1、 2.4.3 相关函数自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间 T 为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当 T 趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号 x(t)和它的时移信号 x(t+)乘积的平均值，它是时移变量 的函数。例如信号 的自相关函数为若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于 ，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，
2、其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数， ，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（ 为正或负），函数值不变。（2）当 0 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。（4）若随机信号不含周期成分，当 趋于无穷大时， 趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数 来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当 0 时， 1，说明相关程度最大；当 时， ，说明信号 x(t)与x
3、(t+)之间彼此无关。由于 ，所以 。 值的大小表示信号相关性的强弱。自相关函数的性质可用图 2.4.3 表示。图 2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图 2.4.4 所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟 的回声，那么该信号的自相关函数将在 处也达到峰值（另一峰值在 处），这样可根据 确定反射体的位置，同时自相关系数在 处的值 将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程 自相关函数图形 正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声宽带随机噪声图 2.4.4 四种典型信号的自相关函数 （2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于
4、周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。图 2.4.5 所示为噪声对相关函数的影响。图 2.4.5 噪声对相关函数的影响 2互相关函数随机信号 x(t)和 y(t)的互相关函数 定义为(2.4.11)互相关函数具有如下性质：（1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。图 2.4.6 为两个随机信号 x(t)和 y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反映了两信号的时差。例如 在 位置达到最大值，则说明 y(t)导前 时间 x(t)与y(t)最相似。
5、（2） ，即 x(t)与 y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴（图 2.4.7），说明使信号 y(t)在时间上导前与使另一信号 x(t)滞后，其结果是一样的。（3）若两个随机信号 x(t)和 y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当时有(2.4.12)（4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。例如两个周期信号为 和 ，则其互相关函数为(2.4.13)用互相关系数表示互相关程度，即(2.4.14)互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性，且 。若 x(t)和 y(t)之间没有同频率的周期成分，那么当 很大时就彼此无关，即 。微弱信号的检测互相关
6、函数的这些性质，使得它在检测技术中具有广泛的应用。最常见的应用有以下几种：（1）确定时间延迟。假如某信号从 A 点传播到另一点 B 点，那么在两点拾取的信号x(t)和 y(t)之间的互相关函数 ，将在相当于两点之间时间延迟 的位置上出现一个峰值。利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度，图 2.4.8 为测定轧钢时钢板运动速度的示意图。利用两个距离为 d 的光电传感器 A 和 B，得到钢板表面反射光强度变化的光电信号 x(t)和 y(t)，经互相关分析，确定时移 ，当 等于钢板通过两个测点间的时间 时，两信号的互相关函数为最大值，则运动物体的速度为（2）识别传输路径。假如信号从 A 点到
7、B 点有几个传输路径，则在互相关函数中就有几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间 的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识别。（3）检测淹没在外来噪声中的信号。假如信号 s(t)受到外界的干扰形成复合信号a(t)和 b(t)，即 a(t)=s(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信号，可以是确定性的或者随机的，而 n(t)和 m(t)是互不相关的噪声），那么互相关函数 将仅含有 a(t)和 b(t)中的相关部分 s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。（4）系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数 就是被测系统的脉冲响应。这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。互相关分析：地下输油管道漏损部位的检测
