、减、乘、除、乘方、正数和负数、数轴、绝对值、近似数的有效数字；22一元一次方程、二元一次方程的整数解；3直线、射线、线段、角的度量、角的比较与运算、余角、补角、对顶角；相交线、平行线；4

9、三角形的边（角）关系、三角形的内角和；5用字母表示数、合并同类项、去括号、代数式求值、探索规律、整式的加减；6统计表、条形统计图和扇形统计图、抽样调查、数据的收集与整理；7展开与折叠、展开图；8可能还是确定、可能性、概率的基本概念、简单逻辑推理；9整式的运算（主要是整式的加减乘运算，乘法公式的正用逆用）；10数论最初步、高斯记号、应用问题；11三视图、平面直角坐标系、坐标方法的简单应用；就因为“希望杯”数学竞赛不会超纲的特点，只要对对应的知识点进行有效地掌握，就可以在考试中取得理想的成绩。23历届“希望杯”（初一）试题的布局情况根据本人的理解，将试题分为以下十类，并对21届共42套题目类型作了

10、题型统计对所学概念的理解及应用；用字母表示数，合并同类项，探索字母间的规律，简单字母不等式及与数轴、绝对值有关的字母等式及不等式的化简；有理数的加减乘除、乘方运算、大小比较，有理数的近似数及科学计数法；一元多次方程、多元一次方程的整数解，解不等式，化简求值及二项式展开、多项式的加减及因式分解问题；列方程解应用题；直线、射线、线段、对称轴、角、交点、三角形个数的度量与计算，平面图形的坐标表示及三角形三边的不等关系的运用；平面、立体几何，及与之有关的面积、体积计算，立体图形的三视图的运用数论初步、定义运算及推理题；简单逻辑推理，线性回归及最优化问题；英文题、图像理解题。31990一试42725二试

11、113441991一试1414524二试82841992一试365141二试1712291993一试199434二试532191994一试321143123二试54112171995一试3781125二试43331261996一试24461224二试241561121997一试47541211二试42352151998一试3734215二试221543241999一试2683321二试2421131612000一试235142242二试252322522001一试225332142二试1131329122002一试212442612二试2111632522003一试122152822二试121

12、224832004一试262812121二试121421181242005一试135515311二试2133136132006一试1321122443二试3231128122007一试253224142二试413426212008一试1133325412二试1112186122009一试123313453二试3412135222010一试132524341二试114144413从统计的数据可以看出，初一“希望杯”举办20余年来，在题型和内容上基本保持了不变，但是在难度上却是明显加大了。从题型上看2000年之前的初一“希望杯”试题中没有简单逻辑推理，线性回归及最优化问题，英文题、图像理解及流程图

13、等的理解题，并且在前3届没有出现任何与平面或立体有关的题目，难点也仅仅只是一些巧算和奥数级的应用题；2000年后，首先是加进了英文题，这对初一学生来说，无疑是一种考验；再者，2003年后，加进了三角不等式，需要学生有很好的读题能力和数学转换思维；2004年后，又加进了立体图形的三视图，进一步需要学生良好的空间想像能了。从难题数量上看，2000年前，难度较大的题局限于数论初步的巧算题和常见的奥数应用题，比如时钟问题，追及问题，相遇问题，质量配比问题，售价调整问题等，2000年后，难度较大的题在原先的基础上，加进了空间立体图形解析，英文题，线性回归最优化等以上提到的一些题目类型，使考察内容变得更加

14、广泛。3试题讲解以下是对以上十类题型的分别讲解，考虑到题目有966题之多，下面只选取代表性题目进行罗列，并对部分题目作详细的解析。531概念应用题这一类题一般没有什么难度，从上一统计表格也可以看出，一试中必考这一类题，但二试中有几届就舍去了。这类题目主要是考基本功，但是有可能会有陷阱，所以要求学生必须对书本中所学知识作透彻的理解。311对概念的直接应用例1（1990年“希望杯”，一试）如果A，B都代表有理数，并且AB0，那么AA，B都是0BA，B之一是0CA，B互为相反数DA，B互为倒数解析根据相反数的定义，只有符号不同的两个数为相反数。因此两个相反数的和为0，答案为C。例2（2000年“希望

