1、第三章 线性方程组1 用消元法解下列线性方程组：23415234151) 1xxxx12453124512) 796xx2344123)7xx 31243450)167xx142314125)xx124312436)15xxx解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 350012102354314718102100032201010因为，()()45rankArB所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，1453240x解得 123450xkxk其中 为任意常数。k2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 1032120321454579676612032120321455989810327001
2、因为，()4()3rankArank所以原方程无解。3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有12341234001577，102108332148因为，()()4rankAr所以方程组有惟一解，且其解为。1234860x4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 3571892232164167，8978902020134即原方程组德同解方程组为，12347890xx由此可解得，12231423790xkxk其中 是任意常数。12,k5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 121133704224511217070423因为，()4()3rankArank所以原方程组无解。6）对方程组的增广矩阵作行
3、初等变换，有12313502214520502，20005257216150010即原方程组的同解方程组为，2341357650x解之得，12347516xkxk其中 是任意常数。k2.把向量 表成 的线性组合.。1234,1234)(,),(,1),12342)(0,)(,3),01解 1）设有线性关系 1234kk代入所给向量，可得线性方程组，123412341kk解之，得，15,4k2,31,k4因此。12342）同理可得。133.证明：如果向量组 线性无关，而 线12,r 12,r性相关，则向量可由 线性表出.r证 由题设，可以找到不全为零的数 使121,rk，12 0rrk显然 .事
4、实上，若 ，而 不全为零，使10rk10r12,rk2rk成立，这与 线性无关的假设矛盾，即证 .故12,r 10rk，1riik即向量 可由 线性表出。12,r4. ，证明：如果 ，那么()(,2)iiin 0ij线性无关。12,n证 设有线性关系 ，120nkk代入分量，可得方程组，12112120nnnkk 由于 ，故齐次线性方程组只有零解，从而 线性无关。0ij12,n5.设 是互不相同的数， .证明：12,rtt rn是线性无关的。1(,)(,2)niiit 证 设有线性关系 ，则10rkk，2111120rnnrtttkttk 1）当 时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数
5、行r列式为一个范德蒙行列式，即，122112()0njiinnttttt 所以方程组有惟一的零解，这就是说 线性无关。2,r2）当 时，令r2111221(,)(,)rrrrtttt 则由上面 1)的证明可知 是线性无关的。而 是12, 12,r延长的向量，所以 也线性无关。12,r 12,r6.设 线性无关，证明 也线性无关。123231,证 设由线性关系 ，则122331()()()0kkk。3()再由题设知 线性无关，所以12,，1320k解得 ，所以 线性无关。1230k1231,7.已知 的秩为 ，证明： 中任意 个线性,s r2,s r无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设
6、 是 中任意 个线性无关向量组，12,iir 12,s r如果能够证明任意一个向量 都可由 线性()j 12,iir表出就可以了。事实上，向量组 是线性相关的，否则原向量组的12,iirj秩大于 ，矛盾.这说明 可由 线性表出，再由 的任意rj12,iir j性，即证。8.设 的秩为 ， 是 中的 个12,s r12,rii 12,s r向量，使得 中每个向量都可被它们线性表出，证明：s是 的一个极大线性无关组。12,rii 12,s证 由题设知 与 等价，所以12,rii 12,s的秩与 的秩相等，且等于 .又因为12,rii 12,s线性无关，故而 是 的一个极大12rii 12,rii
7、12,s线性无关组。9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证 将所给向量组用（）表示，它的一个线性无关向量组用（）表示。若向量组（）中每一个向量都可由向量组（）线性表出，那么向量组（）就是向量组（）的极大线性无关组.否则，向量组（）至少有一个向量 不能由向量组（）线性表出，此时将 添加到向量组（）中去，得到向量组（） ，且向量组（）是线性无关的。进而，再检查向量组（）中向量是否皆可由向量组（）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（）线性表出的向量添加到向量组（）中去，得到向量组（） 。继续这样下去，因为向量组（）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（）的一
8、个极大线性无关组。10.设向量组为， ， ，1(,24)2(0,31)3(,0714)， 。4,561） 证明： 线性无关。122） 把 扩充成一极大线性无关组。,证 1）由于 的对应分量不成比例，因而 线性无关。12, 12,2）因为 ，且由312，240kk可解得，124所以 线性无关。124,再令，12450kk代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为 0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即 线性相关，所以 可由1245, 5线性表出。124,这意味着 就是原向量组的一个极大线性无关组。124,注 此题也可将 排成 的矩阵，再通过列初等变换5,4化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：，1 23 4)(6,4),(1,03)97,1 23 452)(,2),(,)07,6解 1）设12341023967A对矩阵 作行初等变换，可得
