考研数学知识点总结.doc

1、1考研数学考点与题型归类分析总结1 高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向：1.利用 等价无穷小；2.利用 洛必达法则 型和 型直接用洛必达法则0、 、 型先转化为 型或 型，再使用洛比达法则；0103.利用 重要极限，包括 、 、 ；sinlm0xx exx10)(liexx)(1lim4.夹逼定理。1.2 高数第二章导数与微分 、第三章不定积分 、第四章定积分第三章不定积分提醒：不定积分 中的积分常数 C 容易被忽略，而考试时xFdf)()(如果在答案中少写这个 C 会失一分。所以可以这样加深印象：定积分 的结果可以写为 F(x)dxf)(+1，1 指的就是那一

2、分，把它折弯后就是 中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1xf)()(分。第四章定积分及广义积分解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 型定积分，若 f(x)是奇函数则有 =0；adxf)( adxf)(若 f(x)为偶函数则有 =2 ；aadxf0)(对于 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用 的代换是常用方法。20)(dxf xt22所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x=-u 和利用性质 、 。在处理完积分上下限的问题后就0a奇 函 数

3、 aa02偶 函 数偶 函 数使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。1.3 高数第五章中值定理的证明技巧用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式 A E、(A B) C、(C D E) F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、B、D，求证F。为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明 F 成立必备逻辑公式中的 A E 就可能有 A

4、 H、A (I K)、(A B) M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问

5、题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) F 再倒推想到 (A B) C、 A E 就可以证明了。3如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件 欲证结论 可用定理A关于闭区间上的连续函数，常常是只

6、有连续性已知存在一个 满足某个式子介值定理（结论部分为：存在一个 使得 ）kf)(零值定理（结论部分为：存在一个 使得 ）0)(fB存在一个 满足 0)(nf费马定理（结论部分为： ）0)(xf罗尔定理（结论部分为：存在一个 使得 ）)(fC条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导 存在一个 满足 kfn)(拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个 使得）abfff)()()(柯西中值定理（结论部分为：存在一个 使得）)()(agbff另还常用构造辅助函数法，转化为费马或罗尔定理。面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处

7、so 要“牢记定理的结论部分” 。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能” 。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定4理性质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。1.4 高数第六章常微分方程历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，

8、一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。解题套路： “辨明类型套用对应方法求解”先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy 的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程 0)()(21dygxfdygxf 变形为 =- ，再积分求解dxf)(21yg)(12齐次方程 x 做变量替换 ，则 化为xyudxu原方程就化为关于 的可分离变量方

9、程，变形积分即可和解对于一阶线性方程 )(xqyp y Ce pxdx（ e pxdx qx dx+C）全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy 因为其有条件 ，而且解题时直接套用通解公式xNyM.xd0),(0Cdy0),(所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于 型方程，就是先把 当作未知函)()(xfyn)1(ny数 Z，则 原方程就化为 的一阶方程形式，积分即得；再对 、Zyn)( dxfz()2(依次做上述处理即可求解；)3(n5叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换 、 (p 为 x 的函数)将),

10、(yxf py原方程化为一阶方程； 叫不显含 x 的二阶方程，变量替换也是令 （但此中的 p 为),(f y 的函数） ，则 ，也可化为一阶形式。pydyxydp所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换 ”， “求解贝努利方程uxy就用变量替换 ”一样，在这里也要记住 “求解不显含 y 的二阶方程就)()(xqyp n nyz1用变量替换 、 ”、 “求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换 、 ”。py pp大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：若 、 是齐次方程)(1x

11、y)(2的两个线性无关的特解，0yqp则该齐次方程的通解为 )()()(21xycx若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有(n-r)个线性无关的解向量，则齐次方程组的通解为 rnykyk21非齐次方程 的通fy解为 ，其中)()(121xcxy是非齐次方程的一个特解，)(1是对应齐次方程)(2xyc的通解0)(qpy非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 Ax=b 的一个特解与其导出组齐次方程 Ax=0 的通解之和若非齐次方程有两个特解 ，则对应)(1xy2齐次方程的一个解为 )(xy若 、 是方程组 Ax=b 的两个特解，则( -1r2 1r)是其对应齐次方程组 Ax=0 的解2可以说本章难就