15、杯”，一试）已知3,2BA，则（）A2322NBMYAX和是同类项B3333YBXYXA和是同类项C15412BAYAXYBX和是同类项DABABMNNM525265和是同类项解析根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的次项的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。将3,2BA代入，很快可以知道只有C正确。312对概念的理解及应用例1（1990年“希望杯”，一试）下面的说法中正确的是A单项式与单项式的和是单项式B单项式与单项式的和是多项式C多项式与多项式的和是多项式D整式与整式的和是整式解析单项式和单项式的和可能为单项式、多项式或0；多项式和多项式的和可能为单项式、多项式、0。所

16、以只有D正确。例2（1990年“希望杯”，一试）有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身；乙正数的立方不一定大于它本身；丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身这四种说法中，不正确的说法的个数是A0个B1个C2个D3个解析负数的平方一定大于它本身；0的平方为0；大于0小于1的数的平方一定小于它本身；1的平方为1；大于1的数的平方一定大于它本身。大于1的负数的立方大于它本身；小于1的负数的立方6小于它本身；小于1的正数的立方小于它本身；大于1的正数的立方大于它本身。因此甲、乙、丁正确，答案选B。例3（1992年“希望杯”，一试）有理数1A的值一定不是（）（A）正整数（B）负整数（

17、C）负分数（D）0解析A可以取到不为0的任何值，由于分子为1，因此1A一定不会为0，答案为D。32字母题用字母表示数，合并同类项，探索字母间的规律，简单字母不等式及与数轴、绝对值有关的字母等式及不等式的化简这类题目类型有以下几类一、在所给字母为有理数的前提下，判断新的字母组合具有的性质；二、已知A，B之间的关系式，或是通过数轴能够确定所给字母的取值范围，求新的关系式的大小情况，或取值范围；三、用字母表示题目内容，将其转化为数学语言进行求解。321字母间的规律探索例11990年“希望杯”，一试如果A，B代表有理数，并且AB的值大于AB的值，那么AA，B同号BA，B异号CA0DB0解析根据题目意思

18、，ABAB，化简后可以得到B0，所以答案选D。例21990年“希望杯”，一试A代表有理数，那么，A和A的大小关系是AA大于ABA小于ACA大于A或A小于ADA不一定大于A解析由题目对A的限制仅仅是有理数，因此A和A可以为任何关系，因此答案选D322合并同类项例1（1995年“希望杯”，一试）已知AA2B2C2，B4A22B23C2，若ABC0，则CA5A23B22C2B5A23B24C2C3A23B22C2D3A2B24C2解析这是一道同类项合并的题，CAB,代入可得，222233CBAC，因此答案选C。323字母与数轴的结合例1（1990年“希望杯”，二试）观察图1中的数轴用字母A，B，C依

19、次表示点A，B，C对应的数,7则111,ABBAC的大小关系是A111ABBACB1BA2BA718解析这是一类将解方程和解不等式结合在一起的题目，先根据方程得到解，再根据题目要求解不等式，得到结果为D。例4（1997年“希望杯”，二试）设M2M10，则M32M21997_解析这是一类考得比较多的题目类型，算得上比较难的题目。解这一类题目的关键不是解方程，而是构造代入法。由012MM，得到MM1219981997219972119972199722223MMMMMMMM例5（1998年“希望杯”，二试）已知关于X的一次方程0783XBA无解，则AB是（）11A正数B非正数C负数D非负数例6（1

20、998年“希望杯”，二试）若关于X的方程032MX无解，043NX只有一个解，054KX有两个解，则KNM,的大小关系是（）AKNMBMKNCNMKDNKM解析这是一类方程解的情况类型的题，要使一元一次方程无解，则一次项前系数为0；要使绝对值方程无解，则只要使绝对值等于一个负值；要使绝对值方程有一个解，则只要使绝对值0；要使绝对值方程无解，则只要使绝对值等于一个正值；因此可以得到这两题的解分别为B，A。35列方程解应用题351单价问题例1（1995年“希望杯”，二试）某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每

