高中数学必修2第二章知识点总结.doc

1、第 1 页 共 32 页高中数学必修 2 知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h为斜高，l 为母线）cS直 棱 柱 侧 面 积21cS正 棱 锥 侧 面 积)(21hcS正 棱 台 侧 面 积r2圆 柱 侧lr2圆 柱 表 rl圆 锥 侧 面 积 lr圆 锥 表lR)(圆 台 侧 面 积22RlrS圆 台 表柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱13h锥()VSh台2VShr圆 柱hrV231圆 锥 22()()SrR圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V 球 = 34 ； S 球 面 = 24第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1

2、 平面含义： 平面是无限延展的2 三个公理：（1） 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为ALBL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2） 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3） 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系

3、：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcbLACBAP L共面直线=ac第 2 页 共 32 页强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条

4、异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、 直线与平面平行的判定

5、定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。2第 3 页 共 32 页简记为：线面平行则线线平行。符

6、号表示：a a ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、 两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。PaL2、 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与

7、此平面垂直。注意点： a)定理中的 “两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直 ”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、 两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直

8、线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时， 不存在。第 4 页 共 32 页过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk （

9、P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四点：(1)当 1时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 点斜式： )(11xy直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： bk，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距

10、为 b 两点式： 1212y（ 212,x）直线两点 1,yx， 2, 截矩式： xab其中直线 l与 轴交于点 (,0)a,与 轴交于点 (0,),即 l与 x轴、 y轴的截距分别为 ,ab。 一般式： 0CByA（A，B 不全为 0）注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； （6）两直线平行与垂直当 11:kyl， 22:xkyl时，2,/； l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交交点坐标即方程组 1的一组

11、解。方程组无解 21/l ； 方程组有无数解 1l与 2重合（8） 两点间距离公式 ：设 12(,),xy， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 22|(AB （9） 点到直线距离公式 ：一点 0,P到直线 0:1CByAxl的距离 20BACyxd（10） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l1： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l22BAd第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)M

12、y()()第 5 页 共 32 页当 ，点在圆外 当 = ，点在圆上2200()()xaybr2200()()xaybr当 ，点在圆内（2） 一般方程 2FEyDxy当 042FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr412当 时，表示一个点； 当 2时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况

13、：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为 2BACbad，则有 相 离与rd； 相 切与lrd； 相 交与ld（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 121:rbyaxC， 22: RbaxC两圆的位置

14、关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 r时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第一章 空间几何体题 一、选择题1有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )主视图 左视图 俯视图(第 1 题)A棱台 B棱锥 C棱柱 D正八面体第 6

15、页 共 32 页2如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 的等腰梯形，那么原平面图形的1面积是( )A2 B C D21223棱长都是 的三棱锥的表面积为( )1A B2 C3 D43 34长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A25 B50 C125 D都不对5正方体的棱长和外接球的半径之比为( )A 1 B 2 C2 D 33336在ABC 中，AB 2，BC1.5，ABC120，若使ABC 绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( B)A B C D 292725237若底面是菱形的棱

16、柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是( )A130 B140 C150 D1608如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF ，且 EF 与平面 ABCD 的23距离为 2，则该多面体的体积为( )A B5 C6 D29 2159下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C水平放置的矩形的直观图是平行四边形D水平放置的圆的直观图是椭圆10如图是一个物体的三视图，则此物

17、体的直观图是( )(第8题)第 7 页 共 32 页(第 10 题)二、填空题11一个棱柱至少有_个面，面数最少的一个棱锥有_个顶点，顶点最少的一个棱台有_条侧棱12若三个球的表面积之比是 123，则它们的体积之比是_13正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是上底面 ABCD 的中心，若正方体的棱长为 a，则三棱锥 OAB1D1 的体积为_14如图，E，F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_(第 14 题)15已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、 ，则这个长方体的对角线长是_，它的体236积为_16

18、一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9 厘米则此球的半径为_厘米三、解答题17有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190 L，假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm，求它的深度18 *已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比提示：过正方体的对角面作截面第 8 页 共 32 页19如图，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135， AB5，CD 2 ，AD2，求四边形 ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积(第19题)20养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底

19、面直径为 12 m，高 4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第 9 页 共 32 页第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A 组一、选择题1设 ，为两个不同的平面， l，m 为两条不同的直线，且 l ，m ，有如下的两个命题：若 ，则lm；若 lm，则 那么 ( )A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C都是真命题 D都是假命题2如图，ABCDA 1B1C

20、1D1 为正方体，下面结论错误的是 ( )ABD平面 CB1D1BAC 1BDCAC 1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 角为 603关于直线 m，n 与平面， ，有下列四个命题：m，n且 ，则 mn ； m，n 且 ，则 mn；m，n且 ，则 mn ； m，n 且 ，则 mn 其中真命题的序号是( ) A B C D4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1，l 2 与同一平面所成的角相等，则 l1，l 2 互相平行若直线 l1，l 2 是异面直线，则与 l1，l 2 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1

21、B2 C3 D45下列命题中正确的个数是( )若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线 l 与平面平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6 两直线 l1 与 l2 异面，过 l1 作平面与 l2 平行，这样的平面( )A不存在 B有唯一的一个 C有无数个 D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的

22、角的大小为( )A90 B60 C45 D30 8下列说法中不正确的是( )(第 2 题)第 10 页 共 32 页A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂

23、直其中真命题的个数是( ) A4 B3 C2 D110异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与 c 所成的角的范围为( )A30，90 B60， 90 C30，60 D30，120二、填空题11已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 12P 是ABC 所在平面 外一点，过 P 作 PO平面 ，垂足是 O，连 PA，PB，PC(1)若 PAPB PC，则 O 为ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的

24、距离相等，则 O 是ABC 的 心；(4)若 PAPB PC，C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PAPB PC，ABAC，则点 O 在ABC 的 线上13如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点， G，H，I，J 分别为 AF， AD，BE，DE 的中点，将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱 锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 14直线 l 与平面 所成角为 30，l A，直线 m，则 m 与 l 所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d 2，d 3，d 4，则 d1d 2d 3d 4 的值为 16直二面角l 的棱上有一点 A，在平面，内各有一条射线 AB，AC 与 l 成 45，AB ，AC ，则J(第 13 题)