高中数学：函数解析式的十一种方法.doc

1、高中数学：函数解析式的十一种方法1、定义法2、待定系数法3、换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.6、特殊值法 八、累加法 九、归纳法十、递推法十一、微积分法一、定义法：【例 1】设 ，求 .23)1(2xxf )(xf=211)()(2 f 6)1(5)(2x65x【例 2】设 ，求 .21)(f)(xf【解析】设 xxf 1xf1)(【例 3】设 ，求 .32)(,1)(gxxf )(xgf【解析】 2122 又 xxxxg )()(3)()( 33 故 2962 4f【例 4】设 .)(sin,17cos)(xfxf求【解析】 2)2(sin.xx17si

2、n)2cos()1728cos( 二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例 1】 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf【解析】设 ，则ba0baxxfxf 2)()(342ba31ba 或 2)(1)( xfxf 或 【例 2】已知 ，求 .9)2(xf )(f【解析】显然， 是一个一元二次函数。设 )0(2acbxax则 cxbaxf )()()(2 )24cb又 139比较系数得： 解得：24cba312cba3)(2xf三、换元（或代换）法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求()fgx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。()

3、fx【例 1】 已知 ，求xxf2)1()1(f【解析】令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(【例 2】 已知 求 .,1)1(2xxf)(f【解析】设 则 则,tt xxft 11)() 22)1()(1)1( 222 ttttt )(f【例 3】 设 ，求 .xxf2cos)s)(f解：令 又1,1cott 0201cos2,1cos txx即0,)()02()( 2ff 即【例 4】 若 （1）xfx在（1）式中以 代替 得1xxff)()( 即 （2）xfxf 12)()(又以 代替（1）式中的 得： （3） 12)(xff )(1)(2:)(3)(

4、 3xxf得 )1(2)(xf【例 5】设 ，求 。0,()( ba，cbacbfaff 且均 不 为其 中满 足 f【解析】 （1）用 来代替 ，得 （2）cxbxa)1(xxcfxf)(1由 cfa22)(:2)(得 bafba)(2【例 6】已知 ，求 .)(21xf )(xf【解析】设 ，则 即0xat talog1logta代入已知等式中，得： 32)1()2tf3l2log)(xxfaa四、配凑法已知复合函数 的表达式，要求 的解析式时，若 表达式右边易配成 的()fgx()fx()fgx()gx运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。【例 1】已知 求 的解析式

5、。(1)2,f()f【解析】 可配凑成x可用配凑法由 2(1)2()1f x令 tx0t则 即2()1ft2()1()fx当然，上例也可直接使用换元法令 则txt得 即 22(1)(1)ftt2()1()fx由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【 例 2】已知 求 .2(),fxx()f【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。由 2211()()f令 0txtx由 即 得024tR()f即： 2()x实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换

6、元法一样，最后结果要注明定义域。五、函数方程组法。函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数 混合运算，则要充()fx分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。【 例 1】设 满足 求 的解析式。()fx1()2,ffx()f【解析】要求 可消去 ,为此，可根据题中的条件再找一个关于 与 的等式，()fx1()fx ()fx1f通过解方程组达到消元的目的。1()2ff显然， ,将 换成 得0x1x.()ff由12()fxfx消去 ，得1()fx23小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 ；互为相反数，如 f(x)、f(-x)，1()fx通过对称代

7、换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。【 例 2】已知 ，求 .2)(1xaf )(xf【解析】设 ，则 即0xt talog1logta代入已知等式中，得： 32)1()2tf3l2log)(xxfaa【例 3】设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)( ,1)(xgxf )(xgf和【解析】 为偶函数， 为奇函数，)(xfx)(,g又 ，1)(xgxf用 替换 得： 1)(xf即 )(xf解 联立的方程组，得， 1)(2xf xg2)(六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例 1】设 是定义在 N 上的函数，满足 ，对于任意正整数 ，均有 ，)(xf 1)(f yx,

8、xyfyfx)()(求 .)(xf解：由 ，1f xyfyfx)()(设 得：y1)即： (xfxf在上式中， 分别用 代替，然后各式相加,32,t可得： ttf 21)1()( 21Nxx【例 2】 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求)0(f )12()(yxfyxf )(xf【解析】对于任意实数 x、y，等式 恒成立，12)(f不妨令 ，则有 )(0) 2yyy再令 得函数解析式为：xy)2xf七利用给定的特性求解析式.【例 1】设 是偶函数，当 x0 时， ，求当 x0 时， 的表达式.)(xf xexf2)( )(xf【解析】对 xR， 满足 ，且当 x1，0 时， 求当

9、 x9，10 时f)(f 2的表达式.)(xf七利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）【例 1】若 ，且当 ，求 .af1lg)( ),0(,lg)(1(,21 Nxaxffx x满 足时 )(xf【解析】 0l)1Nxax递推得： 2()1(xff3lg2xxf2lg)(3aff12以上 个等式两边分别相加，得：)(x 122lgllgxxaaff )1(21l)(x 2)(2)(lglgxaal1)(九、归纳法：【例 1】已知 ，求 .afNxfxf )1(),2)( 且 )(xf【解析】 a 2421(,1 aff 0)2)3( a3143(4ff 42)

10、821)1)5( ，依此类推，得axfx1324)(再用数学归纳法证明之。十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例 1】 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abfbaf ()( )(f【解析】 ，,，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()(又 1)()1(ff故分别令式中的 得：,2xn(2)1,3(),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(321)(f Nxx,十一、微积分法：（当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。 ）【例 1】设 ，求 .2)1(,cos)(sin22 fxf )(xf【解析】 xin)1|因此 cxdxff 2)()( 2322( ccfA、 B、1|231x )(xTf )(1)()(1( xfTxffTf 或