非初等原函数的几种类型【优秀毕业设计】.doc

1、本科毕业设计（20届）非初等原函数的几种类型所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】学过数学分析和高等数学的人都知道，在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定积分是不能用初等函数来表达的。其原因是刘维尔定理过于复杂，难以为一般教科书所采纳。本文利用刘维尔定理的特殊情况给出了如何证明某些不定积分的非初等性及运用变量代换和分部积分的方法得出一些判断法则。此外，还举出一些例题加深理解。【关键词】非初等原函数；变量代换；分部积分；不定积分ABSTRACT【ABSTRACT】THEPERSONWHOLEARNEDMATHSANALYSISANDTH

2、EHIGHERMATHEMATICSALLKNOWTHATTHETEACHERUSUALLYCONCLUSIVETELLINGSTUDENTSSOMEUNCERTAININTEGRALWHICHCANNOTBEUSEDTHEELEMENTARYFUNCTIONTOEXPRESSWHENTEACHINGINDEFINITEINTEGRALINCONTENTS,THEREASONISTHATLIUWEIERTHEOREMISTOOCOMPLEXTOADOPTEDBYFORGENERALTEXTBOOKSTHISPAPERUSINGTHESPECIALCASEOFLIUWEIERTHEOREMPRO

3、VESSOMEELEMENTARYPROPERTIESOFINDEFINITEINTEGRALANDSOMEJUDGERULESBYUSEINGVARIABLESUBSTITUTIONANDTHEINISIALMETHODINADDITION,ISTILLGIVESOMEEXAMPLESTOENHANCEUNDERSTANDING【KEYWORDS】THENONELEMENTARYANTIDERIVATIVESSUBSTITUTIONINTEGRATIONBYPARTSINDEFINITEINTEGRALII目录摘要IABSTRACTI目录II1刘维尔（JLIOUVILLE）定理和切彼晓夫定理

4、111非初等函数的判定定理112刘维尔（JLIOUVILLE）定理1121刘维尔第三定理1122刘维尔第四定理213切彼晓夫定理22非初等原函数的判断法则4211XNEPDXX类型的不定积分的判断法则4211当011NKKKA时，不定积分1XNEPDXX是非初等积分4212当1101KNKKABK时，不定积分1BXNEPDXX是非初等积分5213当22021102NKKKKKA时，不定积分2XNEPXDX是非初等积分5214当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等积分6215对任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等积分7216对任何非零多项式N

5、PX，不定积分LNLNNPXXDX是非初等积分8217对任何非零多项式NPX，不定积分,LNLNNXPXXDX是非初等积分9223XNEPXDX类型的不定积分的判别法则9221DXXEKX233、331XKEXDX、33XKEXDX的非初等性9222不定积分DXENXK2,2,1NK的非初等性12223不定积分DXEBAXNXR,BA的非初等性13III224当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SINNPXXDX、2COSNPXXDX为非初等积分13225当11111011KKNNKKKKAAIKK时，不定积分1SINNPXDXX、1COSNPXDXX

6、为非初等积分14226不定积分,NRXPXDX的非初等性153非初等原函数的例题1731例1证明不定积分2XEDX的非初等性17311证明XEDXX的非初等性17312证明不定积分21NNXNXEDX的非初等性1832例2证明2,0BXEDXB的非初等性1833例3证明,0BXEDXBX的非初等性18331证明不定积分1DXLINX的非初等性19332令,1,2,NXTN1934例4证明不定积分SINXDXX与COSXDXX的非初等性20341对34的结论利用分部积分又能导出以下非初等性积分2035例5证明不定积分2SINXDX和2COSXDX的非初等性20351证明SINXDXX的非初等性2

7、1352证明COSXDXX的非初等性2136例6证明21XDXX的非初等性22参考文献23IV致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。11刘维尔（JLIOUVILLE）定理和切彼晓夫定理引言不定积分FXDX初等是指FX的原函数是初等函数；而不定积分FXDX的非初等性是指FX的原函数不是初等函数，也就是说这些函数的不定积分“积不出来”。时至今日，研究原函数非初等性问题的理论基础是刘维尔JLIOUVILLE定理和切彼晓夫定理。11非初等函数的判定定理定理1设FX、XGT及XGT的反函数1TGX都是初等函数，则FXDX是非初等函数当且仅当,FGTGTDT也是非初等函数。证明设FXDXFXC,FGTG

