两体及多体衰变的相空间因子【毕业设计】.doc

1、本科毕业设计（20届）两体及多体衰变的相空间因子所在学院专业班级理论物理学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】粒子物理的研究对象多为不稳定的粒子，在很短的时间内就会发生衰变而转化为其他粒子，因而寿命成为衡量它们性质的重要物理量。本论文主要学习研究相空间因子在粒子衰变中的影响对于两体衰变的相空间因子能给出解析结果；对三体及以上衰变的相空间能给出一些特殊的结果；对多体衰变分析中用DALITZ图技术进行分析研究，通过计算机技术得到所对应的DALITZ图。【关键词】两体衰变；三体衰变；DALITZ图。ABSTRACT【ABSTRACT】THEMOSTINVESTIGATEDOBJECTSO

2、FPARTICLEPHYSICSAREUNSTABLEPARTICLESINSHORTTIMETHEDECAYWILLHAPPEN,THENPARTICLESMAYTRANSFERTOOTHERTHINGS,SOTHELIFETIMECOMESTOBEANIMPORTANTPHYSICALQUANTITYMEASURINGTHEIRCHARACTERINTHISTHESIS,WEMOSTLYSTUDYANDRESEARCHTHEEFFECTOFPHASESPACEFACTORINPARTICLEDECAYREVEALTHERESOLUTIONOFTWOBODYDECAYPHASESPACERE

3、VEALTHESPECIALRESOLUTIONOFTHREEBODYANDMULTIBODYDECAYPHASESPACEADOPTTHEDALITZPLOTTOANALYZEANDINVESTIGATETHEMULTIBODYDECAY,THROUGHCOMPUTERTECHNOLOGYTOGETTHEPLOT【KEYWORDS】TWOBODYDECAY；THREEBODYDECAY；DALITZPLOTII目录摘要IABSTRACTI目录II1论文背景111粒子物理的发源112粒子物理现阶段发展113粒子衰变及相空间12两体衰变321黄金规则3211自然单位制3212衰变率的形式322特

4、殊情况下的两体衰变4221特殊情况下两体衰变的衰变率4222特殊情况下二体衰变的相空间523一般情况下的二体衰变5231一般情况下的二体衰变的衰变率6232一般情况下的二体衰变的相空间63三体衰变731特殊情况下的三体衰变7311特殊情况下三体衰变的衰变率7312特殊情况下三体衰变的相空间94多体衰变1041多体衰变相空间公式的得出过程1042特殊情况下的多体衰变的相空间1143相空间的大小及其中原因115DALITZ图1351DALITZ图的基本内容13511在三体衰变中的DALITZ图1352DALITZ图的得出过程和思路14521衰变过程015522衰变过程1653DALITZ图的比较及

5、其中信息176论文总结18参考文献19附录2011论文背景11粒子物理的发源粒子物理学源于19世纪末物理学的三大发现。德国物理学家伦琴发现了X射线，法国物理学家贝可勒尔探测到放射性，英国物理学家约瑟夫汤姆生、德国物理学家维谢尔和德国物理学家考夫曼证明了电子的存在，这三大发现打破了物理学理论大功告成的迷梦。当时，人们把质子、中子和电子认为是物质结构的基本单元，把这些粒子，再加上光子，看作“基本粒子”，在只包含引力相互作用和电磁相互作用的已有的物理学理论下，不能对这些新发现做出理论上的解释。于是发生了物理学基础理论的变革，物理学研究仪器的革新导致物理学的大发展。12粒子物理现阶段发展在现在这个阶段

6、，粒子物理已有了长足的发展。首先，在理论基础是量子场论的基础上，由于试验设备加速器、对撞机、探测器、计算机和数据处理系统的采用，然后通过高能粒子的相互碰撞，就会发现新粒子，目前为止，人们发现并已确认的粒子有400多种，还有300多种已发现但尚未确定。其二，科学界对微观粒子的深入了解，已有的基本粒子并不属于同一层次，按它们的主要相互作用，可以将粒子分为三类规范粒子是传递相互作用的粒子，有光子等四种；轻子是不参与强作用而参与弱作用和电磁相互作用，自旋均为12的粒子，电子等6种是轻子，加上它们的反粒子，轻子共12种；夸克是另外一种自旋1/2的费米子，它参与强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用，夸克共