21、公斤_元A26B25C24D23解析这是一道重新配置组合的单价问题，只要设总的钱为2S，那么均价2S/总的质量，即512322SSS均价,因此，答案选C。例2（2001年“希望杯”，一试）若进货价降低008而售出价不变，那么利润（按进货价而定）可由目前的P增加到10P，则原来的利润是解析根据公式，进货价进货价售价利润，那么，进货价进货价售价P929210进货价进货价售价P将、联立方程组，可以得到9292110PP）（，最后解得P为15。12352相遇问题例1解析例2（2000年“希望杯”，一试）甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇相遇后,甲、乙步行速度都提高了1千米/小时当甲

22、到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B两地的距离是_千米解析做相遇问题最好的方法是图示法，这样最容易看清楚条件，假设A、B之间的距离为S千米，那么，甲、乙第一次相遇共走了S千米，而之后的第二次相遇，却是走了2S千米，第一次相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时，因此，如果将甲、乙的共同速度记为V千米/小时，那么他们第一次相遇后的速度变为（V2）千米/小时,就有SV2,SV2603632,将上述2个方程联立方程组，可以得到S36。353时钟问题时钟问题是初一“希望杯”应用题中较难的一类，时钟问题不像其他问题

23、那样常见，而且初一学生对角的概念还不是很明确，经常会依靠死记来完成对部分知识的运用。因此，在这里我会做一些补充，方便接下来的讲解。其实，时钟问题在本质上是一种追及问题，因此我们只要了解时针和分针的速度就可以了。钟面的一周分为60格，共360，分针每小时走60格，每分钟走6，时针每小时好走5格，每小时走30，每分钟走05，所以时针的速度是分针速度的十二分之一，知道这些后，我们就可以开始做题了。例1（1996年“希望杯”，二试）从3点15分开始到时针与分针第一次成30角，需要的时间是_分钟解析3点15分时，分针与时针的夹角为156901550，即75，这时时针在分针前面，接下去分针会走到时针前面，

24、并形成与时针夹角为30的情形，那我们假设需要的时间为T分钟，那么就可以得到方程30905015615TT可以解得1175T。13354流水问题例1（1991年“希望杯”，二试）游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，继续前游20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶在桥A下游距桥A2公里的桥B下面追到了水壶那么该河水流的速度是每小时_公里解析流水问题也是比较常见的题目，主要考察学生的分析能力，因为游泳者在前进的同时，水还有流速。分析这道题可以分为2个部分，一个是水壶，遗失后只在水流作用下漂流，因此速度为水速X公里/小时，则这个过程的总时间也可以表示出来，TX2；另一个是游泳者，

25、假设游泳者自身游泳的速度为Y公里/小时,前20分钟，游泳者的真实速度为（YX）公里/小时,而当其返回追及时，速度为（YX）公里/小时,因此，可以得到方程6020226020XXYXY可以得到X3即水流的速度为3公里/小时。16（1996年“希望杯”，二试）快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是_秒解析这是一题比较有趣的水流问题的变形，相向而行，说明对任一一个乘客来说，另一个乘客的速度为两辆火车速度的和，假设这个速度为X米/秒,那么就有1506X,X25,因此，坐在快车上的人见慢车驶过

26、窗口所用的时间是825200秒。355工程问题15（2001年“希望杯”，一试）为使某项工程提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高0025，则原计划完成这项工程需要天解析这是一题比较难的工程问题，会给学生一种无从下手的感觉，其实只需要设原来的工作效率为X,所需时间为T,就可以得到方程XTTX20251解得T100。356其他类型应用题例1（1995年“希望杯”，二试）某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考14试与正式考试形式相同，都是25道选择题，第题答对记4分，答错或不答记0分并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考

