高中数学必修一至必修五知识点总结完整版.doc

1、- 1 -高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定

2、性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方

3、法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-324、集合的分类：（1） 有限集 含有有限个元素的集合（2） 无限集 含有无限个元素的集合（3） 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与

4、B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A- 2 -等于集合 B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 B A)如果 A B, B C ,那么 A C如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”)

5、，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ） ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念1函数的概

6、念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义

7、域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底- 3 -不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即

8、称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x

9、),(x A)的图象集合 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种，即

10、平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”- 4 -给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素

11、b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图

12、象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.补充一：分段函数 （参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域

13、是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f、g 的复合函数。例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a，b，当 a1，且 *nN当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（radical） ，ann这里 叫做根指数（radical exponent） ， 叫做被开方数（radicand） a

14、当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正n数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正nana的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0） 由此可得：负数没n有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，nn)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm1an0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；（2）

15、rsra)( ；),0(Rsa ),0(Rs（3） b)( （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数)1,(yx且（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质- 7 -a1 01 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8图象特征 函数性质a1a0a1a0函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为（0

16、，）图象关于原点和 y 轴不对 非奇非偶函数- 9 -称向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，0） 01loga自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 00log,1xa 0log,1xa第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 00log,10xa 0log,1xa三、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中xy)(Ra为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区

17、间 上是增函 ),0数特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的11图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，0),0(当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋xyyx于 时， 图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴xx第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数)(Dxfy0)(xf叫做函数 的零点。x)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即f f函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：)(f方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数0x)(xfyx有零点y3、函数零点

18、的求法：求函数 的零点：)(f（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(xf- 10 -（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的 2 )(xfy图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴x有两个交点，二次函数有两个零点），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的2图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点x），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，0cbxa x二次函数无零点高中数学必修二知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾

19、斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时， ； 当时， ； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k 与 P1、P2的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率 k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式：，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b