考点20-空间向量.doc

1、温馨提示：高考题库为 word 版，请按住 ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点 20 空间向量1.（2010广东高考理科0）若向量 ar=（1,1,x）, br=(1,2,1), cr=(1,1,1),满足条件()2cabrr=-2,则 x= .【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出 ca、 2b，再由向量的数量积列出方程，从而求出 .x【规范解答】 (0,1)x， (,42)，由 ()2cabrr得 (0,1)24)x，即 ，解得 .x【答案】22.（2010浙江高考理科20）如图， 在矩形 ABCD中，点

2、 ,EF分别在线段,ABD上， 243EBAF.沿直线 将 V翻折成 A，使平面 平 面 . （）求二面角 C的余弦值；（）点 ,MN分别在线段 ,FDB上，若沿直线 MN将四边形 CD向上翻折，使 与 A重合，求线段 F的长。【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。【规范解答】方法一：（）取线段 EF 的中点 H，连结 A，因为 AE= F及 H 是 EF 的中点，所以 EF,又因为平面平面

3、 B.如图建立空间直角坐标系 A-xyz，则 A（2，2， ） ，C（10，8，0） ，F（4，0，0） ，D（10，0，0）.故 FA=（-2，2，2 ） ， FD=（6，0，0）.设n=（x,y,z）为平面 A的一个法向量，所以 60xyz。取 2z，则 (0,2)n。又平面 BEF的一个法向量 (,01m，故 3cos,nm:。所以二面角的余弦值为 3（）设 ,FMxBNa，则 (4,0)x， (,80)Na，因为翻折后， C与 A重合，所以 CMA， ，故， 2222(6)8=10()6()a（ ） （ ），得 14x， 3a，所以 4F。方法二：（）取线段 E的中点 H, AF的中点

4、 G,连结 ,AHG。 因为 A= 及 是 的中点，所以 EF。又因为平面F平面 B，所以 平面 B,又 平面 B,故H。又因为 G、 是 、 EF的中点，易知 GH A，所以A，于是 F面 ，所以 A为二面角 DC的平面角，在 RtH中， =2， =2， =23，所以 3cosAGH.故二面角 ADFC的余弦值为 3。（）设 Mx,因为翻折后， 与 A重合，所以 ，而 2228(6)CDx，2222 AMHAMGH 2()+ 2()x+得 14x，经检验，此时点 N在线段 BC上，所以 14F。【方法技巧】1、利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思

5、路相对简单，但计算量大；2、翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，看好点、线、面等元素间位置关系的变化。3.（2010陕西高考理科8）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA平面ABCD， AP=AB=2， BC=2， E， F 分别是 AD,PC 的中点.（）证明： PC平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几

6、何法求解.【规范解答】解法一 （）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2， BC=2，四边形ABCD 是矩形.A，B，C，D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0， 2，0) ，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， ，0),F(1， 2，1). PC=（2， ，-2） BF=（-1， 2，1） EF=（ 1,0,1） ， =-2+4-2=0， PC =2+0-2=0， ， E，PCBF,PCEF, BF ,PC平面 BEF（II）由（I）知平面 BEF 的法向

7、量 1(2,),nPC平面 BAP 的法向量 2(0,2),nAD128,n:设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 12128cos, ,24n: 045， 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 05解法二 （I）连接 PE，EC 在 RtPAEtCD， 中，PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点，EFPC, 2,.,.BPABCFPCEE又 是 的 中 点 ，又 平 面（）因为 PA平面 ABCD，所以 PA BC，又 底面 ABCD 是矩形，所以 AB BCB平面 BAP， BP，又由（1）知 P平面 BEF，直线

8、PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAF 的夹角；在PBC 中，PB=BC, 09C, 045B，所以平面 BEF 与平面 BAF 的夹角为 045。4.（2010辽宁高考理科19）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC= 12AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（I） 计

9、算 CMSN、 的数量积，写出答案；（II） 求平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设 PA1，以 A 为原点，射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N( ,0,0)，S(1, 12,0)（I）11(,),(,0),221(I)(,0)2CMN,(2,1)102-|cos |=23SNCMCMSNaxyzxaya:因 为所 以设 为 平 面 的 一 个 法 向 量 ，则 令 得因 为所 与 平 面 所 成 的o45角 为【方法技巧】 （1）

10、空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。（3）线面角的范围是 090，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。5.（2010安徽高考理科18）如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形，EF AB， F， 2ABE， 90， ， H为 的中点。(1)求证： H平面 D；(2)求证： C平面 ；(3)求二面角 的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可

11、采用向量法证明。【规范解答】综合法证明如下：(1) ,1/,2/,2/ACBDGACEGHHHBEFEFED设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ，由 于 为 的 中 点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面AE FBCDHAE FBCDHGAE FBCDHG2,.,./,FBBCHFBGCAFHDAECB（ ） 由 四 边 形 为 正 方 形 ， 有 A又 E/，E而 ， 且平 面又 为 的 中 点 ，且 平 面又 ，又 ， 平 面 ,90, .1,2,32/ sinsi,3sin,ta3,3FFCDEBFDEABCFCEFKEKFEDB（ 3

12、） 平 面 ，在 平 面 内 过 点 作 K交 的 延 长 线 于 K,平 面则 为 二 面 角 -的 一 个 平 面 角 。设 则又 B=60, 即 二 面 角 -DC为 60。向量法证明如下： ,/,.AABEFBAFBCBFHBCCH四 边 形 为 正 方 形 ， 又 且 ，平 面又 为 中 点 ，且 平 面 BGF如 图 ， 以 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 、 、 的 方 向 为x轴 、 y轴 、 z轴 的 正 方 向 建 立 坐 标 系 ，1,(2,0)(1,)(,0)(1,20)(,1)(0,).BACDEF令 则(1) (,)(0,1)/HFHFGE 设 C与 D的 交

