高中数学圆的方程典型例题全.doc

1、 昂立教育-通往名校的桥梁 第 1 页 共 12 页 类型七：圆中的最值问题例 18：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 0142yx 014yx例 19 (1)已知圆 )()3(221O： ， ),(P为圆 O上的动点，求 2yxd的最大、最小值(2)已知圆 1)(22yx： ， ),(yx为圆上任一点求 12xy的最大、最小值，求yx的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)( 法 1)由圆的标准方程 1)4()3(22yx可设圆的参数方程为 ,sin4coy（ 是参数） 则 222 sin81669xd )cos(

2、0si8co（其中 34ta） 所以 3102max， 2mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值 1等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值 2d等于圆心到原点的距离 减去半径 1所以 6143212所以 maxd min(2) (法 1)由 1)2y得圆的参数方程： ,sinco2yx是参数则 3cosin1xy令 t3cos2in，得 tt2si， t32)i(1昂立教育-通往名校的桥梁 第 2 页 共 12 页 1)sin(132t 433t所以 4maxt， 4mint即 12y的最大值为 3，最小值为 3此时 )cos(52sincox 所以 y2的最大值

3、为 ，最小值为 (法 2)设 kx1，则 0kyx由于 ),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由 12kd，得 43k所以 xy的最大值为 3，最小值为 令 t2，同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值由 15md，得 52所以 yx2的最大值为 ，最小值为 例 20：已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小)0,(A),2(BP4)()3(22yx 2PBA值是 .解：设 ，则 .设圆心),(yxP 8)()()( 22222 Oyx昂立教育-通往名校的桥梁 第 3 页 共 12 页 为 ，则 ， 的最小值为 .)4,3(C325minr

4、OCP2PBA2683练习：1：已知点 在圆 上运动.),(yx1)(22y（1）求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值.yx解：（1）设 ，则 表示点 与点（2，1 ）连线的斜率.当该直线与圆相切时， 取kx1),(P k得最大值与最小值.由 ，解得 ， 的最大值为 ，最小值为 .23k21xy33（2）设 ，则 表示直线 在 轴上的截距. 当该直线与圆相切时， 取得myxmyx m最大值与最小值.由 ，解得 ， 的最大值为 ，最小值为 .155yx251512 设点 ),(yxP是圆 2y是任一点，求 1u的取值范围分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替 x、 y，转化为三角问题来

5、解决解法一：设圆 12上任一点 )sin,(coP则有 cosx， iny)2,0 1inu， sicu )(sic即 2n2uu（ utan） 1)()si(2又 in 12u解之得： 43分析二： 12xy的几何意义是过圆 12yx上一动点和定点 )2,1(的连线的斜率，利用此直线与圆 2有公共点，可确定出 u的取值范围昂立教育-通往名校的桥梁 第 4 页 共 12 页 解法二：由 12xyu得： )1(xu，此直线与圆 12yx有公共点，故点 )0,(到直线的距离 d 2u解得： 43另外，直线 )1(2xuy与圆 12y的公共点还可以这样来处理：由 2x消去 y后得： 0)34()()

6、( 222 uxux，此方程有实根，故 03414(22 u，解之得： 43u说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量 u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便3、已知点 ，点 在圆 上运动，求)2,4()6,()2,(CBAP42yx的最大值和最小值.2P类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，求点 的轨迹方程.M)0,(O),3(A21M例 22、已知线段 的端点 的坐标是（4，3） ，端点 在圆 上运动，求线段AB 4)1(2yx的中点 的轨迹方程.例 23 如图所示，已知圆 42

7、yxO： 与 轴的正方向交于 A点，点 B在直线 2y上运动，过B做圆 的切线，切点为 C，求 AB垂心 H的轨迹昂立教育-通往名校的桥梁 第 5 页 共 12 页 分析：按常规求轨迹的方法，设 ),(yxH，找 ,的关系非常难由于 H点随 B， C点运动而运动，可考虑 H， B， C三点坐标之间的关系解：设 ),(yx， ),(，连结 A， C，则 A， ， 是切线 BO，所以 O/， /， ，所以四边形 是菱形所以 2CH，得 .,2xy又 ),(yx满足 4，所以 )0(2x即是所求轨迹方程说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何

8、性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法例 24 已知圆的方程为 22ryx，圆内有定点 ),(baP，圆周上有两个动点 A、 B，使PBA，求矩形 AQ的顶点 的轨迹方程分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解解法一：如图，在矩形 PB中，连结 A， Q交于 M，显然 O， PQ，昂立教育-通往名校的桥梁 第 6 页 共 12 页 在直角三角形 AOM中，若设 ),(yxQ，则 )2,(byaxM由 22，即 2)()(41)()( rbyaxbyax ，也即 222r，这便是 Q的轨迹方程解法二：设 ),(yxQ、 ),(1A、 ),(