12、难在记忆量大上。1.5 高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考6察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分 单独分离到方程的一dtfxa)(端形成“ ” 的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。dtfxa)(对于导数应用，有以下一些小知识点：1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点： A. 极值的定义是：对于 的邻

13、域内异于 的任一点都有 或 ,注意是0x0x)(xf0f)(xf)0f或 而不是或； B. 极值点包括图 1、图 2 两种可能，所以只有在 在 处可导且在 处取极值时才有 。)(xf00x0)(xf讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为 ） 、罗尔定理（结论部分为)(f） ；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根0)(f个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。2. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数 在 区间 I 上的 ，则 在 I 上是凸的；)(xf 0)(xf)(xf若 在 I 上的 ，则 在 I 上是凹

14、的；)(fB.若 在点 处有 且 ，则当 时 为极大值，当)(xf0)(x)(0xf 0)(xf)(0xf时 为极小值。0f其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义， 是 的变化率， 是)(xff)(xf的变化率。 可以说明函数是增函数； 可以说明函数 的变化率在区间 I 上)(xf 0)(xf 0)f )(x7是递减的，包括以下两种可能：同样， 也只有两种对应图像：0)(xf所以，当 时，对应 或 的函数图像，是凸的；0)(xf当 时，对应 或 的函数图像，是凹的。)(f相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“ 且0)(xf”，这从图像上也很容易理解：

15、满足 的图像必是凸的，即 或 ，当0)(xf 0)(xf且 时不就一定是 的情况吗。0)(xf0)(xf对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积dxfsba)(求旋转体体积（可用微元法也可用公式）绕 轴旋转体的体积 ，xdxfVba)(2绕 轴旋转体得体积yy8绕 轴旋转体的体积 ，x dxfVxba)(21绕 轴旋转体得体积yy2已知平行截面面积求立体体积dxsVba)(求平面曲线的弧长dxylba2)(11.6 高数第八章无穷级数本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性” 、 “级数求和函数”和“函

16、数的幂级数展开” 。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子： 1. 已知级数 收敛，判断级数 的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式na2 2|na，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的)(221| nna若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成

17、选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（） ”。2 上一种题型是“知一判一” ，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性 ，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减9数列 满足 ，判断级数 的敛散性。关键步骤是：由 得到na,lim0anxna)(1 11an，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超n)(11出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识

18、点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。另外， “求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对 6 个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此 6 个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如

19、下：1. （-1 ，1） 021 nnu u2. （-1 ，1） 0321 )()1(nnu uu3. 011312 )()()ln( nnunu ),(4. 0!12!1nunue ),(5. 0)!12(12)!(12!31sin nnunu ),(6. 0)!2(2)!(14!12!co nnunu),这六个公式可以分为两个部分，前 3 个相互关联，后 3 个相互关联。101 式是第一部分式子的基础。 不就是一个无穷等比数列吗，在 时的nuu21 1|u求和公式 正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子 2：1 式左端是 ，us1 u2 式左端是 ；1 式右端是 ，2

20、 式右端也仅仅是变成了交错级数 ,故可以通过这种比较来0nu0)(nnu记忆式子 2；对于 3 式来说，公式左端的 与 2 式左端的 存在着关系“ ”，)1l(uu1 u1)l(故由 的展开式可以推导出 的展开式为 。这三个式子中的 ，相互之间存u1 )l(0(nnu ,在着上述的清晰联系。后 3 个式子的 ，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分),(的基本式是公式 4： 与之相比， 的展开式是 ， 的展开式是0!nueusin0)!12(nnucos。一个可看成是将 展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将 展开式中0)!2(1nnuu ue的偶数项变成交错

21、级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配： 、 习惯上说“正余弦” ，先正后余；而 的展开式对应的是奇数项，usincos usin的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性” ，先奇后偶。ucos在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前 3 式)的展开式都不带阶乘，其中只有 的展开式不是交错级数； 第二部分（后 3 式）的展开式都带阶乘，其中只u1有 的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数ue带阶乘而不是交错级数，则应该用公式 4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和 ；若题目给出的幂级数n)1(不带阶乘而且是交错级数，则必从 2、3 两式中选择公式，其它情况也类似。对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开） 、四则运算（用于展开、求和） 、逐项微积分（用于展开、求和） 。