27、试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得A80分B76分C75分D64分解析对初一学生来说，这道题如果要真正分析出来并且答对，难度非常大，因此它被设计为选择题。那么这道题应该怎么样分析呢，首先从字面上看，情境不难想象，要确保正式考试及格，那么必须答对15题，根据题目意思，正式考25题中，20题是模拟考中出现的，5题是新题，这5题他在考试中不一定做对，为确保及格，我们假设这5题都做不对，那么他必须从剩下的20题中寻求及格分。设他在模拟考试中，至少要得X分，也就是说至少答对了4X，那么他就有至多有425X题不会做。如果这些不会做的题都出现在了正式考中，那么他会做的题至少

28、为15题，也就是说1542520X，即80X，因此他至少得80分。例2（1990年“希望杯”，二试）甲杯中盛有2M毫升红墨水，乙杯中盛有M毫升蓝墨水，从甲杯倒出A毫升到乙杯里,0AM，搅匀后，又从乙杯倒出A毫升到甲杯里，则这时A甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定解析这是应用题中较难的一题，属于质量分数类的题。如果同时考虑甲、乙两个杯子，思路会比较混论，在此，我们只考虑乙杯中墨水的变化情况，对此进行分步分析第一次倒出后，乙杯中红墨水的比例为AMA，蓝墨水

29、的比例为AMM第二次倒出后，乙杯中红墨水量为AMMAAMAAA，倒出蓝墨水的量为AAMAAMMA。可以看出，乙杯中混入的红墨水的量和乙杯中倒出的蓝墨水的量是相同的，因此选C。其实也可以这样考虑经过两次的倒来倒去，甲杯中和乙杯中总的墨水量没有发生改变，对乙杯而言，无非是将一部分蓝墨水换成了红墨水，既然总的量没有发生变化，那两次倾倒结束后交换的墨水肯定也是一样多的。1536平面图形相关361直线、射线、线段、对称轴、交点个数的计数例1（2001年“希望杯”，一试）如图1，AOD是直角，AOBBOCCOD在图1所有的角中，45的角有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个例2（2001年“希望杯

30、”，一试）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为解析这类题目难度不大，数量关系一般都可以推导出来，当然，考生在考试的时候会直接用数的方法得到答案，这不失为一个最快的方法，但是往往容易数漏，所幸所有的这一类题目数量关系都不会太大，一般耗费的时间也不会太多。如例1，很快就可以得出答案为A。例2稍难一些，最少的时候所有的直线交于一点，因此交点数最少的时候只有1个；当直线两两之间都交于不同点时，推导公式为21NN，因此，当直线条数N6时，最多为15条。362线段长度和角度的计算角、交点、三角形个数的度量与计算，平面图形的坐标表示及三角形三边的不等关系的运用；例1（2000年“希望杯”，一

31、试）一个角的补角的13等于它的余角则这个角等于_度例2（2000年“希望杯”，二试）已知三个锐角的度数之和大于180，则一定有一个锐角大于（）（A）81（B）76（C）68（D）60解析角度计算在近几年的初一“希望杯”中出现频率还是较高的，但一般不会太难，重在考概念性的题目。例1较简单，在此不作讲解，答案为45。例2需要作简单的分析，根据题意，我们不妨设最大的锐角为X，那么其他2个角就肯定不会大于X，这样最理想的结果就是3个角都X，则可以得到不等式3X180，答案选D。例3（2000年“希望杯”，一试）如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC的长

32、度与线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为_DCBA16解析这题看似很复杂，其实分析清楚就知道，图中所有线段的长度之和为3ABCD23，因为线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，所以线段AB的长度也为正整数，同时2CDAB,又因为323CDAB,只要代入不多的数就可以解得CD2，AB7，那么AC3。例3（2010年“希望杯”，二试）如图1，一个凸六边形的六个内角都是120，六条边的长分别为A，B，C，D，E，F，则下列等式中成立的是AABCDEFBACEBDFCABDEDACBD解析这题证明较难，网上查到的解析一种是根据面积算，但是比较麻烦，而且证明比较繁琐；另一种就是证明等边三角形

33、的，这种方法比较可取，即延长A、C、E这3条边，使之两两相交，则可以证明得到的3个三角形都是正三角形，且最大的三角形也是三角形，由正三角形的性质，BCDFEDABF，因此答案选C。363三角形面积求取及三边不等关系运用例1（2001年“希望杯”，二试）用一根长为A米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为B平方米。现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米ABCD解析三角形面积的求取并不是很难，在“希望杯”中，一般采用经过变形的题目来考这一点，这其实是一题三角形面积求取的变形题，将3个顶点与P相连，可以得到3个三角形，假设点P到等边三角形三边距离之和为H，