8、TDTGTC如果FXDXFXC是非初等函数，则FX是非初等函数。又因为1FXDXGGTC如果,FGTGTDT是初等函数，则GT也是初等函数，且1TGX也是初等函数，所以1GGX是初等函数，这与假设FXDX是非初等函数矛盾。故如果FXDX是非初等函数，则,FGTGTDT也是非初等函数。同理可证，如果,FGTGTDT是非初等函数，则FXDX也是非初等函数。证毕。12刘维尔（JLIOUVILLE）定理刘维尔JLIOUVILLE定理总共有四个分定理，刘维尔第三定理和刘维尔第四定理与原函数非初等性问题有密切关系，因此，本文只叙述刘维尔第三定理和刘维尔第四定理。121刘维尔第三定理设,FXGX为X的代数函

9、数，且GX不为常数，若GXFXEDX是初等函数，则GXGXFXEDXRXEC，其中RX和C分别是有理函数和常数。特别地，有定理设FX是有理函数，XG是多项式函数，若不定积分DXEXFXG是初等的，2则一定存在某有理函数XR，使得CEXRDXEXFXGXG，其中C是常数。上述定理告诉我们，若不定积分DXEXFXG是初等的，则一定存在某有理函数XR，使得XGEXR为XGEXF的一个原函数，即XGXGEXFEXR，也即XFXGXRXR1由于XR是有理函数，故令XQXPXR，其中XP、XQ为互质多项式，代入1式，得XGXQXPXQXPXF，整理得XQXPXGXPXPXFXQXQ2这样由1、2知，上述定

10、理的两个等价定理，叙述如下推论1设XF是有理函数，XG是多项式函数，则不定积分DXEXFXG是初等的充要条件是存在一个有理函数XR，使得XFXGXRXR成立。推论2设XF是有理函数，XG是多项式函数，则不定积分DXEXFXG是初等的充要条件为存在互质多项式XP、XQ，使得XQXPXGXPXPXFXQXQ成立。122刘维尔第四定理设,KKFXGX1,2,KN为X的代数函数，且IJGXGXIJ常数若函数1KNGXKKWXFXE的不定积分是初等函数，则1,2,KGXKFXEDXKN也是初等函数。换句话说就得到下面的推论推论3设NKXGXFKK,2,1,为X的代数函数，且JIXGXGJI常数。若NKX

11、GKEXFXW1中有一项是积不出函数，则WX也是积不出函数。13切彼晓夫定理不定积分QPRXABXDX是有理数其中RQPBA,0,是初等函数的充要条件QRPRP1,1,Q三个数中至少有一个是整数。3特别地，取1A，1B，1R，则可得如下推论推论4设P，Q是有理数，则不定积分DXXXQP1是初等函数的充分必要条件是P，Q，QP三个数中至少有一个是整数。42非初等原函数的判断法则211XNEPDXX类型的不定积分的判断法则设N次多项式010NNNNPXAAXAXA211当011NKKKA时，不定积分1XNEPDXX是非初等积分证明当1K时，由分部积分可得11111111JXKXJKXKJEDXEX

12、XEDXXKJKK则0101XXNXXNKKKEEEPDXADXAEADXXXX111111111JKXJKXKKJAEXXEDXKJKK1110111111JKNXXJKXKKKJKAAEAEXXEDXKJKK由于不定积分1XXEDX是非初等函数，因此，当且仅当101NKKAK时，1XNEPDXX是非初等的。变量代换令LNXT，1DXDTT代入得LN11LNTNEPDTTT1LNNPDTT，由于1XNEPDXX是非初等的，所以1LNNPDTT是非初等的。由此得到推论5推论5当011NKKKA时，不定积分1LNNPDXX是非初等的。分部积分,21111XXXXNNNNEEPDXPDEEPPDX

13、XXXXX，所以得到推论65推论6当011NKKKA时，不定积分,21XNEPDXXX是非初等的。212当1101KNKKABK时，不定积分1BXNEPDXX是非初等积分证明当1K时，由分部积分可得DXEXKBXEKJKBDXXEBXKKJBXKJJJKBX111111111则DXXPENBX1NKKBXKDXXEA0DXXEAEBABXBX101111112111KJBXKXJBXJJNKKDXEXKBXEKJKBANKBXKKKJBXNKKJJJKBXDXEXKBAXEKJKBAEBA111211110111由211知DXXEBX是非初等的，因此，当且仅当1101KNKKABK时，1BXN