7、6种，加上反粒子并考虑颜色，则共有36种。规范粒子、轻子和夸克就是构成我们这个世界的基元。夸克由于有色禁闭的特性因而从没被直接观察到，实际我们观测到的最多的粒子是强子，这是一切参与强相互作用的粒子，它们都是复合粒子，由夸克复合而成。自旋为零或整数的强子称为介子，如介子、介子，自旋为半整数的强子称为重子，如质子、中子、超子。这些粒子中大多数都是非常不稳定的，会很快的衰变而变成其他粒子，对衰变现象的研究是粒子物理的一个重要内容。13粒子衰变及相空间本论文是与粒子衰变相关的，我们知道研究对象多为不稳定的粒子，在很短的时间内就会发生衰变而转化为其他粒子，因而寿命成为衡量它们性质的重要物理量。在这里可以

8、简单的解释一下，如果一个质量为M的粒子有很短的固有寿命1/同时具有动量（E，P），然后它在衰变之前可以存2活的时间为0T或者更大的概率通过00/0TMTEPTEE可知，还有它可以移动的距离为0X或者更长其概率为0/0MTPPTE，在一个质量为M的粒子变成N个粒子的过程中的部分衰变率可以写成4212,2NINDMDPPPM，其中2M是不变振幅，可以由场论进行具体的计算，这是动力学的内容，具体的结果与导致粒子衰变的相互作用有关，而ND是一个N体的相空间元，这是运动学的内容，故可知粒子寿命不仅取决于具体的相互作用的性质（动力学的内容），还决定于衰变后的末态粒子的个数及质量等，这部分的因素就归结于相空

9、间因子（运动学的内容）。动力学内容相当的重要，但不是本文关心的重点，本文处理在各项同性衰变时的运动学的内容，即ND部分。32两体衰变21黄金规则粒子物理中需要计算一些基本的物理量，如衰变率和散射截面，都由两个组成部分，即振幅2M和相空间ND（振幅也被叫做矩阵元；相空间有时候也被叫做终态密度）。振幅包括所有的动力学信息，我们通过计算相关的费曼图表来计算它，在问题中使用符合相互作用的“费曼规则”。相空间部分仅仅包含运动学的信息，它由质量、能量和各成分的动量构成，并且反映在一个给定过程的最终状态可能有更多的“机动的空间”存在，如一个很重的粒子衰变成很多轻的次级粒子会涉及一个很大的相空间因子，因为有太

10、多的方式去分配原来所具有的能量；相反的，中子的衰变（ENPEV），在这个过程中几乎没有多余的额外质量，所以这个反应结果被紧紧的约束，同时，相空间因子非常小。根据费米的“黄金规则”一个给定过程的衰变率是由振幅和相空间决定的衰变率22M相空间通过这一规则，我们可以写出两体衰变、三体衰变和多体衰变的衰变率公式，因为本文比较关心衰变中的相空间部分，为了简单起见振幅2M被假定为常数，在实际应用中，其常与衰变前后粒子动量有关。211自然单位制在粒子物理学中，除了使用CGS单位制以外，另一种的单位制是自然单位制。因为经常要碰到光速C和布朗克常量。在CGS单位制中，它们的数值分别为10299810C厘米/秒和

11、27105510尔格秒，为了简便我们常选用自然单位，即令1C，这样粒子物理中的公式便大为简化。在下面的相空间简化中，将了解这一单位制的优点。212衰变率的形式现在我们考虑粒子的衰变。假定粒子1衰变成一些其它的粒子2，3，4，N衰变率通过方程D3332323331234412322222222NNNCDPCDPCDPSMMEEEPPPP得到（这个公式中的相空4间部分的得到将在多体衰变中涉及），其中/,IIIPECP是第I个粒子的四动量（包含了质量IM，以及22224IIIEPCMC），戴尔塔函数迫使能量和动量的守恒，即在123NPPPP成立的条件下才是1，其余为0，且这个衰变粒子被假定成静止粒子

