高中数学必修二直线与圆的综合问题精选.doc

1、第 1 页（共 15 页）直线与圆一解答题（共 10 小题）1已知直线 xy+3=0 与圆心为（3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为 2 （1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（2 ，3） ，且动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比值为常数 k（k0） 若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程2已知直线 l：y=x+2 被圆 C：（x3） 2+（y2） 2=r2（r0 ）截得的弦 AB 的长等于该圆的半径（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3） 2+（y2） 2=r2（r0 ）截得的弦与圆心构成三角形 CDE若CDE

2、的面积有最大值，求出直线 m：y=x+n 的方程；若CDE 的面积没有最大值，说明理由3已知 M（4，0） ，N （1，0 ） ，曲线 C 上的任意一点 P 满足： =6| |（）求点 P 的轨迹方程；（）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设 =1 ， =2 ，试问1+2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由4已知动圆 P 与圆 F1：（x+2） 2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x 2） 2+y2=1 相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线C第 2 页（共 15 页）（）求曲线 C 的方程；（）设 Q 为曲线 C 上的一个

3、不在 x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于M，N 两个不同的点，求QMN 面积的最大值5已知动圆 P 过定点 且与圆 N： 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C（）求曲线 C 的方程；（）过点 D（3，0 ）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由6如图所示，在ABC 中，AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且 固定边AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与 A

4、B 的延长线相切于点 D，记顶点 C 的轨迹为曲线 以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系（）求曲线 的方程；（）设动直线 l 交曲线 于 E、F 两点，且以 EF 为直径的圆经过点 O，求OEF 面积的取值范围7已知ABC 的顶点 A（1 ，0） ，点 B 在 x 轴上移动，|AB|= |AC|，且 BC 的中点在 y 轴上（）求 C 点的轨迹 的方程；（）已知过 P（0，2）的直线 l 交轨迹 于不同两点 M，N，求证：Q（1 ，2）与 M，N 两点连线第 3 页（共 15 页）QM，QN 的斜率之积为定值8已知圆 M：x 2+y2+2y7=0 和点 N（0

5、 ，1） ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 B、C 在曲线 E 上，若直线 AB、AC 的斜率 k1，k 2，满足k1k2=4，求ABC 面积的最大值9已知过点 A（ 0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2） 2+（y 3） 2=1 交于点 M，N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k 使得 （其中 O 为坐标原点） ，如果存在请求出 k 的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由10已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y 2=nx（n0）在第一象限内

6、的点 P（2 ，t）到焦点的距离为 ，C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴（1）求线段 OQ 的长；（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1 于点 E，若直线 PA，PB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2 是否过定点？请说明理由第 4 页（共 15 页）第 5 页（共 15 页）直线与圆参考答案与试题解析一解答题（共 10 小题）1已知直线 xy+3=0 与圆心为（3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为 2 （1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（2 ，3） ，且动点 M 到圆 C 的

7、切线长与|MQ|的比值为常数 k（k0） 若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程【分析】 （1）求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用截得的弦长为 2 求得半径的值，可得圆 C 的方程；（2）设动点 M（x ，y） ，则由题意可得 =k，即 =k，化简可得 （k 21）x 2+（k 21）y 2+（64k 2）x +（86k 2）y+13k 29=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k21=0，即可得出结论【解答】解：（1）圆心 C 到直线 l 的距离为 = ，截得的弦长为 2 ，半径为 2，圆 C：（x3） 2+（y 4） 2=4；（2）设动点 M（x ，y

8、） ，则由题意可得 =k，即 =k，化简可得 （k 21）x 2+（k 21）y 2+（6 4k2）x +（86k 2）y+13k 221=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k21=0，k=1 ，直线的方程为 x+y4=0【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题2已知直线 l：y=x+2 被圆 C：（x3） 2+（y2） 2=r2（r0 ）截得的弦 AB 的长等于该圆的半径（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3） 2+（y2） 2=r2（r0 ）截得的弦与圆心构成三角形 CDE若CDE的面积有最大值，求出直线 m

9、：y=x+n 的方程；若CDE 的面积没有最大值，说明理由第 6 页（共 15 页）【分析】 （1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C 的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合CDE 的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点直线 l： y=x+2 被圆 C：（x3） 2+（y2） 2=r2（r0）截得的弦长等于该圆的半径，CAB 为正三角形，三角形的高等于边长的 ，圆心 C 到直线 l 的距离等于边长的 直线方程为 xy+2=0，圆心的坐标为（3，2 ） ，圆心到直线的距离 d= = ，r= ，圆 C 的方程为：（x 3） 2+

10、（y 2） 2=6（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h，H 为 DE 的中点，连结 CD，CH，CE在CDE 中，DE= ， = ，当且仅当 h2=6h2，即 h2=3，解得 h= 时，CDE 的面积最大CH= ，|n+1|= ，n= ， 存在 n 的值，使得CDE 的面积最大值为 3，此时直线 m 的方程为 y=x 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键3已知 M（4，0） ，N （1，0 ） ，曲线 C 上的任意一点 P 满足： =6| |（）求点 P 的轨迹方程；（）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设

