高中数学必做100题.doc

1、必修 1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数 的函数值的集合； （2） 与 的图象的交点集合.参考答案：（1） （3 分），（5 分）故所求集合为 .（6 分）（2）联立 ，（8 分）解得 ，（10 分）故所求集合为 .（12 分）2.已知集合 ， ，求 、 、 、. 参考答案： ，（3 分），（6 分），（9 分）.（12 分）3.设全集 ， ， . （1）求 ， ， ， ；参考答案： ，（1 分），（2 分），（3 分）.（4 分）（2）求 ， ， ， ；解： ，（5 分），（6 分），（7 分）. （8 分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合 Venn 图进行分

2、析.解： ，（9 分） . （10 分）Venn 图略. （12 分）4.设集合 ， . （1）求 ， ；（2）若 ，求实数 a 的值；（3）若 ，则 的真子集共有_个, 集合 P 满足条件 ，写出所有可能的集合 P.参考答案：(1)当 时， ， ，故 ，；（2 分）当 时， ， ，故 ， ；（4 分）当 且 时， ， ，故 ， . （6 分）(2)：由（1）知，若 ，则 或 4. （8 分）(3)若 ，则 ， ，故 ，此时 的真子集有7 个. （10 分）又 ， 满足条件 的所有集合 有 、 . （12 分）5.已知函数 .（1）求 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证 在 上递减.参考

3、答案：（1）要使函数有意义，则 ，解得 . （2 分）所以原函数的定义域是 .（3 分），（5 分）所以值域为 .（6 分）（2）在区间 上任取 ，且 ，则（8 分）， （9 分）又 ， ，（10 分），（11 分） 函数 在 上递减. （12 分）6.已知函数 ，求 、 、 的值. 详解：，（3 分） ，（6 分）.（12 分）7.已知函数 .（1）证明 在 上是减函数;（2）当 时，求 的最大值和最小值.参考答案：（1）证明：在区间 上任取 ，且 ，则有（1 分），（3 分） ， ，（4 分） 即 （5 分） ，所以 在 上是减函数（6 分）（2）由（1）知 在区间 上单调递减，所以（12

4、 分）8.已知函数 其中 （1）求函数 的定义域； （2）判断 的奇偶性，并说明理由；（3）求使 成立的 的集合. 参考答案：（1） .若要上式有意义，则 ，即 . （3 分）所以所求定义域为 （4 分）（2）设 ，则.（7 分）所以 是偶函数. （8 分）（3） ，即 ， .当 时，上述不等式等价于 ，解得 .（10 分）当 时，原不等式等价于 ，解得 .（12 分）综上所述, 当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 .9.已知函数 . （1）判断 的奇偶性； （2）若 ，求 a，b 的值.参考答案：（1） 定义域为 R， ，故 是奇函数. （6 分）（2）由 ，则 .（8 分

5、）又 log3 (4a-b)=1，即 4a-b=3. （10 分）由 ，解得 a=1，b=1. （12 分）10.对于函数 . （1）探索函数 的单调性；（2）是否存在实数 a 使得 为奇函数. 参考答案：(1) 的定义域为 R, 设 ,则 = ,（3 分）, ,（5 分）即 ,所以不论 为何实数 总为增函数. （6 分）（2）假设存在实数 a 使 为奇函数, （7 分）即 ,（9 分）解得: （12 分） 11.（1）已知函数 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2f (x) 3.511.02 2.37 1.56 0.

6、381.23 2.77 3.45 4.89（2）已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 的取值范围. 参考答案：（1）由 ， ，（3 分）得到函数在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）内有零点. （6 分）（2）设 = ，则 =0 的两个根分别属于(-1,0) 和(1,2).所以 ，（8 分）即 ， （10 分） （12 分）12.某商场经销一批进货单价为 40 元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元 50 51 52 53 54 55 56日均销售量/个 48 46 44 42 40 38 36为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ 参考答

7、案：由题可知，销售单价增加 1 元，日均销售量就减少 2 个. 设销售单价定为 x 元，则每个利润为（ x40）元，日均销量为 个.由于 ，且 ，得 .（3 分）则日均销售利润为 ，.（8 分）易知，当 ，y 有最大值. （11 分）所以，为了获取最大利润，售价定为 57 元时较为合理. （12 分）13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数型变化，满足关系式 ，其中 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ 参考答案：（1） ， ， ， 为减函数. （3分） 随时间的增加，臭氧的含量是减少.

8、 （6 分）（2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 ，即 ，（8 分）两边去自然对数， ，（10 分）解得 .（11 分） 287 年以后将会有一半的臭氧消失. （12 分）14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量 与月份数 的关系，模拟函数可选用二次函数（其中 为常数，且 ）或指数型函数（其中 为常数），已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由. 参考答案：当选用二次函数 的模型时， ，由 ，有，

9、 解得 ，（4 分） .（5 分）当选用指数型函数 的模型时， 由 有，解得 ， （9 分） .（10 分）根据 4 月份的实际产量可知，选用 作模拟函数较好. （12 分）15.如图， 是边长为 2 的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的面积为 . 试求函数 的解析式,并画出函数 的图象. 参考答案：（1）当 时，如图，设直线 与 分别交于 、 两点，则 ，又 ， ，（4 分）（2）当 时，如图，设直线 与 分别交于 、 两点，则 ，又 ，（8 分）（3）当 时， . （10 分）（12 分）16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y（

10、微克）与时间 t（小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？ 参考答案：（1）当 0t1时，y=4t；（2 分）当 t1时， ，此时 在曲线上， ，这时 . （5 分）所以 .（6 分）（2） ， （8 分）解得 ，（10 分） .（11 分） 服药一次治疗疾病有效的时间为 个小时. （12 分）必修 2P(1)1.圆锥底面半径为 1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 参考答案：过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面 SEF，正方体对角面 CDD1 C1 ，如图所示. 2 分设正方体棱长为 x，则 CC1 =x，C 1 D1 。 作 SO EF 于 O，则 SO ，OE=1 ，.5 分