高数上期末试题及答案.doc

1、1高等数学期末及答案一、 填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、 。._)(lim20xx2、当 k 时， 在 处连续0e)(2xkfx3、设 ,则xyln_dy4、曲线 在点（0，1）处的切线方程是 ex5、若 ， 为常数，则 。Cdf2sin)( )(xf二、 单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、若函数 ，则 （ ）xf)()(lim0xfA、0 B、 C、1 D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. B. C. D. )(1lnx)(lnx)0(cosx2423、满足方程 的 是函数 的（ ） 0)(xf )(xfyA极大值点 B极小值点 C驻点 D间断点

2、4、下列无穷积分收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、0sinxddxe02dx01dx015、设空间三点的坐标分别为 M（1，1，1） 、A（2，2，1） 、B（2，1，2） 。则 = AMB2A、 B、 C、 D、342三、 计算题（每小题 7 分，本题共 56 分）1、求极限 。xxsinlm02、求极限 )1(li0xe3、求极限 2cos102limxdt4、设 ，求)ln(5eyy5、设 由已知 ，求)(xftarcn1l(22dx6、求不定积分 x)3si(27、求不定积分 edco8、设 ， 求 01)(xxf 20d)1(xf四、 应用题（本题 7 分）求曲线 与 所围成图形的

3、面积 A 以及 A 饶 轴旋转所产生的旋转体的体2xy2yy积。五、 证明题（本题 7 分）若 在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 ， ，证明：)(xf 0)1(ff 1)2(f在(0,1)内至少有一点 ，使 。1)(f3参考答案一。填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、 2、k =1 3、 4、 5、6ex11yxf2cos)(二单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、D 2、B 3、C 4、B 5、A三计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）1.解： 7 分xxsin4lm0 81)24(sinlm21)4(2sinl 00 xxx2.解 ： 2lili)(li)1

4、(li 0000 xxxxxxxx eeee7 分3、解： 2cos102limxdtexexex 21sinl2cos04、解： .4 分)1(22y .7 分2x5、解： （4tdxy21分）（7 分）2 2231() 4dy tdxttx6、解： （7 分）Cxdxx )3cos(21)(sin21)3sin(1247、 解： xxeedcossinxxxdesicoexcosinxxxCex)cos(i8、解： 0110120 d)(d)( xfxfff001ex 101 )ln()(xex2ln)ln(1x)l(l1ee四应用题（本题 7 分）解：曲线 与 的交点为（1，1） ， 2

5、xy2y于是曲线 与 所围成图形的面积 A 为 22313)( 02102xdxAA 绕 轴旋转所产生的旋转体的体积为：y1052)(1042 ydyV五、证明题（本题 7 分） 证明： 设 ， 2 分xfxF)(显然 在 上连续，在 内可导，)(1,2)1,2(5且 ， .021)(F01)(F零点定理知存在 ，使 . 4 分,1x1x由 ，在 上应用罗尔定理知，至少存在一点0)(,1使 ，即 7 分),1x 01)(fF1)(f2006-2007 第一学期高数试题一、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1）函数 的定义域为 。21arcsinxfx240x或2） 。20co

6、slimx93）设 ，则 。xeyy1lxe4）设 ， 。20ad2adx5）若 。2,xrcsinCa二、选择题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1）极限 （ D ）21lim3xxA、2 B、 C、 D、不存在22）下列函数 在 上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）f,A、 B、 32fx2fxC、 D、arcoscot3）下列函数中，哪一个不是 的原函数（ C ）in2A、 B、2sinx2sxC、 D、co 25i4co4）设 ，则下列不等式正确的是（ 22111l,ln,PxdQxdRxdD ）A、 B、RP6C、 D、RQPQPR5）设 在 上连续，则 （ A ）fx,