14、EPDXX是非初等的。变量代换令LNXT，则1DXDTT代入得LN1111LNLNBTBNNEPDTTPDTTTT，由于1BXNEPDXX为非初等的，所以11LNBNTPDTT也是非初等的。推论7当1101KNKKABK时，不定积分11LNBNTPDTT是非初等的。分部积分,2111111BXBXBXBXNNNNEEEPDXPDEPPDXXBXBXBXX，得到推论8推论8当1101KNKKABK时，不定积分,21BXNEPDXXX是非初等的。213当22021102NKKKKKA时，不定积分2XNEPXDX是非初等积分6证明当K为正整数时，不定积分221XKEXDX为初等的，而不定积分2222

15、122123321211211222KXKKXKXXKKKEXDXXEXEXE22112KXKKEDX是非初等的（其中不定积分2XEDX是非初等的在第3部分例题中有证明），不妨设2NM，则22202112MKXXNKKKKEPXDXPXAEDX这里PX是初等函数。因此，当且仅当22021102NKKKKKA时，2XNEPXDX是非初等的。通过适当的变量代换得到以下法则令2XT，则XT，12DXDTT，所以212TXNNEEPXDXPTDTT，因此，当且仅当221021102NKKKKKA时，TNEPTDTT是非初等的。推论9当且仅当221021102NKKKKKA时，不定积分TNEPTDTT是

16、非初等的。由213得到214的判别法则214当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等积分证明当K为正整数时，不定积分221BXKEXDX为初等的，而不定积分22BXKEXDX22212123321211211222KKBXKBXBXKKKXEXEXEBBB722112KBXKKEDXB是非初等的（其中不定积分2BXEDX是非初等的在第3部分例题中有证明）。不妨设2NM，则22202112MKBXBXNKKKKEPXDXPXAEDXB这里PX是初等的。因此，我们有当且仅当02121202NKKKKBKA时，不定积分DXXPENBX2是非初等的。同214运用变量代换

17、令2,BXT则TXB，12BDXDTT，所以22TBXNNBETEPXDXPDTBT，因此，当且仅当02121202112NKKKKKBKA时，不定积分TNETPDTBT是非初等的。推论10当且仅当02121202112NKKKKKBKA时，不定积分TNETPDTBT是非初等的。令2XT，则XT，12DXDTT代入得212BTBXNNEEPXDXPTDTT，由于2BXNEPXDX是非初等的，所以BXNEPXDXX是非初等的。推论11当且仅当02121202112NKKKKKBKA时，不定积分BXNEPXDXX是非初等的。215对任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等积分证明令

18、LNXT，则TXE。8101LNKTTNTNNKKEEPXDXPEDTADTXTT而11IJGTGTITJTIJTIJ常数这样由刘维尔第四定理知对于任何非零多项式NPX，不定积分1LNNPXDXX是非初等的。因为1LNNPXDXX为非初等的，上式的变量代换得到的TTNEPEDTT是非初等的。推论12对任意的非零多项式TNPE，不定积分TTNEPEDTT是非初等的。利用分部积分得1LNLNLNLNLNLNLNNNNNPXDXXPXDXXPXXXDXPXX,LNLNLNLNLNLNNNNXPXXPXXDXXPXXDX于是，就有216、217的判断法则216对任何非零多项式NPX，不定积分LNLNN

19、PXXDX是非初等积分证明令LNXT，则TXE。10LNLNLNLNNKTTTNNKKPXXDXPEETDTAETDT因为1111LNLNLN111KTKTKTKTKKKKAAAEAETDTTDEETDTKKKT所以DXXXPNLNLNDTTEKATEKATKNKNKKTKK10011LN1NKNKTKKTKKDTTEKATEKA00111LN1而JITJITJTITGTGJI常数11，且当1K时，DTTET是非初等函数，因此LNLNNPXXDX恒为非初等的。9推论13对任何非零多项式TNPE，不定积分LNTTNPEETDT是非初等的。217对任何非零多项式NPX，不定积分,LNLNNXPXX

20、DX是非初等积分证明已知NPX为非零多项式，则,NXPX也为多项式，令,NXPXNGX则就与216判断法则相同。223XNEPXDX类型的不定积分的判别法则221DXXEKX233、331XKEXDX、33XKEXDX的非初等性332XKEXDX证明DXXEKX2333333333313333313131XKXKKXXKXKDEXKEXDXXEKEXDEXDXXEKKEXKEXKXXKXK43333333133133333123133321131331XKXKXKXKEXKKEXKKEXKEX32111KXKKEXDX333331113133123133XKXKXKXKEKKEXKKEXKEX

