高数第二章导数与微分知识点与习题.doc

1、 高数第二章导数与微分知识点总结第一节 导数1基本概念（1）定义 00 0000()()()|()limli limxxxx xfxffxdyf yf或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数.0 0 00()()()limlimx xfxffxf .0 0 00()()()li lix xffff xx 存在 .0()f 00()ff（3）导数的几何应用曲线 在点 处的切线方程： .()yfx0,()fx00()()yfxfx法线方程： .0001()()ff2基本公式（1） （2）0C1()ax（3） （特例 ） （4）()lnxa(

2、)xelog(0,1)lnaa（5） （6）sicos(cs)ix（7） （8）2(tan)ex 2otc（9） （10）(sec)tanxx(cs)scotxx（11） （12）21(ari)x21(ar)x（13） （14）2(rctn)12(rcot)1x（15 22l()xaxa3函数的求导法则（1）四则运算的求导法则()uv()uvv2()uv（2）复合函数求导法则-链式法则设 ，则 的导数为： .(),()yfux()yfx()()fxfx例 5 求函数 的导数.21sinxe（3）反函数的求导法则设 的反函数为 ，两者均可导，且 ，则()yfx()xgy()0fx.1()()gf

3、f（4）隐函数求导设函数 由方程 所确定，求 的方法有两种：直接求导法和公式法 .()yfx(,)0FxyyxyF（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1） 特别地，()ln(0)xxaa(n)xxe（2） ()sisi2kk（3） ()coco()nxxn（4） ()1!l1()nnn（5） ()2kn knxkx（6）莱布尼茨公式： ，其中()()0nkkuvCuv(0)(0),uv第二节 微分1定义背景：函数的增量 .()(yfxfx定义：如果函数的增量 可表示为 ，其中 是与 无关的常数，则称函数()yAoxAx在点 可

4、微，并且称 为 的微分，记作 ，则 .()yfx0xdy注： ,dx2可导与可微的关系一元函数 在点 可微，微分为 函数 在 可导，且 .()fx0dyAx()fx00()Afx3微分的几何意义4微分的计算（1）基本微分公式 .()dyfx（2）微分运算法则四则运算法则()duvdduvv2()uvd一阶微分形式不变若 为自变量， ；u(),()()yfudfufd若 为中间变量， ， ， .fx()()yfxfud练习题1、求下列函数的导数。（1） ； （2） ； （3） ；23)1(xyxysinbxeyasin（4） ；（5） ；（6） 。lna1arct)1(2、求下列隐函数的导数。（

5、1） ；（2）已知 求 。0)cos(iyxy ,exy)0(3、求参数方程 所确定函数的一阶导数 与二阶导数 。)1(inta(dx2xy4、求下列函数的高阶导数。（1） 求 ； （2） 求 。,xy)(n ,2sinxy)50(y5、求下列函数的微分。（1） ； （2） 。)0(,x 21arcix6、求双曲线 ，在点 处的切线方程与法线方程。12bya)3,(b7、用定义求 ，其中 并讨论导函数的连续性。)0(f,01sin)(2xxf .,答案：1、 （1）解： )1()1()1( 232323 xxxy22 xxx)()(332。712（2）解： 。2sinco)sin(xxy（3）

6、解： bxeaebeaa cosii。)cossin(bxaex（4）解： 1l 222 axay)(2122 xax22ax。122ax21x（5）解： )1(1)(rctn2 xy。)()(222xx（6）解： 11ln xxey 1ln)()()(2xxx。1ln12、 （1）解：两边直接关于 求导得x0)(sicosin yy。)i(x（2）解：将 代入原方程解得0x,1y原方程两边直接关于 求导得 ， x0yxe上方程两边关于 再次求导得 ,2)(2yxy将 ， 代入上边第一个方程得 ，0x,1y 1e将 ， 代入上边第二个方程得 。1)(e2)0(y3、解： ；,cos(tadtt

7、adsin；2cot)s1(inatdtxy。2cs41)cs1()2 tatatt 4、 （1）解： ； ；1xy2(xy依此类推 。)(,)( nn（2）解：设 ,2si2xvu则 ，)50,1)(n()( kk430,)(vxvk代入萊布尼茨公式，得2)48sin(2!4950)249sin(250)2sin( 84950)50()( xxxxy。)i1cosi(2x5、 （1）解： .,(ln)(lnxey dxxdy)1(ln（2）解： 2arcsi11222x；23)(inx。dydx23)1(arcsi6、解：首先把点 代入方程左边得 ，即点 是切点。)3,2(ba 13422b

8、ay )3,2(ba对双曲线用隐函数求导得 ,022yxyx过点 的切线的斜率为)3,2(ba ,3)3,(2abba故过点 的切线方程为 ；),( )(xy过点 的法线方程为 。)3,2(ba )2(3axby7、解： ,01sin1sin0)()0( lmllim020 xxxff xxx同理 ；故 。f)(f显然 在 点连续，因此只需考查 在xxxx 1cosin21cos1sin2)(2 )(xf点的连续性即可。但已知 在 点不连续，由连续函数的四则运算性质知 在 点不连00)(f0续。讨论习题：1、 设 求 。,)3()xf )(xf2、 求和 。nnS223、 设函数 在 上有定义

9、，且满足)(xf1, ,1,)(3xxf证明 存在，且 。0f0讨论习题参考答案：1、解：因为 ),3(,)(2xf .0,x易知 在开区间 内都是可导的；又)(xf ),(0,对于分段点 ， ，有，0)3(0)()0( 20limli xxff xx，即 ；)()()( 200 ff xx 0)(f，93)()3( 232lili f xx，即 不存在；)(0)()( 2323 f xx )3(f所以除 之外 在区间 內均可导，且有)(f,360,)(2xxf ).3,0(,x2、解：因为 ，xnn112，212 )()(xx nn；2112 )(31xnn 1)()12()1()(1) )

10、32( 2232112132 xnxnxxnxxxS nnnn 3、证：由 可知当 时， ，,3f 00)(f即 。又0)(f；)0,1(,)(3xxxfx已知 ，由两边夹定理可得1300limxx。)()(0ffx思考题：1、 若 在 不可导， 在 可导，且 ，则)(uf0)(xgu0)(0xgu在 处（ ）xgf（1） 必可导， （2）必不可导， （3）不一定可导。2、 设 连续，且 ，求 。)( )()2xgaxf)(af思考题参考答案：1、 解：正确选择是（3）例如： 在 处不可导；若取 在 处可导，则uf)(0xgusin)(0在 处不可导；即（ 1）不正确。又若取xgsin在 处可导，则有 在 处可导。4)(u 4)(xf即（2）也不正确。2、 解：因为 可导，所以)(xg )()(2)2gagaxf 又因为 不一定存在，故用定义求 ， f)(2)()0()(limliagxgaxffxafxax 第三组：潘柏华 王涛 罗宇生 陈珂晔 黄强