13、点 为 ， 连 接 GE、 ,则 （ ,-） ， G又 平 面 B平 面 ,平 面 B(2) (2,0)(,1)0,.ACAC:E又 D且 =， 平 面 D.AE FBCDHGKAE FBCDHGXYZ(3) 1111(,)(1,)20.00,yzBEDzy :1设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 ， 得 ，（ ， ）2222(,),(0,)1.001,1,-zCDEyyzz :22设 平 面 的 法 向 量 为 nn由 即 ， 得 ，（ ， ） 1221 1cos, ,2|60nn :即 二 面 角 B-DEC为 60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线

14、平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。6.（2010山东高考理科19）如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE， AB CD， AC ED， AE BC， ABC = 450， AB = 22， BC =2AE = 4，三角形 PAB 是等腰三角形（1）求证：平面 PCD平面 PAC；（2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的

15、大小；（3）求四棱锥 PACDE 的体积【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】(1)根据所给数据，通过计算证明 ABC；(2)方法一：先证明 AB 平行于平面 CDP， 于是点 B 到平面 PCD 的距离的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离，据此可求线面角；方法二：利用空间向量求线面角；(3)先判断出四边形 ACDE 的形状，并求出其面积，再根据 PA平面 ABCDE 得高即为 PA，从而APBDE可求体积.【规范解答】 （1）因为 ABC=45， AB=2 2， BC=4，所以

16、在 ABC中，由余弦定理得：22AC=()+4-cos45=8，解得 ，所以 2B8=6BC，即 A，又 PA平面 ABCDE，所以 PA ，又 PA，所以 平 面 P，又 AB CD，所以 CD平 面 P，又因为DC平 面 P，所以平面 PCD平面 PAC；（2）方法一：由（1）知平面 PCD平面 PAC， 所以在平面 PAC 内，过点 A 作 H于 H，则AH平 面，又 AB CD， AB平面 内，所以 AB 平行于平面 ，所以点 A 到平面 CDP的距离等于点 B 到平面 CP的距离.因为PAB 是等腰三角形，所以 PA = AB =2 2 ，因此 PB = 4，在RtPAC 中，PA

17、=2 2， AC = 2 ， 所以 PC = 4， 故 PC 边上的高 ，此即为点 A 到平面 PCD 的距离，设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，所以 21sinhPB，又 0,2，所以 ,6即直线PB 与平面 PCD 所成角的大小为 6；方法二：由(1)知 AB，AC，AP 两两相互垂直，分别以 AB，AC，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB 是等腰三角形，所以 PA = AB =2 2 ，又 AC = 2 ， 因此 A(0,0，0)，B(22， 0,0)，C (0，2 ， 0)，P (0,0，2 )，因为 ACD，又 AC ED，所以四边形 A

18、CDE 是直角梯形，因为 AE = 2 ，AEBC，所以BAE = 135，因此CAE = 45.故sin45,DAE所以 D(- ， 2 ， 0).因此 (0,2,)P，(2,0)C，设 (,)mxyz是 平面 PCD 的一个法向量，则mP，解得 0,取 1,y得 (0,)m，又 (2,0),B设 表示向量 B与平面 PCD 的法向量所成的角，则 cos2P，所以 ,3因此直线 PB 与平面 PCD所成角的大小为 6.（3）由（1）知 ACD平 面 P，所以 D，又 AC ED，所以四边形 ACDE 是直角梯形，因为 AE = 2，ABC = 45，AEBC，所以BAE = 135，因此CA

19、E = 45.故2sin45,CDAE2cos45,EDAC所以四边形 ACDE 的面积为 123（ ） ，又 PA平面 ABCDE，所以四棱锥 PACDE 的体积为 123= .7.（2010天津高考理科9）如图，在长方体 1ABC中， E、 F分别是棱 BC, 1上的点， 2F, 1:24AD（1） 求异面直线 E与 1所成角的余弦值；（2） 证明 A平面（3） 求二面角 1DF的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问

20、题。【规范解答】方法一：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 X 轴，AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系（如图所示） ，设 1B,依题意得 (0,2)D, (1,)F, 1(0,4)A, 3,02E（1） 易得 10,2EF, 1(0,24)AD，于是 113cos, 5EFAD:，所以异面直线 与 1所成角的余弦值为 35。（2） 证明：已知 (,2)AF, 1,42E, 1,02ED于是 AF 1E=0， D=0.因此， 1AF, ,又 1AE所以 平面(3)解：设平面 EFD的法向量 (,)uxyz，则 0uEFD:,即102yzx不妨令 X=1,可得 (1,2） 。由（2）可知

21、， A为平面 1的一个法向量。于是 cos,=3|AFu，从而 5sin,=3Fu所以二面角 1-ED的正弦值为 5方法二：（1）设 AB=1，可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 2链接 B1C,BC1，设 B1C 与 BC1交于点 M,易知 A1DB 1C，由 1EF=B4,可知 EFBC 1.故 BMC是异面直线 EF 与 A1D 所成的角，易知 BM=CM= 152,所以23cosMBBC:,所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 5（2）连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为 12DECBA，所以 RtCEt:，从而 ，又由于 90,所以 90，故 ACDE,又因为 CC1DE 且 1，所以 DE平面 ACF，从而 AFDE.连接 BF，同理可证 B1C平面 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D 因为 1EA，所以 AF平面 A1ED(3)连接 A1N.FN,由（2）可知 DE平面 ACF,又 NF平面 ACF, A1N 平面 ACF，所以 DENF,DEA 1N,故 1ANF为二面角 A1-ED-F 的平面角易知 RtCEtB:，所以 CE，又 5A所以 5，