21、33031XJKKJJKJEXA因此DXXEKX233是可以积出来的，故为初等积分。DXXEKX133的非初等性证明DXXEKX133DXXEKEXDEXKXXKXK2313133333133131334321331331XKXKDEXKEXDXXEKKEXKEXKXXKXK53243213333343133133110333733432133431331331XKXKXKEXKKEXKEXDXXEKKEXKKXKKXKK333243131354313121DXXEKKEXJKKXKKXJKKJJJ333243131332313113101由于3XXEDX是非初等的，因此331XKEXDX是非

22、初等的。变量代换3XT，则3XT，3213DXDTT代入得313133321133KXKTKTEXDXETTDTETDTT由于不定积分331XKEXDX是非初等的，所以13KXEXDX是非初等的。推论14不定积分13KXEXDX是非初等积分。DXXEKX33的非初等性证明DXXEKX33DXXEKEXDEXKXXKXK3323233333233131335322332331XKXKDEXKEXDXXEKKEXKEXKXXKXK632532233333532332331333833532233532332331XKXKXKEXKKEXKEXDXEKKXEKKXKKXKK3331532313453

23、2311DXEKKEXJKKXKKXJKKJJJ333153231331323123101由于3XEDX是非初等的，因此33XKEXDX是非初等的。变量代换令3,XT则3XT，3213DXDTT代入得3233321133KXKTKTEXDXETDTETDTT由于33XKEXDX是非初等的，所以不定积分23KXEXDX也是非初等的。11推论15不定积分23KXEXDX是非初等的。于是，不定积分DXXPENX3有当32NK时，则3313103134213MXKXNKKKKKEPXDXPXAXEDXDXEKKAXMKKKK3033153231（其中1XP是初等函数）；当31NK时，则DXXEKKAX

24、PDXXPEXMKKKKNX3301323243131DXEKKAXMKKKK3033153231（其中2XP是初等函数）；当3NK时，则DXXEKKAXPDXXPEXMKKKKNX33101333243131DXEKKAXMKKKK3033153231（其中3XP是初等函数）。因此，我们得到下面定理当32NK或31NK时，若03243131013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA，则不定积分DXXPENX3是非初等函数；当3NK时，若032431311013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA，则不定积分DXXPENX3是非初等函数。对于不定积分3XNE

25、PXDX进行变量代换得令3,XT则3XT，3213DXDTT代入得33333221133TXTNNNEEPXDXEPTDTPTDTTT于是得12推论16当32NK或31NK时，若03243131013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA则不定积分332XNEPXDXX是非初等的。当3NK时，若032431311013MKKKKKKA或0315323103MKKKKKKA则不定积分332XNEPXDXX是非初等的。222不定积分DXEXNX2,2,1NK的非初等性当2NK时，即DXEXNXN2的非初等性。证明假设不定积分DXEXNXN2是初等的，由推论2得，一定存在互质的多项式

26、PX、XQ，使得XQXPXGXPXPXFXQXQ成立。其中2NXXF，NXXG，即有等式12XQXPXPNXXPXQXXQNN成立。假设XQ是次数1的多项式，则在复数域中XQ必有零点，设某零点为AX，且重数为0R，由于PX、XQ互质，所以0PA，而XQ的重数为1R。这样AX即是上述等式左端的R重根，又是右端的1R重根，导致矛盾。故假设不正确，从而XQ只能是非零常数。假设CXQ常数，代入上述等式，有21NNCXXPNXXP。由于PX是多项式，所以若PX的次数1，则右端为2N次，左端的次数N，产生矛盾；若PX是非零常数，左右两边次数也不会相等，同样产生矛盾。因此不存在互质多项式PX、XQ满足要求，

27、从而得到DXEXNXN2恒为非初等函数。故不定积分DXEXNXN2是非初等函数。当3,2,1NK时，可以得到DXENX，DXXENX，DXEXNXN3均为非初等函数。变量代换令KXT，2KN则KXT，111KDXTDTK代入得11111NNNKKKXTTKKXEDXTETDTETDTKK于是得到推论17不定积分1NKXKEXDX1,2,2NN是非初等的。13令,NXT则1NXT，111NDXTDTN代入得11111NKKNKXTTNNNXEDXTETDTTEDTNN于是得推论18不定积分11,2,2KNXNXEDXNN是非初等的。223不定积分DXEBAXNXR,BA的非初等性证明同样类似于2

