1、高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列 是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为 ,且 ,()求数列 的通项公式 ; ()数列 满足 ,求数列 的通项公式; 是否存在正整数 m, ,使得 , , 成等差数列? 若存在,求出 m,n的值;若不存在,请说明理由 .解:(I)设数列 的公差为 d,则由 , ,得 , 计算得出 或 (舍去). ; () , , , , 即 , , ,累加得: , 也符合上式. 故 , . 假 设 存在正整数 m、 ,使得 , , 成等差数列, 则又 , , , ,即 , 化简得:当 ,即 时, ,(舍去); 当 ,即 时, ,符合题意. 存在正整数 , ,使
2、得 , , 成等差数列.解析()直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; ()把数列 的通 项公式代入 ,然后裂项,累加后即可求得数列 的通项公式; 假 设 存在正整数 m、 ,使得 , , 成等差数列,则.由此列关于 m 的方程,求计算得出答案 .2.在数列 中,已知 ,(1)求证:数列 为等比数列; (2)记 ,且数列 的前 n 项和为 ,若 为数列 中的最小项,求 的取值范围.解:(1)证明: , 又 , , , 故 , 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列(2)由(1)知道 , ,若 为数列 中的最小项,则对 有恒成立, 即 对 恒
3、成立当 时,有 ; 当 时,有 ; 当 时, 恒成立, 对 恒成立. 令 ,则对 恒成立, 在 时为单调递增数列. ,即综上,解析(1)由 ,整理得: .由 ,可以知道 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列; (2)由(1)求得数列 通项公式及前 n 项和为 ,由 为数列 中的最小项,则对 有 恒成立,分类分别求得当时和当 的取值范围, 当 时, ,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.3.在数列 中,已知 , , ,设 为 的前 n 项和. (1)求证:数列 是等差数列; (2)求 ; (3)是否存在正整数 p,q, ,使 , , 成等差数列? 若存在,求出 p,q,r 的值
4、 ;若不存在,说明理由.(1)证明:由 , , 得到 , 则又 , , 数列 是以 1 为首项,以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)可以推知: , 所以, , 所以 , , -,得 , , , 所以(3)假设存在正整数 p,q, ,使 , , 成等差数列. 则 , 即因为当 时, , 所以数列 单调递减. 又 , 所以 且 q 至少为 2, 所以 ,当 时, , 又 , 所以 ,等式不成立. 当 时, , 所以所以 , 所以 ,(数列 单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r 的值分别是 1,2,3.解析(1)把给出的数列递推式 , ,变形后得到新数列,该数列是以 1 为首项,
5、以-2 为公差的等差数列; (2)由(1)推出 的通项公式,利用错位相减法从而求得求 ; (3)根据等差数列的性质得到 ,从而推知 p,q,r 的值.4.已知 n 为正整数,数列 满足 , ,设数列满足 (1)求证:数列 为等比数列; (2)若数列 是等差数列,求实数 t 的值; (3)若数列 是等差数列,前 n 项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值.(1)证明: 数列 满足 , , , , 数列 为等比数列,其首项为 ,公比为 2; (2)解:由(1)可得: , ,数列 是等差数列, , , 计算得出 或 12. 时, ,是关于 n 的一次函数,因此数列 是
6、等差数列. 时, , ,不是关于 n 的一次函数, 因此数列 不是等差数列. 综上可得 ; (3)解:由(2)得 , 对任意的 ,均存在 ,使得 成立, 即有 , 化简可得 , 当 , , ,对任意的 ,符合题意; 当 , ,当 时, 对任意的 ,不符合题意. 综上可得,当 , ,对任意的 ,均存在 , 使得 成立.解析(1)根据题意整理可得, ,再由等比数列的定义即可得证; (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得 ,解方程可得 t,对 t 的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得 ,对任意的 ,均存在 ,使得成立,即有 ,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.5.
7、已知常数 ,数列 满足 , (1)若 , , 求 的值; 求数列 的前 n 项和 ; (2)若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,求 的取值范围.解:(1) , , , , , , 当 时, , 当 时, ,即从第二项起,数列 是以 1为首项,以 3 为公比的等比数列, 数列 的前 n 项和 , , 显然当 时,上式也成立, ; (2) , ,即 单调递增. (i)当 时,有 ,于是 , ,若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,则有 , 即, .因此 不成立.因此此时数列 中不存在三项 , , 依次成等差数列. 当 时,有 .此时于是当 时, .从而若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,则有 , 同(i)可以知道 : .于是有 , 是整数, .于是 ,即 .与 矛盾. 故此时数列 中不存在三项 , , 依次成等差数列.
