高中数学不等式知识点总结教师版.doc

1、高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a- ba+ba+b 二、 不不 等等 式式 知识要点知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义： .0;0;0 bababa（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.

2、不等式的基本性质（1） ab（对称性）（2） c,（传递性）（3） （加法单调性）（4） dd,（同向不等式相加）（5） bcab（异向不等式相减）（6） 0,.（7） （乘法单调性）（8） bdacdcba,（同向不等式相乘）(9)0（异向不等式相除）11,ab（倒数关系）（11） )1,(0nZn且 （平方法则）（12） 且 （开方法则）3.几个重要不等式（1） 0,|,2aR则若（2） )2|(2abbb或则、若 （当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么 .2ab（当仅当 a=b 时取等号）极值定理：若 ,xyRSxyP则：如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S

3、 的值最小； 1如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大. 2利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 3,abcc(4)若 、 、 则（当仅当 a=b=c 时取等号）02b5若 则（当仅当 a=b 时取等号） 2(6)| ;|axxaxax时 ， 或（7） |, bbaR则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么 22.1ab（当仅当 a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a 、 b 为正数）：特别地，2()ab（当 a = b 时，2()a）,(322 时 取 等cRcc幂平均不等式： 221221 ).(. nna注：

4、例如： ()()cbdcd.常用不等式的放缩法： 21(2)1()nnn 12n（2）柯西不等式： 时 取 等 号当 且 仅 当（ 则若 n nnnbaba baR 321 232123121 )();,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 12,(),x有12121212()()(.xfxxff f或则称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式

5、axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()0()()0()0;fxgfxfxfgg （3）无理不等式：转化为有理不等式求解()()ffxxg定 义 域 10)()(0)(2xfxfgf 或 2)(0)(xgfxgf 2 3（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ()() ()()1;1()0,()lgfxg fxgafaafbb（5）对数不等式：转化为代数不等式 0()0log()l()1();log()l()01aa aafx fxfx fxg （6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 1 2应

6、用化归思想等价转化 3 )()(0)(,0)(|)(| xgfxfgxgfxgxf 或或不 同 时 为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 2 31124()()()7 22 323()9xxyxy y类似于 2sincosin(1i， 11|()2x与 同 号 ， 故 取 等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式 当且仅当 ab 时等号成立）是一个重要的abb20(， ，不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1. 凑系数例 1. 当 时，求 的最大值。04xyx()

7、82解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定0值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只28x()需将 凑上一个系数即可。yx()82xx()()18212当且仅当 ，即 x2 时取等号。所以当 x2 时， 的最大值为 8。y()评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例 2. 已知 ，求函数 的最大值。x54fxx()4215解析：由题意知 ，首先要调整符号，又 不是定值，故需0()4215x对 进行凑项才能得到定值。42x x54， f x()()15415325432x当且仅当 ，即

8、 时等号成立。154x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例 3. 求 的值域。yxx2710()解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。 yxxx22710514415()()()当 ，即 时（当且仅当 x1 时取“”号）。yx21459()当 ，即 时0（当且仅当 x3 时取“”号）。yx5214() 的值域为 。70() ()， ，19评注：分式函数求最值，通常化成 ，g(x)恒正ymgxABm()()0，或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例 4. 已知 ，求 的最小值。aba021， ， t

9、ab1解法 1：不妨将 乘以 1，而 1 用 a2b 代换。()()()abab1232ab当且仅当 时取等号，由ba2121baab， 得即 时， 的最小值为 。ab21tab132解法 2：将 分子中的 1 用 代换。abba232评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到 ，而 与 的积为定值，即tba32ab可用均值不等式求得 的最小值。tab1三、换元例 5. 求函数 的最大值。yx25解析：变量代换，令 ，则txtyt2201()， 则当 t0 时，y0当 时，tt1214当且仅当 ，即 时取等号。1tt故 。xy3224时 ， max评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化

10、为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例 6. 求函数 的最大值。yxx21525()解析：注意到 的和为定值。与yxx2 21548()(又 ，所以y02y当且仅当 ，即 时取等号。215xx3故 。yma评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1若 a0， b0，且 ln(a b)0，则 的最小值是( )1a 1bA.