34、那么就有BHA321，因此得到答案为C。37立体图形相关371正方体展开对正方体表面展开图的11种情况，参加过培训的学生都应该知道。现今在新课标初二的课本上会有与之相关的课程，大多数老师都会正方体表面展开图的11种情况将之补充归纳，以方便学生记忆。在此，我们只做简单介绍,为加深记忆，可编成如下口诀一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种。第一类主链4个，上下各一个，即一四一呈6种；图1FEDCBA17第二类主链3个，上2下1，即一三二有3种；第三类3行各2个和2行各3个，即二二二与三三各1种。例1、（2005年“希望杯”，一试）下列图形中经过折叠不能围成正方体的是例2、

35、（2007年“希望杯”，一试）韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图4（A）放置，然后又如图4（B）放置，则图4（B）中四个底面正方形中的点数之和为（）（A）11（B）13（C）14（D）16解析经过上述的内容补充，例1很快就知道答案为D；例2是一题推断题，有点难度，看到图A的第2、3两个图，4点同时与1点、3点、5点、6点相邻，再结合第一个图，知道4点与2点相对，再看图B的第2、3两个图，知道1点、3点分别与5点、6点对应，因此答案选D。372立体图形中的边角问题例1（2002年“希望杯”，一试）右图是一个三棱柱，在它的五个面内的18个角中，直角最多可达到_个。解析例1没有什么难度，只需

36、要使得3条侧棱垂直上下底面，并且使得上下底面的两个三角形是直角三角形即可，最多为14个直角。ABCD18373三视图初步例1（2008年“希望杯”，一试）如图所示的4个立体图形中，左视图是长方形的有（）个A、0；B、1；C、2；D、3；解析这类题目都不难，重点是考察这个知识点，答案选C。38数论初步、定义运算及推理题这类题对于初一的学生来说，大部分都是难题，因为初一的学生的分析能力还是比较弱的，当然理解能力也是解这一类题的关键，但是相信能参加比赛的学生的数学能力普遍不弱。对于这类题难点有二一、对数论初步知识掌握得不扎实；二、对某些定义运算不理解。381几点知识点的补充3811关于整除38111

37、特殊的1和011是任何整数的约数，即1可以整除任何数。20是任何非零整数的倍数，即0不能整除任何数。38112能通过割尾法判定整除性的几个数（7、11、13、17、19）。若一个整数的个位数字截去，再将余下的数，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续对得到的差做上述的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断147是否7的倍数的过程如下14720，所以147是7的倍数；又例如判断6146是否7的倍数的过程如下61462602，602256，所以6146是7的倍数，如此类推。若一个整数的个位数字截去，再将余下的数，减去个位数，如果差是11

38、的倍数，则原数能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续对得到的差做上述的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断1331是否11的倍数的过程如下1331132，13211，所以1331是11的倍数，如此类推。19若一个整数的个位数字截去，再将余下的数，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续对得到的和做上述过程，直到能清楚判断为止。例如，判断28561是否13的倍数的过程如下2856142860，28604286，286452，所以,28561是13的倍数，如此类推。若一个整数的个位数字截去，再将余下的数，

39、减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续对得到的差做上述的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断63869是否17的倍数的过程如下6386956341，63415629，629517，所以63869是17的倍数，如此类推。若一个整数的个位数字截去，再将余下的数，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续对得到的和做上述的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断2166是否19的倍数的过程如下21662228，228238，所以,2166是19的倍数，如此类推。3811

40、3其他若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。例如，判断1331是否11的倍数的过程如下（13）（13）0，所以1331是11的倍数。若一个整数能被3和4整

