关于Fuzzy矩阵的加权Moore-Penrose逆【毕业设计】.doc

1、本科毕业设计（20届）关于FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月1摘要摘要讨论FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆，给出了FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在的一些充分必要条件以及FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆的一些性质和刻画。特别，得到了当FUZZY矩阵A的加权MOOREPENROSE逆存在时，A的加权MOOREPENROSE逆是唯一的，并且当权矩阵大于等于单位矩阵时A的加权MOOREPENROSE逆正好等于A的转置矩阵。关键词FUZZY矩阵，加权MOOREPENROSE逆，存在

2、的条件。ABSTRACTABSTRACTTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFFUZZYMATRIXAREDISCUSSEDSOMENECESSARYANDSUFFICIENTCONDITIONSFORTHEEXISTENCEOFTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFFUZZYMATRICESANDSOMECHARACTERIZATIONSANDPROPERTIESOFTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSESOFFUZZYMATRICESAREGIVENINPARTICULAR,THISPAPEROBTAINSTHATT

3、HEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFAFUZZYMATRICESAISUNIQUEWHENEVERTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSEOFAEXISTSANDIFTHEWEIGHTMATRICESARENOTSMALLERTHANTHEUNITMATRIXTHEWEIGHTEDMOOREPENROSEINVERSESOFAEQUALSTOTRANSPOSEDMATRICESOFAKEYWORDFUZZYMATRIXWEIGHTINGMOOREPENROSEINVERSETHECONDITIONFOREXISTING2目录第一章绪论11广义逆的研

4、究背景112FUZZY矩阵的应用，FUZZY矩阵的广义MOOREPENROSE逆的研究113关于FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆的研究目的2第二章预备知识21基本概念与性质322加权MOOREPENROSE逆的定义4第三章主要结果31FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在唯一性632FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件11第四章结论15参考文献163第一章绪论11广义逆的研究背景广义逆的概念最早是IFREDHOLM于1903年提出的，他给出了积分算子的广义逆，并称之为“伪逆”。DHILBERT于1904年讨论广义GREEN函数时含蓄地提出了微分

5、算子的广义逆。WREID于1931年的论文中，谈到了微分算子广义逆的历史。EHMOORE于1920年首先提出了矩阵的广义逆，他利用投射矩阵定义了矩阵唯一的广义逆。在这之后30年中，广义逆没有引起大家足够的重视。虽然在1937年SIEGEL又提出过矩阵的广义逆，但直到50年代中期，围绕着某些广义逆的最小二乘性质及广义逆与线性方程组解的关系的讨论，才使广义逆的研究有了新的起色。这些性质由BJERHAMMAR于1951年考虑到，他重新发现MOORE逆，同时也注意到广义逆与线性方程组解的关系。特别是1955年,PENROSE改进并推广了BJERHAMMAR关于线性方程组的结果,并证明了给定矩阵的MOO

6、RE逆是满足下列四个方程（1）AXAA（2）XAXX（3）AXAX4XAXA（其中表示矩阵的共轭转置）的唯一的矩阵X,这一结果非常重要并富有成果,以致这个唯一的广义逆被通称为MOOREPENROSE逆从此广义逆的研究进入了一个新的时期其理论和应用得到了迅速发展,已经成为矩阵论一个重要的分支。12FUZZY矩阵的应用，FUZZY矩阵的广义MOOREPENROSE逆的研究随着矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环、主结合环上矩阵、以及FUZZY矩阵的广义逆的研究已有不同程度的进展。近年来，FUZZY矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向。FUZZY矩阵在电路理论，网络理论

7、，自动机理论，自动控制以及图论等学科中，有广泛的应用。比如文献1，2中给出了FUZZY矩阵在工程技术，计算机科学，物理学，生物学等各个领域的广泛应用和FUZZY矩阵的广义逆理论在FUZZY矩阵理论中的重要的地位等研究。自文3定义了矩阵的广义MOOREPENROSE逆以来,文4讨论了带有对合的范畴中具有满单分解的态射的广义MOOREPENROSE逆，对于一般矩阵,文5讨论了一般矩阵的广义MOOREPENROSE逆存在的充要条件,也给出了怎样用不同的方法来计算不同类型的广义逆，我们讨论的加权MOOREPENROSE逆自然是MOOREPENROSE逆的推广，并且它与广义MOOREPENROSE逆有明

8、显的关系，从某种意义上说，它也是广义MOOREPENROSE逆的推广，随着加权广义逆在数理统计、控制论、博弈论领域的应用，深入研究加权广义逆也就重要起来。随着FUZZY矩阵研究的不断深入，FUZZY矩阵的MOOREPENROSE逆已有不同程度的进展。比如文4献6和7给出了国内外的学者对FUZZY矩阵的研究，即FUZZY矩阵的定义，FUZZY矩阵的几个重要的定理和引理及其证明，FUZZY矩阵的MOOREPENROSE逆及MOOREPENROSE逆存在的充要条件等问题。13关于FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆的研究目的对于FUZZY矩阵的其他的广义逆的研究很少，我们将在此方面做一些研