7、abbadxfA、 B、bad afC、 D、baxffxdbaxd三、计算下列各题（共 4 题，每小题 6 分，共 24 分）1）计算极限sincos30lmxxe解：原式sincoco3320 001sincossin1li lml3xxxx2）设参数方程 ，求22lsii1ntty2dy解： ， 。2sicosi1sintdtxt2 22cos1sin1indyttx3）计算不定积分 2lx解：原式 32211lnln1xxddx221l11xxx23lndx221ll1lnxC四、解答下列各题（共 2 题，每小题 7 分，共 14 分）1）在曲线 上求一点 ，使它到点 的距离最小。yM

8、05,解：设曲线 上一点坐标为 ，它到点 的距离的平方为21x2,1a0,M7，我们只须在 求 得最小值2251faa,fa324610410a 当 时， ，此时， 取最小值。所求点为10ff ,2）设由 在第一象限围成的图形为 ，其面积为 。又曲线cos,yx D0S将 分为左右两部分 ，其面积分别为 ，求 的值inaD12, 12,a使 。12:S解： 200cosinxd又因为 ，12S1:所以 ,3arcot10sinxdxcot0sincotscotarrara225111五、（本题 8 分）设 有无穷间断点 ，有可去间断点3xbfa10x，求 之值。21x,ab解：因为 是无穷间断

9、点，所以 时， ，因此 ，00xfx0a,b又因为 是可去间断点，而 时， ，所以，当21x1x1ax时，有 ，因此 。30b2b六、（本题 9 分）设 ，讨论 在 处的连续性。21xef,fx0xcosyxinatrx8解：因为 ，所以 在 处的连续。2001limli0xxef ffx022200001lilimlilimhhhhff eef ，又因为 ，21xexf2001lilixxxf 所以 在 处连续。fx0（本题 10 分）设 在 内连续，可导且 单调增，,abfx0,xab000fxffx试证明： 在 内也单调增。x,ab证明：因为 ，所以 在 处00000limlixxffx

10、f x0连续。当 时，0002fffxx 在以 为端点的闭区间上对函数 运用拉格朗日中值定理，至少存在,x0,x之间的一点 使得0 0fxffffxf 当 时， ，当 时， ，即0x0f,xaff；当 时， ，即 ，又因为 在0,xbffx0处连续。所以 在 内也单调增。a一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1） 210)(coslimxx=_ e_.（2）曲线 yln上与直线 01yx平行的切线方程为_ 1xy_.（3）已知 xef)(，且 )(f, 则 )(xf_ )(f2)ln_ .（4）曲线 132y的斜渐近线方程为 _.931y9（5）微分方程52(1)y

11、x的通解为_.)1()(32227xCy二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 01dx(B) 212dx(C) 14(D) 1（2）函数 )(xf在 ,ba内有定义，其导数 )(xf的图形如图 1-1 所示，则（ D ）.(A) 21,都是极值点 . (B) )(,2xff都是拐点.(C) 1x是极值点.， 是拐点. (D) )(,f是拐点， 2是极值点.图 1-1（3）函数21eexxyC满足的一个微分方程是（ D ）.（A） 3.y （B） 23exy（C） x （D ） .（4）设 )(xf在 0处可导，则00limh

12、ffxh为（ A ）.(A) . (B) f. (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) ()().fxdf (B) ().dfx (C) (D) ()f 三、计算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）.1求极限)ln1(lim1xx. 解 )l(li1x= xxln)1(i-1 分=xl1-2 分= xxlnlim1-1 分= 21-2 分)(xfyyO12ab102.方程 ttyxsincol确定 y为 x的函数，求 dxy与 2.解 ,)(td-（3 分）.sintasii2 ttxy-（6 分） 3. 4. 计算不定积分 rc(1)xd.2arctnatn2(1) =rctrtaxdxdC 4.计算定积分 301x.解 3030 )(dxdx30)1(dx- - （3分） 35)1(202x- -（6 分）（或令 t）四、解答题（本题共 4 小题，共 29 分）.1 （本题 6 分）解微分方程 256xye.21231*01*23212-01,3.().()1().xxxxxreCyxbyxeCe . Y= C2 （本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1） ，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面上所受的压力