28、22的证明，此时用BAXXF，NXXG代入等式XPXFXQXQXQXPXGXP也会产生矛盾，因此，可以得到不定积分DXEBAXNX是非初等函数。变量代换令NXT，则1NXT，111NDXTDTN代入得1111111NNXTTNNNNAXBEDXATBETDTATBETDTNN于是得到推论19不定积分11NXNNAXBEXDX是非初等的。分部积分212NNXXAXBEDXEDAXBX21122NNXNNXANAXBXEXBNXEDX于是有12NNNXANXBNXEDX是非初等的，可以对其继续进行分部积分得到其他不定积分也是初等的。有兴趣的同学可以继续探讨。推论20不定积分12NNNXANXBNX

29、EDX是非初等的。224当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SINNPXXDX、2COSNPXXDX为非初等积分证明由欧拉公式得2221SIN2IXIXXEEI，则2221SIN2IXIXNNNPXXDXPXEPXEDXI14当K为正整数时，不定积分221KIXXEDX、221KIXXEDX是初等积分，因此不妨设2NM，则2220211SIN122MKIXNKKKKPXXDXPXAEDXII220211122MKIXKKKKAEDXII这里NPX是初等函数，既然222122GXGXIXIXIX常数，则由刘维尔第四定理知，当且仅当222200212111

30、022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2SINNPXXDX是非初等函数。同理我们还能得出，当且仅当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分2COSNPXXDX为非初等积分。变量代换令2,XT则1,2XTDXDTT代入得211SINSINSIN22NNNTPXXDXPTTDTPTDTTT211COSCOSCOS22NNNTPXXDXPTTDTPTDTTT于是得推论21当222200212111022NNKKKKKKKKKKAAII时，不定积分SINNXPXDXX、COSNXPXDXX是非初等积分。225当11111011KKNNKKKKAAIKK时，

31、不定积分1SINNPXDXX、1COSNPXDXX为非初等积分对于此问题，类似于224的讨论。变量代换令LNXT，1DXDTT代入得15SINLN1111SINSINLNLNLNNNNTPXDXPTDTPDTXTTTTCOSLN1111COSCOSLNLNLNNNNTPXDXPTDTPDTXTTTT推论22当11111011KKNNKKKKAAIKK时，不定积分SINLN1LNNTPDTTT、COSLN1LNNTPDTTT是非初等积分。分部积分,211COS1SINCOSCOSNNNNXPXDXPDXXPXPDXXXXX,2111SIN1COSSINSINNNNNXPXDXPDXXPPDXXX

32、XXX推论23当11111011KKNNKKKKAAIKK时，不定积分,2COS1NXPDXXX、,2SIN1NXPDXXX是非初等积分。226不定积分,NRXPXDX的非初等性我们注意到当2N时，不定积分,NRXPXDX总是初等函数，当3N时，不定积分,NRXPXDX一般不是初等函数，当34N时，称为椭圆积分，文献【4】指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和222111DXXKX222211XDXXKX22221111DXHXXKX而这些椭圆积分，不是初等函数。若令上述题目中的2,XT则12DXDTT，代入得，162111DTTTKT211TDTTTKT21111DTHTTT

33、KT上述三个式子也是非初等的。在上述式子中在利用变量代换令XTE，则XDTEDX，代入上述式子得211XXXXEDXEEKE2211XXXXEDXEEKE2111XXXXXEDXHEEEKE上述三个式子也是非初等的。173非初等原函数的例题31例1证明不定积分2XEDX的非初等性证明假设不定积分2XEDX是初等的，则一定存在互质多项式PX、QX，等式,QXQXFXPXPXGXPXQX成立，其中1FX，2GXX即等式,21QXQXPXXPXPXQX成立。假设QX为次数大于等于1的多项式，则在复数域中QX必存在零点，设某零点为XA，且重数为0R，由于PX、QX互质，所以0PA，而,QX的重数为1R

