1、第 1 页 共 4 页第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函)(Dxfy0)(xfx数 的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(f )(f的图象与 轴交点的横坐标。)(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0x)(xfy有零点y3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 )(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起 2 )(xfy来，并利用函数的性质找出零点4、基本初等函数的零点：正比例函数 仅有一个零点。(0)ykx反比例函数 没有零点。一
2、次函数 仅有一个零点。()b二次函数 02acxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有()x两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有2b一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，0()axca x二次函数无零点指数函数 没有零点。(,1y且对数函数 仅有一个零点 1.log)a且幂函数 ，当 时，仅有一个零点 0，当 时，没有零点。x0nn5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数） ，函数先把 转化成fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 （基本初等函数） ，这另0f 12,y
3、个函数图像的交点个数就是函数 零点的个数。fx6、选择题判断区间 上是否含有零点，只需满足 。,ab0fabEg：试判断方程 0,2内是否有实数解？并说明理由。在 区 间0124x第 2 页 共 4 页8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使 的实数；0)(xf从“形”的角度看：即是函数 的图象与 轴交点的横坐标；x若函数 的图象在 处与 轴相切，则零点 通常称为不变号零点；)(xf 0若函数 的图象在 处与 轴相交，则零点 通常称为变号零点0一元二次方程根的分布的基本类型设一元二次方程 （ ）的两实根为 ， ，且 .2cbxaa1x221x为常数，则一元二次方程根的 分布（即 ， 相对于
4、 的位置）或根在区间上的kk1x2k分布主要有以下基本类型：表一：（两根与 0 的大小比较）分布情况两个负根即两根都小于 012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根 小于 0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f第 3 页 共 4 页综合结论（不讨论） a02baf02baf0fa表二：（两根与 的大小比较）k分布情况 两根都小于 即kx21,两根都大于 即x21,一个根小于 ，一个大k于 即 12x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfa表三：（根在区间上的分布）kkk第 4 页 共 4 页分布情况两根都在 内nm,两根有且仅有一根在内（有两种情况，只,画了一种）一根在 内，另一根在nm,内，qp, qp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或0fmnfpq0fnpq综合结论（不讨论） a 0nf0qfpm