12、，即11,0PMC，S是统计因子的乘积1/J，每一个统计因子1/J与衰变后的第个J粒子对应。应用自然单位1C，公式可以被简化为D3332323331234412322222222NNNDPDPDPSMMEEEPPPP，其中相空间可以被写成34121322,22NNINNIIIIDPDPPPPPE。22特殊情况下的两体衰变本文所说的特殊情况，即一个质量为M的粒子衰变成几个无质量的次级粒子，例如反应0。我觉得在这个情况下讨论比较容易入手，一个从简单到复杂的过程更让人接受。我们首先讨论一下这个过程的振幅是M，上文已经提到视为常数，接着，重写戴尔塔函数，即4123PPP，在现在的条件下，我们有21EM

13、C和01P，在自然单位定义1C下，即1EM和01P，则431232323PPPMEEPP。因为22224EPCMC，而此时222EPM，由假设230MM，我们有22EP和33EP。因此22333232323231142MSMPPPPDPDPMPP下一步，使用323PP去做3P的积分，即01XXDX，这样把上面的式子化简为223232231142MSMPPDPMPP221特殊情况下两体衰变的衰变率在上式的基础上，我们可以简单的使用一下动量守恒，即230PP再把每一个3P用2P代替，将衰变率公式化为23222221224SMMPDPMP，在这个阶段2M是一个常数故可以提出5积分号外，接着再将32D

14、P转变为球坐标，即23222SINDPPDPDD已知后边是可以进行角度积分的SIN4DD，现在我们就有了222028SMMPDPM，再由戴尔塔函数公式1KXXK使衰变率公式中的221222MMPP这样再利用一遍公式01XXDX，我们就可以得出216SMM，这就是质量M的粒子衰变为两个无质量粒子的衰变率公式。222特殊情况下二体衰变的相空间有了特殊情况下的二体衰变率216SMM，我们可以去除动力学内容2/224MMS得到相空间因子25142。我们将在后面对这个相空间和其他多体相空间的大小进行比较。23一般情况下的二体衰变讨论完了特殊的情况后，我们将视野扩展到更通常的情况。首先，设想现在是一个通常

15、的静止粒子，且假设已经知道它的质量为1M，通过衰变反应出现了两个出射粒子，且分别拥有质量2M和3M。接着与特殊情况下一样，讨论一下这个过程的振幅是M，上文已经提到视为常数，然后，重写戴尔塔函数，即4123PPP，在现在的条件下，我们有21EMC和01P，在自然单位定义1C下，即1EM和10P，则431232323PPPMEEPP。因为22224EPCMC，而此时222EPM，故这一次22222EMP，22333EMP。这样可以求出衰变率22222312233233323222221223324MMMPMPPPSDPDPMMPMP，6再使用01XXDX对3P积分，这样我们就有了更简单的公式222

16、221223332222221223324MMMPMPSDPMMPMP。231一般情况下的二体衰变的衰变率与之前一样，2M是一个常数故可以被提出积分号之外，与此同时我们可以引入球坐标，即公式32SINDDDD，其中是2P的速写。再利用公式SIN4DD并且作球积分222221232222201238MMMSMDMMM。我们可以用公式11NIIIFXXXFX去减少还存在的戴尔塔函数，但是为了更简单和更易说明，我们做一个变元，让222223EMM（物理意义上，E代表出射粒子的总能量），再做E关于的微分可以得到下面式子，即222223EDEDMM，这样原式可以被写成232118MMSMMEDEME，利

17、用公式00FXXXDXFX于是我们可以得出衰变率是20218SMM。上式必须需要满足条件123MMM，否则戴尔塔函数尖锋将在积分区域之外这样我们得到衰变率将是0，这是根据事实一个粒子不能衰变成更重的次级粒子。这里0是对应1EM时，式子222223EMM中，的值，通过计算我们发现其结果是4442222220123122313112222MMMMMMMMMM。232一般情况下的二体衰变的相空间7有了一般的两体衰变率20218SMM之后，同样我们去除动力学内容2/2124MMS得到相空间因子0251122M。我们意识到如果230MM则结果与特殊情况下的相空间一样。3三体衰变31特殊情况下的三体衰变在

