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高中数学:柯西不等式.doc

1、类型一:利用柯西不等式求最值例 1求函数 的最大值解: 且 , 函数的定义域为 ,且 ,即 时函数取最大值,最大值为法二: 且 , 函数的定义域为由 ,得即 ,解得 时函数取最大值,最大值为 .当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式 1】设 且 ,求 的最大值及最小值。利用柯西不等式得 ,故最大值为10,最小值为-10【变式 2】已知 , ,求 的最值.法一:由柯西不等式于是 的最大值为 ,最小值为 .法二:由柯西不等式于是 的最大值为 ,最小值为 .【变式 3】设 2x+3y+5z=29,求函数 的最大值根据柯西不等式 ,故 。当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6,即 时等号成

2、立,此时,变式 4:设 (1,0, 2), (x,y,z),若 x2 y2 z2 16,则 的最大值为 ab ab。【解】 (1,0, 2), (x,y,z) x 2zab由柯西不等式1 2 0 ( 2)2(x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z) 2 4 x 45 4 4 ,故 的最大值为 4 :abab5变式 5:设 x,y,z R,若 x2 y2 z2 4,则 x 2y 2z 之最小值为 时,(x,y,z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2 22 49 36 x 2y 2z 最小值为 6, 公式法求 (x,y,z) 此时 , ,32)(

3、621zy 3xy34z变式 6:设 x, y, z R,若 ,则 之最小值为_,又zyx22)1(此时 _。y解析: 1436)()32(1)3(2)1( 2222 zyxzyxzx最小值 78, ,()1)3231yztxyztt t2变式 7:设 a,b,c 均为正数且 a b c 9,则 之最小值为 cba64解: ( )(a b c)2)432( 1 ( )9 (2 3 4)2 81 9cba164cba16948变式 8:设 a, b, c 均为正数,且 ,则 之最小值为_32解:: 22222 )1()()1(3)() cbac ,最小值为 1818ba变式 9:设 x,y,z

4、R 且 ,求 x y z 之最大、小值:14)3(5)2(6)( 22zyx【解】 由柯西不等式知14)3(5)(16)( 222z42( )2 22 222)()()(zyx 25 1 (x y z 2)2 5 |x y )5()41(yx2)3(zz 2| 5 x y z 2 5 3 x y z 7故 x y z 之最大值为 7,最小值为 3类型二:利用柯西不等式证明不等式基本方法:(1)巧拆常数 (例 1) (2)重新安排某些项的次序(例 2)(3)改变结构 (例 3) (4)添项(例 4)例 1设 、 、 为正数且各不相等,求证:又 、 、 各不相等,故等号不能成立 。例 2 、 为非

5、负数, + =1, ,求证:即例 3若 ,求证:解: , , ,所证结论改为证 例 4 ,求证:左端变形 ,只需证此式 即可。【变式 1】设 a,b,c 为正数,求证: ,即 。同理 , 将上面三个同向不等式相加得,【变式 2】设 a,b,c 为正数,求证: 于是 即【变式 3】已知正数 满足 证明 。解: 又因为在此不等式两边同乘以 2,再加上 得:,故 。类型三:柯西不等式在几何上的应用6ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证: 证明:由三角形中的正弦定理得 ,所以 ,同理 ,于是左边= 。【变式】ABC 之三边长为 4,5,6,P 为三角形内部一点,P 到三边的距离分別

6、为 x,y,z,求 的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z) 2(x 2+y2+z2)(42+52+62)(x 2+y2+z2)77 x2+y2+z2 。柯西不等式221nbaba 221221 nnbba niRai2,1等号当且仅当 或 时成立(k 为常数, )021 ii ,利用柯西不等式可处理以下问题:1) 证明不等式例 2:已知正数 满足 证明 ,abc1c2233abcabc证明: 2331222ab222333abc33abcc又因为 在此不等式两边同乘以 2,再加上 得:22abc 22abc3c故223322ababcabc2233cabc2) 解三角形

7、的相关问题例 3 设 是 内的一点, 是 到三边 的距离, 是 外接圆的半pABC,xyzp,RABC径,证明 221xyzabcR证明: 1xyzc 1axbyczabcA记 为 的面积,则SABC242abcSRA12cxyz abcR221abc3) 求最值例 4 已知实数 满足 , 试求 的最值,abcd3abcd22365d解: 即22166 222bcbc由条件可得, 2253a解得, 当且仅当 时等号成立,12a36121bcd代入 时, ,36bcdmax时 1in5)利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程2294863xyz解: 22222 864xyzxy429139又 ,.286439xy22222 864xyzxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得,它与 联立,可得z86439613x92y1z

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