9、2yxB，则 212ryx， 2ryx又 2BP，即 )()()()()( 2122121 yxryxbyax 又 A与 Q的中点重合，故 xa， b，即)(2)()( 212 yryx，有 2b这就是所求的轨迹方程解法三：设 )sin,co(rA、 )sin,co(rB、 ),(yxQ，由于 PBQ为矩形，故 与 PQ的中点重合，即有csrax， insiby， 又由 PBA有 1cosicsarbr 联立、消去 、 ，即可得 Q点的轨迹方程为 )(222baryx说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中本题给出三种解法其中的解

10、法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了 1x、 2、 1y、 2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆 22ryx的参数方程，只涉及到两个参数、 ，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解昂立教育-通往名校的桥梁 第 7 页 共 12 页 练习：1、由动点 向圆 引两条切线 、 ，切点分别为 、 ， =600，则动点P12yxPABABP的轨迹方程是 .解：设 . =600， =300. ， ，),(ABO2O，化简得 ，动点 的轨迹方程是 .22

11、yx42yxP42yx练习巩固：设 为两定点，动点 到 点的距离与到 点的距离的比为定值)0(,)0,(cc AB，求 点的轨迹.)(aP解：设动点 的坐标为 .由 ，得 ，),(yx)0(aPBAaycx2)(化简得 .121)( 22 cxa当 时，化简得 ，整理得 ；a 0)(222cyx 222)1()1(acycax当 时，化简得 .10所以当 时， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆；aP)0,1(2ca12ac当 时， 点的轨迹是 轴.1y2、已知两定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的面积等)0,2(A),1(BPBA2P于 解：设点 的坐标是 .由 ，得 ，化简得

12、P),(yxA222)1()( yxyx，点 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为 .4)2(yx 4昂立教育-通往名校的桥梁 第 8 页 共 12 页 4、已知定点 ，点 在圆 上运动， 是线段 上的一点，且 ，)0,3(BA12yxMABMBA31问点 的轨迹是什么？M解：设 . ， ，),(),1yxB3),3(1),(1yxyx ， .点 在圆 上运动， ，yyx31yx3411A2121，即 ，点 的轨迹方程是 .)4(22x 69)(2xM69)43(2yx例 5、已知定点 ，点 在圆 上运动， 的平分线交 于点 ，则点0,BA1yAOBAM的轨迹方程是 .M解：

13、设 . 是 的平分线， ， .由变式),(),1yxOB31B311 可得点 的轨迹方程是 .169432y练习巩固：已知直线 与圆 相交于 、 两点，以 、 为邻边作平行kxy4ABOA四边形 ，求点 的轨迹方程.OAPB解：设 ， 的中点为 . 是平行四边形， 是 的中点，点 的坐标),(xMOPBMPM为 ，且 .直线 经过定点 ， ，2y1kxy)1,0(CC，化简得 .点 的轨迹方程)2()12,(), CM1)(22yx是 .1(22yx类型九：圆的综合应用例 25、 已知圆 062myx与直线 032yx相交于 P、 Q两点， O为原点，且OQP，求实数 的值分析：设 、 两点的

14、坐标为 ),(1yx、 ),(2，则由 1OQPk，可得021yx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 xy，昂立教育-通往名校的桥梁 第 9 页 共 12 页 由直线 l与圆的方程构造以 xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQPk的值，从而使问题得以解决解法一：设点 P、 Q的坐标为 ),(1y、 ),(2x一方面，由 ，得1OPk，即 2xy，也即： 021y 另一方面， ),(1、 ),(2是方程组 632myx的实数解，即 1x、 2是方程 074052mx 的两个根 21， 527421x 又 P、 Q在直线 03y上， )(941)(2)

15、( 211121 xxy 将代入，得 5m 将、代入，解得 3，代入方程，检验 0成立， 3解法二：由直线方程可得 yx2，代入圆的方程 062myx，有0)(9)6(2122 myxyx，整理，得 7434)( yxy由于 0，故可得 012)()274( xym OPk， Q是上述方程两根故 1OQPk得1274，解得 3经检验可知 为所求说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P、 Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 xy的二昂立教育-通往名校的桥梁

16、 第 10 页 共 12 页 次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例 26、已知对于圆 1)(22yx上任一点 ),(yxP，不等式 0myx恒成立，求实数 m的取值范围分析一：为了使不等式 0m恒成立，即使 恒成立，只须使myxin)(就行了因此只要求出 yx的最小值， 的范围就可求得解法一：令 yxu，由 1)(22得： 02uyy 0且 8)(4， 12(u即 )， 21u， min，即 )(minyx又 0yx恒成立即 恒成立 21)(min成立， 分析二：设圆上一点 )sin1,(coP因为这时 P点坐标满足方程 1)(22yx问题转化为利用三解问题来解解法二：设圆 )(22yx上任一点 )sin1,(co),0 cos， sin1 0myx恒成立 si即 )nco1(恒成立只须 不小于 )si(的最大值