34、，这样XA即是1式左端的重点，重数R,又是1式右端的重点，重数为1R，导致矛盾。此矛盾是由假设了QX为次数大于等于1的多项式所引起的，因此QX只能是非零数。假设QXK常数，代入1式，得,20KKPXXPX,22XPXKPX由于PX是多项式，所以2式左端多项式2XPX的次数不可能等于2式右端的多项式,KPX的次数，导致矛盾。因此不存在互质多项式PX、QX满足等式1，从而证明了不定积分2XEDX的非初等性。311证明XEDXX的非初等性证明已知2XEDX是非初等函数，令2XT，则原式变为12TEDTT，所以XEDXX也为非初等函数。18312证明不定积分21NNXNXEDX的非初等性证明令2211

35、,NNNNXTXTNXDXDTNXEDXEDT则,由例1知不定积分2XEDX是非初等的，所以不定积分21NXNXEDX也是非初等性的。32例2证明2,0BXEDXB的非初等性证明假设它是一初等积分，则存在多项式,PQ（互质）,QXQXFXPXPXGXPXQX令21,FXGXBX代入,23QQPBXPPQ假设QX为次数大于等于1的多项式，则在复数域中QX必存在零点，设某零点为XA，且重数为0R，由于PX、QX互质，所以0PA，而,QX的重数为1R，这样XA即是3式左端的重点，重数R,又是3式右端的重点，重数为1R，导致矛盾。此矛盾是由假设了QX为次数大于等于1的多项式所引起的，因此QX只能是非零

36、数。设1Q时，得到214PBXP，由于P是多项式，2BXP是次数大于,P的次数，故4两端的次数不可能相同，这又导致了矛盾，所以不存在互质的,PQ，即2BXEDX是非初等的。33例3证明,0BXEDXBX的非初等性证明证明类似于例1的证明，令1FXX，GXBX代入得,5QQXPBXPXPQ仍假设Q的次数1，存在R重零点A，若AO，同样会导致矛盾，A是5式左端的19零点，重数R，又是右端的零点，重数1R，由此可见0A，于是,QXRH00,H代入5得11,RRRHXHXPBPXPRHXH6同样的0X是6式左端的零点，重数1R；又是右端的零点。重数R。至此说明Q的次数大于等于1的假设不成立，从而1Q，

37、这时5式变为,1XPBXP7如同前述，7式左端的次数1，右端的为常数，仍导致矛盾。所以,0BXEDXBX是非初等积分。备注令1,FXGXIXX，同理可以证明不定积分IXEDXX的非初等性。331证明不定积分1DXLNX的非初等性证明首先进行变量代换，令LNXT，则TXE，TDXEDT。所以1TEDXDTLNXT由例3得1DXLNX是非初等积分。在以上三个例题的基础上，通过适当的变量代换或分部积分又能导出另外一些非初等积分。332令,1,2,NXTN221NXNTEDXNTEDT则21NNXXEDX是非初等积分22222XXXEDXXEXEDX则22XXEDX是非初等积分1LNLNLNLNLNL

38、NLNDXXDXXXXDXX则LLNXDX是非初等积分。此外还有一种巧妙的办法也能用来扩充非初等积分的类型结论设UXVX、都是实值函数，WXUXIVX则不定积分WXDX是初等的充要条件为它的实部积分UXDX和虚部积分VXDX都是初等的。上述结论告诉我们，若不定积分WXDX是非初等的，则它的实部积分UXDX与虚部积分中至少有一个是非初等的。20在例3中令1,FXGXIXX，同理可以证明不定积分IXEDXX的非初等性。34例4证明不定积分SINXDXX与COSXDXX的非初等性证明由欧拉公式得COSSINIXEXIX所以COSSINIXEXXDXDXIDXXXX利用上述结论可得不定积分SINXDX

39、X和COSXDXX至少有一个是非初等的。事实上，由225得不定积分SINXDXX与COSXDXX都是非初等的。341对34的结论利用分部积分又能导出以下非初等性积分SINSINLNSINLNLNSINSINLNCOSLNXDXXDXXXXDXXXXXDXX则COSLNXXDX是非初等积分。COSCOSLNCOSLNLNCOSCOSLNSINLNXDXXDXXXXDXXXXXDXX则SINLNXXDX是非初等积分。令TXE，则TDXEDT，SINSINTXDXEDTX，则不定积分SINXEDX是非初等的。COSCOSTXDXEDTX，则不定积分COSXEDX是非初等的。35例5证明不定积分2SINXDX和2COSXDX的非初等性证明由欧拉公式得222COSSINIXEXIX所以222COSSINIXEDXXDXIXDX利用上述结论可得不定积分2COSXDX和2SINXDX中至少有一个是非初等的。21事实上，由224得不定积分2COS