11、 =1 ， =2 ，试问1+2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由第 7 页（共 15 页）【分析】 （）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点 P 的轨迹方程；（）分类讨论，利用 =1 ， =2 ，结合韦达定理，即可得出结论【解答】解：（）设 P（x ，y ） ，则 =（3，0 ） ， =（x4，y） ， =（1x ，y） =6| |， 3（x 4）+0 y=6 ，化简得 =1 为所求点 P 的轨迹方程.4 分（）设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） 当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 x=my+1（m 0） ，则 H（0 ， ）

12、 从而 =（x 1，y 1+ ） ， =（1 x1，y 1） ，由 =1 得（x 1，y 1+ ）= 1（1 x1，y 1） ， 1=1+同理由得 2=1+ ，（ 1+2）=2+由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m 2）y 2+6my9=0，y 1+y2= ，y 1y2=代入得（ 1+2）=2+ = ， 1+2=当直线 l 与 x 轴重合时，A（2 ，0） ，B（2，0 ） ，H（0，0 ） ， 1= 2=2， 1+2= 11 分综上， 1+2 为定值 .12 分【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题4已知动圆 P 与圆

13、F1：（x+2） 2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x 2） 2+y2=1 相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线C第 8 页（共 15 页）（）求曲线 C 的方程；（）设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于M，N 两个不同的点，求QMN 面积的最大值【分析】 （I）由已知条件推导出 |PF1|+|PF2|=8|F 1F2|=6，从而得到圆心 P 的轨迹为以 F1，F 2 为焦点的椭圆，由此能求出圆心 P 的轨迹 C 的方程（II）由 MNOQ，知QMN 的面积=OMN 的面积，由此能求出 QMN 的面积的最大值【解答】解：

14、（）设圆 P 的半径为 R，圆心 P 的坐标为（x，y） ，由于动圆 P 与圆 F1：（x+2 ） 2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x2） 2+y2=1 相内切，所以动圆 P 与圆 F1 只能内切 （1 分）所以|PF 1|+|PF2|=7R+R1=6|F 1F2|=4（3 分）所以圆心圆心 P 的轨迹为以 F1，F 2 为焦点的椭圆，其中 2a=6，2c=4，a=3，c=2，b 2=a2c2=5所以曲线 C 的方程为 =1（4 分）（）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，Q（x 3，y 3） ，直线 MN 的方程为 x=my+2，由 可得：（5m 2+9）y 2+20m

15、y25=0，则 y1+y2= ，y 1y2= （5 分）所以|MN |= = （7 分）因为 MNOQ，QMN 的面积 =OMN 的面积，O 到直线 MN：x=my +2 的距离 d= （9 分）所以QMN 的面积 （10 分）令 =t，则 m2=t21（t0） ，S= = 设 ，则 第 9 页（共 15 页）因为 t1，所以 所以 ，在1，+）上单调递增所以当 t=1 时，f（t）取得最小值，其值为 9（11 分）所以QMN 的面积的最大值为 （12 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思

16、想等5已知动圆 P 过定点 且与圆 N： 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C（）求曲线 C 的方程；（）过点 D（3，0 ）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （）由题意可知丨 PM 丨+丨 PN 丨=4丨 MN 丨=2 ，则 P 的轨迹 C 是以 M，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，则 a=4，c= ，b 2=a2c2=1，即可求得椭圆方程；（）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当 ，解得 t=2，代入即可求得，定点的坐标【解

17、答】解：（）设动圆 P 的半径为 r，由 N： 及 ，知点 M 在圆N 内，则有 ，从而丨 PM 丨+丨 PN 丨=4丨 MN 丨=2 ，P 的轨迹 C 是以 M，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设曲线 C 的方程为： （ab0） ，则 2a=4，a=4 ，c= ，b2=a2c2=1故曲线 C 的轨迹方程为 ；（）依题意可设直线 AB 的方程为 x=my+3，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，整理得：（4 +m2）y 2+6my+5=0，则=36m 245（4 +m2）0，即 m24，解得：m2 或 m 2，第 10 页（共 15 页）由 y1+y2= ，y 1y2= ，

18、 x1+x2=m（y 1+y2）+6= ，x1x2=（my 1+3） （my 2+3）=m 2y1y2+m（y 1+y2）+9= ，假设存在定点 Q（t，0 ） ，使得直线 AQ，BQ 的斜率之积为非零常数，则（x 1t） （x 2t）=x 1x2t（x 1+x2）+t 2= t +t2= ，k AQkBQ= = = ，要使 kAQkBQ 为非零常数，当且仅当 ，解得 t=2，当 t=2 时，常数为 = ，当 t=2 时，常数为 = ，存在两个定点 Q1（2，0 ）和 Q2（2 ，0） ，使直线 AQ，BQ 的斜率之积为常数，当定点为 Q1（2，0 ）时，常数为 ；当定点为 Q2（2 ，0）时

19、，常数为 【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题6如图所示，在ABC 中，AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且 固定边AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D，记顶点 C 的轨迹为曲线 以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系（）求曲线 的方程；（）设动直线 l 交曲线 于 E、F 两点，且以 EF 为直径的圆经过点 O，求OEF 面积的取值范围【分析】 （）确定点 C 轨迹 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线 的方程；