18、我进行讨论特殊三体衰变之前，我想先说明本论文将不涉及通常情况下的三体衰变，因为当衰变末态粒子超过两个之后的相空间的积分将不再这么容易得出，只有在一些特殊情况下才可能得出，在上文中提到衰变率的式子是D3332323331234412322222222NNNCDPCDPCDPSMMEEEPPPP应用自然单位1C，公式可以被简化为D3332323331234412322222222NNNDPDPDPSMMEEEPPPP。相空间可以被写成34121322,22NNINNIIIIDPDPPPPPE，在三体衰变的情况下衰变率可以被写成D3332324333123444123422222222DPDPDPS

19、MMEEEPPPP，而此时相空间因子可以被表达成333432431234333234222222DPDPDPDPPPPEEE。311特殊情况下三体衰变的衰变率这个过程的振幅是2M，上文已经提到视为常数，我们假设为G，接着重写戴尔塔函数，即41234PPPP，在现在的条件下，我们有21EMC和01P，在自然单位定义1C下，8即1EM和10P，则431234234234PPPPMEEEPPP。因为22224EPCMC，而此时222EPM，由粒子性质可知2340MMM，我们有22EP、33EP和44EP。因此253333323423423423411222MSMEEEPPPDPDPDPMEEE下一步

20、，使用3234PPP去做3P的积分，即01XXDX，这样把上面的式子化简为253332342423411222MSMEEEDPDPMEEE现在由于要做32DP和34DP的积分，所以要将3E用2E和4E表示，我们可以从使用动量守恒公式中得到信息，即324PPP。我们可以推出222232424242EPPPPPP，再使用粒子的性质可以得到222324242COSEEEEE，与此同时，我们使用一下积分坐标的转换，即公式32222SINDPEDEDD。我们知道积分与无关，故2D，为了完成对部分的积分，必须做一个代换，即22324242COSXEEEEE微分得243SINEDDXE。积分号中的部分即23

21、323424234MMEEEDPDPEEE可以使用等式23424324SIN1XXDMEEEMEXEDXEEE变为23242424MMEXEDEDXDDPE，其中当24XMEEX时，241MEXEDX，否则为零，故我们要来讨论一下个粒子的能量范围。我们知道222424242XEEEEEE，这样24XMEEX可以被写成更直观的形式，即242424EEMEEEE，再在两边加上24EE，就能得到最终的结果2424241122EEEEMEE9从中我们可以得出在能量守恒与动量守恒下，能量的范围和限制，即2424121212EMEMEEM这三个不等式限制了2E和4E的积分区域，2E是从412ME到12M，

22、同时2E是从0到12M，现在我们可以将DD部分积分253324242411222MSMEXEDEDXDDPME再将2M变为G移出积分号可以得到结果432424114SGDEDPME，再32444SINDPEDEDD代入上式可以得到4241SIN4SGDEDEDDM，然后再使用以上的积分区域，可以先积分2DE部分，且SIN4DD得到31244014MSGEDEM，然后12244018MEDEM，所以最后三体衰变特殊情况下的衰变率为31642SGM。312特殊情况下三体衰变的相空间现在，我们也去除特殊情况下三体衰变率31642SGM中的动力学内容2/24MGS从而得到相空间因子721322M。10

23、4多体衰变41多体衰变相空间公式的得出过程在上文中提到，本人所用的相空间公式并不是其最初的形式，在接下来的行文中将有详细说明。在一个N体衰变反应中（123AN）要计算它的衰变率，就要考虑末态粒子所有可能的能量和动量，每个粒子对衰变率都是有贡献的，它们的总和就是衰变率，因为粒子能量和动量都是连续变化的，求和表现为四动量，即能量和动量组成的四维矢量空间的积分。N体衰变的相空间体积元可以表示为44412NDPDPDP，其中4XYZDPDPDPDPDE，X、Y、Z是动量的三个给定方向，由于衰变后的粒子都是自由粒子，故必须满足质壳条件，即22224IIIEPCMC其在自然单位定义1C下，此时222III