9、究，所以在这里研究FUZZY矩阵的加权广义逆，主要把复数域上一般矩阵的一些结果推广到FUZZY矩阵上。首先要讨论FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆，给出一些加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件，其次要讨论FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆，给出加权MOOREPENROSE逆的划画。对于FUZZY矩阵的MOOREPENROSE逆，有一个著名的结果如果FUZZY矩阵A的MOOREPENROSE逆A存在，那么TAA。对于环上矩阵引进并讨论了加权MOOREPENROSE逆8，9，关于布尔矩阵10中讨论了布尔矩阵的加权MOOREPENROSE逆。但对于FUZZY矩阵的加权

10、MOOREPENROSE逆不见讨论过。在本文中，讨论FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆，主要推广前面提到的著名结果。5第二章预备知识21FUZZY矩阵的基本概念和性质设F0，1，,MNF表示F上的所以有MN矩阵组成的集合。,MNF中的矩阵称为FUZZY矩阵。对于,MNAF，TA表示A的转置矩阵。MF表示F上的所有M阶方阵组成的集合。用大写字母,AB等表示矩阵MNFUZZY矩阵，记1112121222,12NNIJMNNNMNAAAAAAAAAAA即A的,IJ分量用,IJA表示。1相等在两个FUZZY矩阵IJMNAA，IJMNBB中，若总有IJIJAB，则A与B相等，写成AB2包含在

11、FUZZY矩阵IJMNAA，IJMNBB中，若总有IJIJAB，则称B包含A，或称A包含于B，写成AB例104050506080708093和设有两个FUZZY矩阵IJMNAA，IJMNBB，则以MAX,IJIJIJIJIJCABAB为分量的FUZZY糊矩阵C称为A与B的和，表示为CAB4直积对于FUZZY矩阵IJMNAA，IJMNBB，则以MIN,IJIJIJIJIJCABAB为分量的FUZZY糊矩阵C称为A与B的直积，表示为CAB5矩阵积对于FUZZY矩阵IJMNAA，IJMNBB，如下定义A和B的矩阵积1,2,3,MAXMINIJIKKJKPCABCAB61PIKKJKAB若用22FUZ

12、ZY矩阵来说明矩阵积11122122AAAAA，11122122BBBBB则AB11111221111212222111222121122222,ABABABABABABABAB例2设08070204,05030609AB08020706,0804070905020306,05040309AB06070304同样地，04030606BA由此可知，一般来说ABBA,在特殊情况下ABBA时，称A与B可换。22加权MOOREPENROSE逆的定义定义1设MF，NF，对于,MNAF，如果在,MNF中存在FUZZY矩阵G使得A和G满足下列条件（I）AGAAIIGAGGIIITAGAGIVTGAGA其中T

13、A表示A的转置。7那么，G称为A的关于和的加权MOOREPENROSE逆，用,A表示。如果，都是单位矩阵，那么G就是A的MOOREPENROSE逆A。用,AI表示,MNF中所有满足上面条件（I）的G组成的集合。记,1,1,KKAIIAIAI用1,KII表示,1,KAII中的元素。8第三章主要结果31FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在唯一性定理1设,MNAF，如果,A存在，那么（I）TTTAAAA，TTTAAAA；II,A是唯一的。证明（I）设G,A，那么TTAATTAAGATTATAGATAGAATAA同理可证，TTTAAAA（II）设G和H都是A的关于和的MOOREPENRO

14、SE逆，那么GGAGTGAGTTTGGATTTGGAHATTTTTGGAAHTTTGGAAHTGAGAHGAGAHGAHTGAHTTTAGHTTTAHAGHTTTTTHAAGHTTTHAAGHTHAGAHHAGAHHAHH因此，,A是唯一的。定理2设,MNAF，那么下面的条件是等价的。（I）,A存在；（II）TAA和TAA是对称的，关系方程TTXAAA，TTAAYA均有解；（III）,1,3A和,1,4A，并且1,41,3,TTACABAAA（1）其中B和C分别是关系方程TTXAAA和TTAAYA的解。9证明（I）（II）记G,A有定理1（I）知，TAA和TAA是对称的，又由于TTTTAAGA