11、 B1 C4 D814解析：由 a0， b0，ln( a b)0，得Error!故 4.1a 1b a bab 1ab 1(a b2 )2 1(12)2当且仅当 a b 时，上式取等号. 12答案：C2 已知不等式( x y) 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )(1x ay)A2 B4 C9 D1 6解析：( x y) 1 a a.(1x ay) xy yx x0， y0， a0，1 a1 a2 .axy yx a由 91 a2 ，得 a2 80，a a( 4)( 2)0 .a a a0， 2， a4， a 的最小值为 4. a答案：B3已知函数 f(x)lg

12、的值域为 R，则 m 的取值范围是( )(5x45x m)A(4，) B4，)C(，4) D(，4解析：设 g(x)5 x m，由题意 g(x)的图像与 x 轴有交点，而 5x 4，故45x 45xm4，故选 D.答案：D4当点( x， y)在直线 x3 y20 上移动时，表达式 3x27 y1 的最小值为( )A3 B5 C1 D7解析：方法一：由 x3 y20，得 3y x2.3 x27 y13 x3 3y13 x3 x2 13 x 193x2 17.3x93x当且仅当 3x ，即 3x3，即 x1 时取得等号93x方法二：3 x27 y13 x3 3y12 12 17. 3x33y 32

13、答案：D5已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值是( )A3 B4 C. D.92 112解析：2 xy x(2y) 2，(x 2y2 )原式可化为( x2 y)24( x2 y)320.又 x0， y0， x2 y4. 当 x2， y1 时取等号答案：B6(2013苍山调研) 已知 x0， y0，lg2 xlg8 ylg2，则 的最小值是( )1x 13yA2 B2 2C4 D2 3解析：由 lg2xlg8 ylg2，得 lg2x3 ylg2. x3 y1， (x3 y)2 4.1x 13y (1x 13y) x3y 3yx答案：C二、填空题7设 x、 yR，且 x

14、y0，则 的最小值为_(x21y2)(1x2 4y2)解析： 144 x2y2 142 9.(x21y2)(1x2 4y2) 1x2y2 4当且仅当 4x2y2 时等号成立，即| xy| 时等号成立. 1x2y2 22答案：98(2013台州调研)若实数 a， b 满足 ab4 a b10( a1)，则( a1)( b2)的最小值为_解析： ab4 a b10， b ， ab4 a b1.4a 1a 1( a1)( b2) ab2 a b26 a2 b16 a 214a 1a 16 a 14 a 1 32a 16 a8 16a 16( a1) 15.6a 1 a1， a10.原式6( a1)

15、152 1527.6a 1 66当且仅当( a1) 21，即 a2 时等号成立最小值为 27. 答案：279(2013聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系： y (v0)，在该时段内，当车流920vv2 3v 1 600量 y 最大时，汽车的平均速度 v_千米/小时解析： v0， y 11.08，920v 1 600v 39202 v1 600v 3 92080 3当且仅当 v ，即 v40 千米/小时时取等号. 1 600v答案：40三、解答题10已知 x0， y0， z0，且 x y z1.求证： 36. 1x 4y

16、 9z解析： x0， y0， z0，且 x y z1， ( x y z) 14 142 1x 4y 9z (1x 4y 9z) (yx 4xy) (zx 9xz) (4zy 9yz) 2 2 14 461236.yx4xy zx9xz 4zy9yz当且仅当 x2 y2 z2，14 19即 x ， y ， z 时等号成立16 13 12 36. 1x 4y 9z11某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽解析：设中间矩形区域的长，宽分别为 x m， y m，中间的矩形区域面积为 S m2，则半圆的周长为 m. y2操场周长为 400 m，所以 2x2 400， y2即 2x y400(0 x200,0 y )400 S xy (2x)( y) 2 .12 12 (2x y2 ) 20 000