24、EPM，还有能量大于或等于零的条件，即0IE。（以上公式中的下标I代表衰变后的N个粒子中的一个）除了质壳条件和能量大于或等于零之外，末态粒子还有两个守恒条件要遵守，即能量和动量守恒定律。首先，假设在衰变反应123AN中，粒子A的能量为AE，三个动量方向分别为AXP、AYP、AZP这样两个条件可以被总结为1NAIIEE1XNAXIIPP1YNAYIIPP1ZNAZIIPP写成四维形式就是1NAIIPP。在以上的四个条件的束缚之下，再加上一些必要的积分常数，可以把衰变相空间积分写成44222312NINAIIIIIIIDPPPPMEE其中E是一个阶梯函数，它的意义是当E大于或等于零时，其值为1；当

25、E小于零时，其值为0。接下来利用一下戴尔塔函数性质，即11NIIIFXXXFX，其中0IFX，这样可以化简N中的每一个422232IIIIIDPPMEE部分，因为上式可以化简为1122224322IIIIIIIIIEPMEPMDPEE其中4XYZDPDPDPDPDE，故式子可化为22223322IIIIIIIIIIEPMEPMDPDEEE在IE函数的要求下，22IIIEPM等于零，故上式又可被化为2233322222IIIIIIIIIIIEPMDPDEDPEEEPM所以相空间公式44222312NINAIIIIIIIDPPPPMEE才会变成本人在处理两体和三体衰变中的公式3431122NNIN

26、AIIIIDPPPE。这两个公式虽然形式上不同，但本质上式等价的，在使用过程中可以根据情况灵活的挑选。42特殊情况下的多体衰变的相空间在前文中，本人曾经提到当衰变末态粒子超过两个之后的相空间的积分将不再这么容易得出，只有在一些特殊情况下才可能得出，故当衰变的末态粒子为N体时，积分的计算将更为复杂。现在已经知道了末态粒子质量为零的二体和三体衰变，其值分别为25142和37322S（S是质心系总能量的平方，在两体衰变时，即为静止的衰变母粒子的质量的平方），可得32232S。对于一般的N体，可以导出递推公式12161NNSNN，从这个公式可以导出普遍公式2521164212NNSNN。43相空间的大

27、小及其中原因从末态粒子质量为零的衰变的普遍公式2521164212NNSNN可以看出，一般12末态粒子增加一个，相应的相空间要减少两个数量级，这是因为在多体衰变和多粒子产生过程中，产生粒子越多，相应的概率越小的运动学原因。135DALITZ图51DALITZ图的基本内容在前面的内容中，本人已经讲了当衰变反应的产物等于或大于三个粒子后，相空间因子将不再那么容易得到，就是说我们不再能得到准确的结果，如果我们一定要了解相空间和衰变率的一些信息，那只有寻找另外一条途径，通过这条途径可以告诉关于2M动力学的内容和推测一下反应产物的质量分配，最重要的是可以了解反应产物的信息，这就是本人将通过计算机技术得到

28、的DALITZ图。511在三体衰变中的DALITZ图本人所说三体衰变为一个质量为M的粒子拥有四动量,0PM衰变成三个分别拥有四动量1P2P3P的次级粒子111,PEP222,PEP333,PEP，此时有关系22224EPCMC，又在自然单位定义1C下得出222EPM，现在定义IJIJPPP和22IJIJMP，然后可以得到三个等式2222123332MPPMMME2222132222MPPMMME2222231112MPPMMME，可以推出2222222122313123MMMMMMM。由上文所求出的三体衰变公式可知212511COS162DMDEDEDDDM，其中三个欧拉角,可以指定在空间中的

29、动量上式还可用3211213511162DMPPDMDDM，其中1P和1是在1和2的静止参照系中粒子1的动量和立体角，还有3P和3是在衰变粒子3在静止参照系的动量和立体角。31PP分别为1/22222121212121122MMMMMMPM1/2222212312332MMMMMMPM，14如果对212511COS162DMDEDEDDDM中的角因子进行积分，我们可以得到21231182DMDEDEM22212233311322MDMDMM，这是标准形式的DALITZ图。当给定一个212M的值之后，223M的变化是由212M的值决定的，即限制在2P平行或反平行3P之间2222222232322