15、AGAGAA，TG是关系方程TTXAA的解。同理可证，TG是关系方程TTAAYA的解。（II）（I）设B和C分别是关系方程TTXAAA和TTAAYA的解。因为TAA是对称的，所以TTTTTTABBAABTTTTBAAAB同理可证，TTTCACA令TTGCABTTAGAACABATTTACABATTTAACBATABATTTTABABAAA；TTTTGAGCABACABTTTTTCABACABTTTTTCBAACABTTTCACABTTTTCACABTTTTCAACBTTCABG；TTTTAGACABTTTTACABTTTTAACBTTABTABAG；TTTTGACABATTTTCABATTTT

16、CBAATTTCACAGA因此，,TTACAB存在。（II）III设B和C分别为关系方程TTXAAA和TTAAYA的解。在（II）（I）中已证得TTTABAB，TTTCACA。又TTTTTABAABABAAA,TTTTTACAACAAACA所以，,1,3TBA，,1,4TCA10III（II）设,1,3UA，,1,4VA则TTTTAAUAAUAUAA所以TU是关系方程TTXAAA的解。同理可证，TV是关系方程TTAAYA的解。又TTTTAAAUAATTAAUATTTAAUATAUAATAA因此，TAA是对称的，同理可证，TAA也是对称的。最后，由前面的证明已知1,41,3,TTACABAAA证

17、毕。定理3设,MNAF，TAA和TAA是对称的，那么,A存在并且,TAA当且仅当TAAAA证明因为TAAAA且TAA和TAA是对称的，又TTTTTTAAAAAATTAAAT所以，,A存在，并且,ATA反之显然。证毕。例3设0102040603080502010705020308010403010402A100001000010000110000010000010000010000010108050402050203040203010601080403070102TA01080504010204060302050203080502010704020301050203080106010804040

18、301040203070102TAA110805030507050502030503020404030503040803070503030701080504010204060302050203080502010704020301050203080106010804040301040203070102TAA06030604030805040605080404040404060306040102040603030805040805020107060508040502030801040404040403010402TAAA050304060308050305070505040805040404040

19、4A所以,A不存在。例4设0505040605080504050705050408050404040404A10000100001000011210000010000010000010000010508050405050504040404040605080405070504TA05080504050504060505050504080504050704040404050504080506050804040404040405070504TAA080504050705050405050404040404050504080507050405070508050405050406050505050408

20、0504050704040404050503080506050804040404040405070504TAA06050604050805040605080404040404060506040505040605050805040805040507060508040505040805040404040404040404TAAA130505040605080504050705050408050404040404A所以，,A存在，并且,ATA即,0508050405050504040404040605080405070504A32FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆存在的充要条件上面的结果

21、对布尔矩阵也成立10，下面根据FUZZY矩阵的特点来讨论，需要下面两个熟知的结果。引理1设,MNAF，那么存在正整数K和S使得KKSAA引理2设,MNAF，那么TAAAA定理4给定MF，MF，假设I，I对于,MNAF，,A存在的充要条件是TAAAA此时,ATA2证明必要性如果,GA存在。由定理1知，TAA和TAA是对称的，又由引理1知，存在正整数K和S使得KKSTTTTAAAA上式左乘G，由TGAGA，TTTAAAA和AGAA知11KKSTTTTTTTTAAAAAA在左乘TTG，由TAGAG，TTAATAA和AGAA知11KKSTTTTAAAA连续用上面的两步乘法，最后可得1STTTTAAAA

22、进一步，用上面的第一步乘法，可得STTTTTTAAAA14上式右乘TTTGA得，1STTTTTTAAAAAA因此，STTAAAA因为I，I，由引理2知TTTAAAAAAA上式右乘TTAA得2TTTTAAAAAA重复上面的右乘，可得23TTTTTTAAAAAAAAAASTTAAAA于是，由定理1（I）知TTAAAATAAA此时，由定理3知，,ATA充分性设TAAAA因为I，I，由引理2知TAAAA，所以TTAAAAAA因此，TAAAA又TTTAAAAAAAAAAA于是TTAAAAAAA因此TTTTAAAAAAAA因为TAA是对称的，所以TTTTAAAAAA同理可证，TTTTAAAAAA，又定理3

23、知,A存在。证毕。推论1设A，为定理4所述，如果,A存在，那么TTAAAA，TTTAAAA3定理5设A，为定理4所述，那么下列条件是等价的（I）,A存在；（II）TTAAAA，TTTAAAA且对于A的任意两行1512,IIIINAAA和12,JJJJNAAA，如果存在正整数K使得1IKJKAA，那么IJ；（III）TTAAAA，TTTAAAA且对于A的任意两列12,TIIIMIAAA和12,TJJJMJAAA，如果存在正整数K使得1KIKJAA，那么IJ；（IV）TTAAAA，TTAAAA且存在置换矩阵P和Q使得120000000000000KJJPAQJ4其中12,KJJJ都是全1矩阵。证明

