高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案).doc

1、 高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 1 - 1 -高中思维训练班高一数学 第 1 讲-集合与函数(上)本讲要点:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化重点掌握:函数的迭代1.定义 M 与 P 的差集为 M-P=x | xM 且 x 不P ,若 A=y | y=x2 B=x | -3x3 ,再定义 MN =（M-N)(N-M） ，求 AB2.集合 A= 中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 _ .若321A= ,则所有子集的元素之和是 .,n3.已知集合 ,4321aA, ,24321aB,其中 4321a,并且都是正整数.若 ,4

2、1aBA,041a.且 中的所有元素之和为 124,求集合 A、B.*4. 函数 ，求 (本讲重点迭代法)10),5()(nfnf 84f5. 练习:定义: .已知 是一次函数.当 求 的解析*,)(Nxfxnn 个 xf 10234)(10xf )(xf式(本讲重点迭代法)*6.设 f(x)定义在正整数集上，且 f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y)xy。求 f(x) (本讲重点顺序拼凑法)课后作业: 7. 当 n10 时,f(n)=n-3;当 n1/m 答案:1. 【解】 Ax|x0 B=x|-3x3 A-B=x|x3 B-A=x|-3x0 AB=x|-3x0或 x32. 【解】分析已

3、知 的所有的子集共有 n2个.而对于 ,显然 中包含 的子集,21n ,21ni,21n i与集合 的子集个数相等.这就说明 在集合 的所有子集中一共出现 次,即对所,21i i, 1有的 求和,可得 集合 的所有子集的元素之和为i ).(1ninS,2n 2)()21(1nn= .2)1(n3. 【解】 43aa,且 ,41aBA,21,又 Na,所以 .1又 041,可得 9,并且2或 .23若 92,即 2,则有 ,813解得 53或 63(舍)高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 2 - 2 -此时有 .81,259,531BA若 923a,即 ,此时应有 a

4、,则 BA中的所有元素之和为 100124.不合题意.综上可得, .5【解】解：设 f(x)=axb (a0)，记 ffff(x)=fn(x)，则n 次 f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a 2xb(a1)f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a 3xb(a 2a1)依次类推有：f 10(x)=a10xb(a 9a 8a1)=a 10x b1)(0由题设知：a10=1024 且 =1023ab1)(0a=2，b=1 或 a=2，b=3f(x)=2x1 或 f(x)=2x38. 解：令 y=1，得 f(x1)=f(x)x1再依次令 x=1，2，n1，有f(2)=f(1)2f(3)

5、=f(2)3f(n1)=f(n2)(n 1)f(n)=f(n1) n依次代入，得f(n)=f(1)23(n 1)n= 2)1(nf(x)= )1(x(x N+)高中思维训练班高一数学 第 2 讲-函数(下)本讲要点:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1 例 f(x)在 x0 上为增函数,且 .求:)()(yfxyf高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 3 - 3 -(1) 的值.)1(f(2)若 ,解不等式62)1(3(xff2 例 f(x)对任意实数 x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y)

6、 + 2,当 x0 时,f(x)2(1)求证:f(x)在 R 上是增函数(2)若 f(1)=5/2,解不等式 f(2a-3) 0 的函数,且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x1 时有 f(x)1 上是增函数(3) 在 x 1 上,若不等式 f(x) + f(2-x) 0 上,当 x1 时,f(x)0;对任意的正实数 x 和 y 都有 f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明 f(x)在 x0 上为增函数(2)若 f(5) = 1,解不等式 f(x+1) f(2x) 2*7 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(xm) ,求证 f(x)是周期函数)x(f17. 当

7、n10 时,f(n)=n-3;当 nf(x+2m)=f(x) g(x)的周期为 3，-g(x+3n)=g(x) 2 与 3 的最小公倍数是 6，-f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-f(x)g(x)是周期为 6 的周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-f(x)g(x)也是周期为 6 的周期函数。高中思维训练班高一数学高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 7 - 7 -第 4 讲- 函数的对称专题(下)第 5 讲- 对称与周期的关系本讲要点:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关

8、系知识点 1:两个函数的图象对称性性质 1： )(xfy与 )(xf关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)(xgf0y性质 2： )(f与 )(f关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。x)(f x性质 3： )(fy与 )2(xaf关于直线 a对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)2()xgfa性质 4： 与 关于直线 对称。)(xf)(fy换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。xaxf)(y性质 5： 关于点 对称。)2()(afbyf与 ,b换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对称。gxgf2)(,)ab性质 6

9、： 与 关于直线 对称。)(xaf)(a知识点 2:单个函数的对称性性质 1：函数 满足 时，函数 的图象关于直线 对称。()yfx()()faxfb()yfx2abx证明：性质 2：函数 满足 时，函数 的图象关于点（ ， ）对称。()yfx()()faxfbc()yfx2abc证明：性质 3：函数 的图象与 的图象关于直线 对称。()yfax()yfbx2bax高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 8 - 8 -证明：知识点 3:对称性和周期性之间的联系性质 1：函数 满足 ， ，求证：函数 是周期函数。()yfx()()faxf()()fbxfab()yfx证明

10、：性质 2：函数 满足 和 时，函数 是周期函数。()yfx()()faxfc()()fbxfc()ab()yfx（函数 图象有两个对称中心（a， ） 、 （b， ）时，函数 是周期函数，且对称中心距离的两倍，是2yfx函数的一个周期）证明：性质 3：函数 有一个对称中心（a，c）和一个对称轴 （ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是()yfx x。4()ba证明：高一数学思维训练教师版 为学服务,我们更专业!高一数学周末班- 9 - 9 -推论：若定义在 上的函数 的图象关于直线 和点 对称，则 是周期函数，R)(xf ax)0(ba)(xf是它的一个周期)(4ab证明：性质 4：若函数

11、 对定义域内的任意 满足： ,则 为函数 的周期。 （若 满足()fxx()()fafx2a()fx()fx则 的图象以 为图象的对称轴，应注意二者的区别)()fxaf证明：性质 5：已知函数 对任意实数 ,都有 ，则 是以 为周期的函数xfyxbxfafxfy2a证明：例题与习题:1 例（2005 高考福建理） 是定义在 上的以 3 为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间()fxR(2)0f()0fx（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A3 B4 C5 D7*2 例 的定义域是 ，且 ,若 . 求 f(2008)的值。()fxR(2)1()fxfxf028f高一数学思维训练教师版 为学服务,我

12、们更专业!高一数学周末班- 10 - 10 -3 练 函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _。fxx12fxf5ff解：由 得 ，所以 ，则12ff4()f ff ()1f 15()(2)5ffff*4例 若函数 在 上是奇函数，且在 上是增函数，且 .)(xfR01，)()2(xfxf求 的周期；证明 的图象关于点 中心对称;关于直线 轴对称, ;)(xf(2,)k1xk()kZ讨论 在 上的单调性；1,解: 由已知 ，故周期 .()2)(2)(4)fxffxfx4T设 是图象上任意一点 ,则 ,且 关于点 对称的点为 .P关于直线,PyyP(2,0)k1(,)kxy对称的点为21xk2(4)Pkx ,点 在图象上,图象关于点 对称.(4)ffxfy1(,)k又 是奇函数,x()()xf (2)fkffy点 在图象上,图象关于直线 对称.P21xk设 ，则 ，12x210x 在 上递增, (*)()f0)1()()fxf又 , .()xfx12x22()(ffx所以： ， 在 上是减函数.21)f(f,