30、33MAXMEEEMEM，222222223232233MINMEEEMEM，这里的2222121212/2EMMMM，同时，222312312/2EMMMM，它们都是在12M为静止的参照系下粒子2和3的能量。212M223M平面内的散射点图被叫做DALITZ图。52DALITZ图的得出过程和思路本人了解有很多数学软件可以画出DALITZ图，我选择了MATHEMATICA50作为绘图工具。过程和思路可以被简单的概括在下图15521衰变过程0在此过程中1MASS为质量548MEV，2MASS为0质量135MEV，3MASS为质量139MEV，可以得到一个有边界的DALITZ图1要定义DALITZ

31、图的区域和范围。2要确定DALITZ图的两个坐标即12M和23M。3要确定两个质量在束缚关系（能量守恒、动量守恒）之下可变动范围。4通过在可变动范围内随机的取值的方法来确定12M和23M的位置点。5将这些位置点画在已经定义好的DALITZ图的区域和范围内。16100200300400500100200300400500522衰变过程在此过程中1MASS为质量548MEV，2MASS为质量0MEV，3MASS为质量139MEV，可以得到一个有边界的DALITZ图1002003004005001002003004005001753DALITZ图的比较及其中信息以上的两个图是在取2M是为常数的情况下

32、，即图中每个点出现的概率一样大的情况下，使用MATHEMATICA50画出来的，可以看出这两个图上被允许出现点的区域有比较大的区别，从这两个图像得区别中可以让我们得知在衰变产物质量不同的时候，DALITZ图将会出现不同的形状，我们可以通过观察其不同，经验的得出粒子进行的是哪一种衰变。当然在实际的实验过程中，那些DALITZ图将会与通过电脑事先模拟的图有很大的出入，这一些不一致与2M的信息有关，因为此时每个点出现的概率不一样，这与2M有关，例如，在衰变反应DK中，当892KKMM时在图上出现带状分布，这反映了衰变过程是892DKK，即出现了共振态892K，伴随着次级衰变892KK的存在。186论

33、文总结本人的论文已接近尾声，如同摘要所讲的那样本论文是与粒子衰变相关的，研究对象多为不稳定的粒子，在很短的时间内就会发生衰变而转化为其他粒子，因而寿命成为衡量它们性质的重要物理量。在论文的书写中，本人主要学习研究相空间因子在粒子衰变中的影响，对于两体衰变的相空间因子已经给出解析结果，对三体及以上衰变的相空间已经给出一些特殊的的结果，对多体衰变分析使用DALITZ图技术进行分析研究，并通过计算机技术得到所对应的DALITZ图。19参考文献1DAVIDGRIFFITHS,INTRODUCTIONTOELEMENTARYPARTICLES,HARPER2MASS3MASS然后定义一系列有用的表格EK

34、TABLE0,100DALITZTABLE0,50,50ITABLEEE_,EMIN_,EMAX_,NTABLE_MAXMINFLOOREEEMIN/EMAXEMINNTABLE1,NTABLE,1接着用一个式子表示动量关系EQ1P32P12P222P1P2COST再做一些必要的公式代换把动量表示为能量EQ2EQ1/P1SQRTE123MASS2,P2SQRTE222MASS2,P3SQRTE323MASS2通过化简得到一个有用的式子COSTHETASIMPLIFYCOST/SOLVEEQ2,COST1再通过生成随机数的方式在已有的表格上画出符合要求的点N0E31MASSWHILEN3MASS,IFABSCOSTHETAFALSE,PLOTPOINTS50再加上边界条件PLOT2SHOWPLOT1,GRAPHICSLINE3MASS,2MASS,3MASS,1MASS23MASS,1MASS3MASS2MASS,2MASS,3MASS,2MASS,PLOTRANGE0,1MASS,0,1MASS完成。