24、（I）II因为,A存在，由定理4知，TAAAA记IJM，IJN如果1ITA，那么JTJUUVPVPQQTJKKKIKIIITAANAMAANAMA1JKIKITAAA因此，1JTA反之，因为I和J是A的任意两行，I和J的地位一样，如果1JTA，那么1ITA，所以IJ又由推论1知，TTAAAA，TTAAAA，因此（II）成立。（II）I记TIJAAAB如果1IJB，那么存在正整数1L和2L使得12121ILLLLJAAA因此，2IL由21LJA于是TAAAA根据引理2，有TAAAA因为，TTAAAA和TTAAAA，所以TTTAAAAAAAAAA由定理4知，,A存在。（I）III同理可证。（I）I

25、V由（II）和III中行和列的结构易得。（IV）I记BPAQ，TPP，TQBQ那么已知,A存在当且仅当,B存16在，且,TTBQAP又和显然满足定理4的条件。根据BPAQ的结构，B，和满足本定理的（II）和（III）所以，,B存在，从而，,A存在。当I，I时，即就有下面的结果。推论2设,MNAF，那么下列条件是等价的。（I）A存在；（II）A存在且TAA；III关系方程TXAAA，TAAYA均有解；（IV）1,3A和1,4A；VTAAAA；（VI）对于A的任意两行12,IIIINAAA和12,JJJJNAAA，如果存在正整数K使得1IKJKAA，那么IJ；（VII）对于A的任意两列12,TII

26、IMIAAA和12,TJJJMJAAA如果存在正整数K使得1KIKJAA，那么IJ；（VIII）存在置换矩阵P和Q使得120000000000000KJJPAQJ其中12,KJJJ都是全1矩阵。17第四章结论随着矩阵广义逆研究的不断深入，一般域、除环、主结合环上矩阵、以及FUZZY矩阵的广义逆的研究已有不同程度的进展。近年来，FUZZY矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向。FUZZY矩阵在电路理论，网络理论，自动机理论，自动控制以及图论等学科，工程技术，计算机科学，物理学，生物学等各个领域有广泛的应用，FUZZY矩阵的广义逆理论在FUZZY矩阵理论中有重要的地位。我

27、们讨论的加权MOOREPENROSE逆自然是MOOREPENROSE逆的推广，并且它与广义MOOREPENROSE逆有明显的关系，从某种意义上说，它也是广义MOOREPENROSE逆的推广，随着加权广义逆在数理统计、控制论、博弈论领域的应用，深入研究加权广义逆也就重要起来。除了FUZZY矩阵的广义逆之外，还有其他的广义逆方面也有许多研究，比如上矩阵的广义逆，布尔矩阵的广义逆等。布尔矩阵在工程技术，计算机科学，物理学，生物学，社会科学等学科中有重要的应用，布尔矩阵的广义逆理论在布尔矩阵理论中有重要的地位。本文讨论了FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆，给出了FUZZY矩阵的加权MOOR

28、EPENROSE逆存在的一些充分必要条件以及FUZZY矩阵的加权MOOREPENROSE逆的一些性质和刻画。特别，得到了当FUZZY矩阵A的加权MOOREPENROSE逆存在时，A的加权MOOREPENROSE逆是唯一的，并且当权矩阵大于等于单位矩阵时A的加权MOOREPENROSE逆正好等于A的转置矩阵。18参考文献【1】彭祖憎，孙韫玉模糊（FUZZY）数学及其应用。武汉武汉大学出版社，2002【2】KIMKH,ROUSHFW,GENERALIZEDFUZZYMATRICESJFUZZYSETSANDSYSTEMS,1980,4293315【3】KMANJUNATHAANDRBBAPAT,T

29、HEGENERALIZEDMOOREPENROSEINVERSELINEARALGEBRAANDITSAPPLICATION,16559691992【4】刘晓冀态射的广义MOOREPENROSE逆J数学杂志,1831998,267270【5】MEDHATARAKHA，ONTHEMOOREPENROSEGENERALIZEDINVERSEMATRIX，DEPARTMENTOFMATHEMATICS,COLLEGEOFSCIENCE,SUEZCANALUNIVERSITY,ISMAILIA41522,EGYPT【6】岑建苗关于FUZZY矩阵的MOOREPENROSE逆J模糊系统与数学,20054【7】王国俊，教育科学“十五”国家规划课题研究成果计算智能词语计算与FUZZY集（第二册），54页。【8】王淑凰，环上矩阵的广义MOOREPENROSE逆J，扬州教育学院学报，2003年9月，21（3）79【9】刘淑丹,游宏环上矩阵的广义MOOREPENROSE逆数学杂志,2212002【10】岑建苗，陶祥兴，关于布尔矩阵的加权MOOREPENROSE逆J，华中师范大学学报，2005年6月，39（2）145148