高中导数、定积分的复习讲义(含答案).doc

1、 一、知识点梳理1.导数：当 x趋近于零时， xff)(00趋近于常数 c。可用符号“ ”记作：当 0时， xff)(00c或记作 cxffx )(lim00，符号“ ”读作“趋近于” 。函数在 0的瞬时变化率，通常称作 )(f在 0处的导数，并记作 )(0xf。即 xfffx)(lim0002.导数的四则运算法则：1） )()(gfgf 2） xfxx3） )()()(2gfgf 几种常见函数的导数：(1) )(0为 常 数C (2) )(1Qnxn）（ (3) xcos)(sin (4)xsin)(co(5) )(l (6) exaalg1lo (7) xe (8) axl 例题：对下面几

2、个函数求导（1） 、 12832xy（2） xaefln5)(3) 2xf3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点 为曲线上一点，则过点 的切线的斜率),(0yxP),(0yxPxffxfk)(lim)( 000切由于函数 )(xfy在 0处的导数，表示曲线在点 )(,0xfP处切线的斜率，因此，曲线 在点 )(,xfP处的切线方程可如下求得：（1）求出函数 y在点 0处的导数，即曲线 )(xfy在点)(,0xfP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： )(00fy例题：1、已知曲线 的一条切

3、线方程是 ，则 的值为 mxy314yxm或 或.A43.B28.C328.D2312、若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为A B C D4.函数的单调性：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果),(ba0)(xf )(xfy，那么函数 在这个区间内单调递减。0)(xfy例题：求 的单调区间43)(2xf5.函数的极值求函数 )(xf极值的步骤 :求导数 。求方程 0)(/xf的根.列表；下结论。1、已知函数 2)1()(3xaxf ，若 1是 )(xfy的一个极值点，则 a值为 （ ）A2 B.-2 C. 72 D.42、设函数f(x)= 322(1),1.x

4、aa其 中 （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解：由已知得 ()6()f，令 ()0fx，解得 120,1xa。（）当 1a时， 2x， 在 ,上单调递增；当 时， ()1fa， ()fx随 的变化情况如下表：x,00 ,1)a1a(,)()f+ 0 0xA极大值 A极小值 A从上表可知，函数 ()f在 ,)上单调递增；在 (,1)a上单调递减；在 (1,)a上单调递增。（）由（）知，当 1a时，函数 ()fx没有极值；当 1a时，函数 ()fx在 0处取得极大值，在 1a处取得极小值 31()a。6.函数的最大值和最小值（1）设 )(xfy是定义在区间 ba,上的函数， )(

5、xfy在 ,b内有导数，求函数f在 ba,上的最大值与最小值，可分两步进行 .求 )(xfy在 ,内的极值.将 在各极值点的极值与 )(af、 bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数 )(xf在 ba,上单调增加，则 )(f为函数的最小值， )(bf为函数的最大值；若函数 在 上单调递减，则 a为函数的最大值， 为函数的最小值.例题：32()fx在区间 1,上的最大值是 2 。解：当1x0 时， ()fx0，当 0x1 时， ()fx0，所以当 x0 时， f（x）取得最大值为 2。7.定积分性质（1） ；()()bbaakfxdfx（2） 1212()bbaafd

6、fx（3） ()()()cbacff c8、常见求定积分的公式（1） （2） （C 为常数）1|()bnnbaaxdx |bbaadxc（3） （4）sicos| osin|（5） （6）l|bbaax |bxxbaae（7） |(01)lnxd且练习（1） （2） （3）102xd42xd解：（1） 31010 dx（2） 2lnl1nl122xd（3） 404042001() 81dxx9、应用定积分求曲边梯形的面积（1）如图，由三条直线 ， 轴（即直线 ）及一,xabx()0ygx条曲线 ()yfx0)围成的曲边梯形的面积 ()()(baaSfdfgd（2） 如图，由三条直线 ， 轴（即

7、直线 ）及,xbx()0ygx一条曲线 ( )围成的曲边梯形的面积：)yfx0f； (3)如图，由曲线 ， 及直线1()fx2()yfx12()0fx，围成图形的面积公式为：,xab. 注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积. 求抛物线 与直线 围成的平面图形的面积.2yx4yx剖析先求出抛物线 与直线 的交点，将积分区间确定，再求24yx定积分。解由方程组 解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, 4）xy42解法 1:选

8、x 作为积分变量，由图可看出 S=A1+A2在 A1部分：由于抛物线的上半支方程为 ，下半支方程为 ，所yx2yx以112 20 0()ASxdxd31620284(2)ASxdx)4(822xx于是： .163S10、有关复数的知识点：复数的单位为 i，它的平方等于1，即 1i2.复数及其相关概念：复数形如 a + bi 的数（其中 Rba， ） ；实数当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a；虚数当 时的复数 a + bi；纯虚数当 a = 0 且 b时的复数 a + bi，即 bi.复数 a + bi 的实部与虚部a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）复数集 C

9、全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义： 0 babiRdcbadbcadicbia ） 特 别 地，（ 其 中 ，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.（ ）8,-48（ ）2,21.复数32i(A)i (B) i (C)12-13i (D) 12+13i2.复数231i(A) 4i （B） 34i （C） 34i （D） 34i3.设 a,b 为实数，若复数1+2iab，则（A）31,2ab(B) 3, (C) ,(D) 1,ab 4.已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2C. x=1，y=1 D.

10、 x=1，y=2课后作业1、若点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小距离为 ( )A1 B. C. D.222 3解析 过点 P 作 yx 2 的平行直线 ，且与曲线 yx 2 ln x 相切，设 P(x0，x ln x0)，20则 ky|xx 02x 0 ，1x02x 0 1，x 01 或 x0 (舍去) 1x0 12P(1,1) ，d .|1 1 2|1 1 2答案 B2、若曲线 yx 4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为( )A4xy30 Bx 4y50C4x y30 Dx4 y30解析 y4x 34，得 x1 ，即切点为

11、(1,1) ，所以过该点的切线方程为 y14(x1) ，整理得 4xy30.答案 A3、曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A. e2 B 2e2 Ce 2 D.94 e22解析 点(2，e 2)在曲线上，切线的斜率 ky | x2 e x|x2 e 2，切线的方程为 ye 2e 2(x2) 即 e2xye 20.与两坐标轴的交点坐标为(0， e2)，(1,0)，S 1e2 .12 e22答案 D4、 31)(dx； 5、 20|=6. 计算抛物线 与直线 所围成平面图形的面积。2yx230y37.i 是虚数单位，计算 32i（A）1 （B）1 （C） i （D） i8.i 是虚数单位，复数32i(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 9.若复数 z1=1+i，z2=3-i，则 z1z2=（ ）A4+2i B. 2+i C. 2+2i D.310.已知2aib（a,bR） ，其中 i 为虚数单位，则 a+b=-1 (B)1 (C)2 (D)3