41、除，则这个数能被12整除。若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。例如，判断63869是否为17的倍数的过程如下869363680，所以63869是17的倍数。若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。例如，判断2166是否为19的倍数的过程如下16672152，所以2166是19的倍数。若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23或29整除，则这个数能被23整除。例如，判断32154是否为23的倍数的过程如下2154532139，2139是23的倍数，所以23154是23的倍数。203812100以内的质数2357

42、111317192329313741434753596167717379838997当然，有很多记忆的方法，比如找规律，比如编顺口溜，无论用什么方法，在此不做解说。382数论初步例1（1991年“希望杯”，一试）一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是_解析令此质数为AB，则可以确定|AB|7，B为奇数，解得，A8,B1（舍）；A2，B9。故答案为29。例2（1992年“希望杯”，二试）在1992个自然数1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添上“”号或“”号，则其代数和一定是A奇数B偶数C负整数D非负整数解析默认每个数前都为“”号，此时代数和为奇数，再将任意数

43、前的“”号改成“”号，每次变动都不会改变代数和的奇偶性（奇数偶数奇数），所以答案选A。例3（1992年“希望杯”，二试）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程解析被11整除的数字特征为，奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差为11的倍数。设所求9位数为ABCDEFGHI，则KHFDBIGECA11，K为整数，取A9,B8,C7,D6,E5,F2,G4,H1,I3,，即得答案987652413。例4（1993年“希望杯”，一试）在自然数1，2，3，4，5，中，前15个质数之和的负

44、倒数等于A1328B1329C1337D1340解析前15个质数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。故328147435321，答案为A。1993年二试第5、6、8、9题例5（1993年“希望杯”，二试）19939319的末位数字是A2B4C6D821解析19的奇数次方末位数为9；93的（4K1）次方末位数为3，（4K2）次方末位数为9，（4K3）次方末位数为7，（4K4）次方末位数为1。所以1993的末位数字是9，9319的末位数字是7，7916，末位数字是6，答案为C。例6（1993年“希望杯”，二试）今天是4月18日，是星期日，从今天算起第

45、19933天之后的那一天是A星期五B星期六C星期日D星期一解析125751988351988351988519881993223333K，所以19933除7余6，答案为B。例7（1993年“希望杯”，二试）绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于A0B32C33D33解析3333366323121012313233366133233KK所以答案为D。383定义运算例11990年“希望杯”，二试对于任意有理数X，Y，定义一种运算，规定XYAXBYCXY，其中的A，B，C表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算又知道123，234，XMX（M0），则M的数值是_解析由定义，XMAXBMCX

46、MX，令X0，代入解得B0，再由12A2B2C3，232A3B6C4，得到A5，C1。将X1，A5，B0，C1，代入XMAXBMCXMX，即得M4。例2（1993年“希望杯”，二试）X是正数，表示不超过X的质数的个数，如3即不超过51的质数有2，3，5共3个那么的值是A12B11C10D9解析11，答案为B。384推理题例11990年“希望杯”，二试新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开_次22解析考虑最差的情况，第一次需要试20次才能打开，开了第一扇门后还剩19把

47、钥匙，第二次需要试19次才能打开，如此下去，直到最后一次，试1次就能打开。故试开次数为201921210。39简单逻辑推理，线性回归及最优化、概率统计初步这类题型出现的比较晚，是近几年才出现的，主要考察学生的分析判断和能力，但是涉及的题目一般都不是很难，只要学生善于观察和敢于尝试，就会做出来。391简单逻辑推理例1（1992年“希望杯”，二试）某中学科技楼窗户设计如图15所示如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的解析我们来观察837，571，20

48、6，439这4个数字，除了“3”、“7”这两个个数字出现了两次，其他都是只出现一次的，看到图15，先观察“3”，第二列图形一样的是第二行和第四行，因此这两行表示的是837和439，再观察“7”，可以看到第四行的最后一个图形和第一行的第二个图形一样，因此可以判定这四组图案分别表示571,439,206,837，因此1992应该表示为D组图案。392概率统计初步例1（2005年“希望杯”，一试）一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图1所示，则这个硬盘的使用率为解析看懂这个图对初一学生来说没有什么难度，32210815512442102981526512使用率。图126总计125GB总计158GB29总计102GB44可用空间已用空间23