量子力学教案7.doc

1、1第七章 自旋在较强的磁场下（ ） ，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应T210的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（1T）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度 来描述并不是完全的。z,yx我们将引入一个新的自由度自旋，它是粒子固有的。当然，自旋是 Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。7.1 电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922 年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原

2、子具有磁矩 ，那在磁场中的附加能量为cosBU如果经过的路径上，磁场在 方向上有梯度，即不均匀，则受力zdsF从经典观点看 取值（从 ）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力co1不同，而取值 dzB所以原子分裂成一个带。但 Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态） 。而人们知道，银原子（ ）基态 ，47z0l所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道） ，表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽） ，这磁矩称为内禀磁矩 ，与之相联系的角动量称为

3、电s子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A碱金属光谱的双线结构钠原子光谱中有一谱线，波长为 5893，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。93.58D1.2这一事实，从电子仅具有三个自由度是无论如何不能解释的。2B反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）原子序数 为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数z为偶（如钠 和 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为 条和 条） 。这种现象称为1D2 46反常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。C在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为 ，而是B2

4、e。对于不同能级， 可能不同，而不是简单为 ( 称 因子)。B2egDg1DgLand根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck） （乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设 电子具有自旋 ，并且有内禀磁矩 ，它们有关系Ssmes 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值 ，所以2，ez2ezS以 为单位，则 （而 ）emgs1自旋的回磁比为 2s现在很清楚，电子自旋的存在可由 Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正 02319.)21(gs7.2 自旋微观客体的一个动力学变量既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取 ，还应有第四z,yx个变量 ，

5、相应算符为 。zSzS（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩Sme所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值， ） 。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来刻2gs3划它。于是我们假设：自旋算符 有三个分量 ，并满足角动量所具有的对易关系。SiA. 对易关系kijjiS,B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值, ，所以22z2yx41于是 是一常数)(3SC. 矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以可用 矩阵表示。zyx,21若选 作为力学量完全集，即取 表象，那 在自身表象中的表示z

6、S zSz自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值102)(z相应的本征矢 2,S,zsszm,其对应的表示为 ，012 在 表象中的矩阵表示yxS,z我们知道，这只要将 作用于 的基矢并以 基矢展开，yxS,zzS从展开系数来获得由 yxziS,z因此 szsm,S)(,Ss,141m,SA,ss由 2,sz2s,2m43ss)1)(21SA即 1m,S)(m,S ssss 同理可得,)(S, ssss 1m,S)(2,Sssssx 1,)(S(2im, ssssy2121xSx得系数矩阵为 转置得012012)S(x而 iSy21i21y系数矩阵为 转置得01i 0i)S(y对于 在 方向有

7、nS,5zyxn ScossinScosiS 则本征矢 2iies 2iiecos Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符2S于是，在 表象中有（或称 Pauli 表象）z， ， 01)(x 0i)(y 10)(z称为泡利矩阵。 的本征值为 。i， kijji2,12zy2x由此得 xyx)i(i1x,2zz,i1x0于是有 zxyxyi22 izx为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进一步性认识，我们作一些例子。例 1求 的本征值，本征矢y因已知 在 表象中矩阵形式为z0i矩阵形式的本征方程为am)(knsky要 不同时为 ，系数行列式应为a00i

8、is12s12s6对于， 1a 1ms0ai21i2i， 1s0ai2112ia例 2表象变换对于两表象变换 , BAs abS显然， 列，实为 表象基矢 在 表象中的表示baS12i)(yz我们知 在自身表象为 ，0所以，它在 表象中表示为z 012012iii)(zy当然由 的变换矩阵zy12iSzy 1001iii)(y（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A. 自旋波函数（电子的自旋态）对于 的本征方程为zS7sszmS由于 的本征值仅取 , 21在其自身表象 10)S(z而相应本征态的表示为 0)2(1z)S(21z（即 ： ， ， ， ）)(zms)2(10)(0)21(1)2(1，

9、 SzSz)(是 的本征值为 的本征态在 表象中的表示z2z是 的本征值为 的本征态在 表象中的表示SS显然 正交， , 01),(对于任何一旋量 在 表象中，其表示为zS2()21a211aa若 是归一化的，则 为以 描述的电子处于 的几率，21a 2Sz即自旋向 的几率。下上而 和 可由 与 标积获得21a,21a)0,(821a)1,0( 即由表示计算振幅 sms,21,s）ssm,21,sB. 考虑自旋后状态的描述：由于电子除了 之外，还有第四个动学变量 ，z,yxzS它的特点仅取二个值，而 ，所以，可在 表象中表示体系波函数。0S,rz)S,r(仅有两个本征函数。因此，对于处于某状态

10、 的体系可按自旋波函数展zS 开。这即 在 表象中表示。)t,r(m,rss)S,r(z如令 )t,2r(S,rz)t,r(,rz则 在 表象中的表示为)S,r(z)t,r()t,2r(m,r( 21s t,1若 是归一化的态矢量，则sm,r,rdsrd)t,()t,()t,(t, 212121代表体系处于 而自旋向上的几率密度21r代表体系处于 而自旋向下的几率密度如同一般变量可分离型一样，当 对 和 是变量可分离型的，则其特解HrzS9为)S(t,r)t,Sr(zzC考虑自旋后，力学量的表述L而在 表象中)S,r(z的表示为, 21z)S,r(21,而 在 表象中的表示为L)S,r(z)r

11、()P,rL),r(, 21 方程 在 表象中可表为LS,zzzS,rrd,r,z )r()r()P,r(L),r( 212121S,Sziz2),Pr(L2ziz12S),r(Sziz212),Pr(LLziz2 事实上，直接由 在 表象中表示来获得)S,r(iz)P,r(L),r(21对任一算符的平均值为 d10rdL),( 2121*21 rd r*21*d21例：求 在态矢量 中的平均值)i(21yx解： 在 表象中表示S,rz01i012)(而 )r()(21rd)(0)r(,)r(21* rd)(,r21（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程A. 动能项在非相对论极限下，电子的动能为2pT当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到 0 B,A,)B(iA)B(我们有pT21而置于电磁场中时，则 )Ae()Ae()p(ip221Be)P(