高中立体几何典型500题及解析(1)(1-50题).doc

1、高中立体几何典型 500 题及解析(一)1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为1 和l BA， AB、2，则（A）1+2=90 0 （B）1+ 290 0 （C）1+290 0 （D ）1+290 0解析：C21BA如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和2 分别为直线 AB 与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的,角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2ABO902190ABO2. 下列各图是正方体或正四面体，P ， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PQRSPPQRS（A） （B） （C） （

2、D）D解析： A 项： 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形PSB 项： 如图SRQPCDCDBBAAC 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。3. 有三个平面 ， ， ，下列命题中正确的是（A）若 ， ， 两两相交，则有三条交线 （B）若 ， ，则 （C）若 ， =a， =b，则 ab （D ）若 ， = ，则 =D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C 项：如图ba 4. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线B1C1 的距离相等，则动

3、点 P 所在曲线的形状为O11OABCD1C解析： 平面 AB1 ， 如图：P CDCDBBAAP 点到定点 B 的距离与到定1BC,BP直线 AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是（A）4 条 （ B）6 条 （C）8 条 （D）10 条C解析：如图D CCDBBAA这样的直线有 4 条，另外，这样的D CCDBBAA直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B ，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，0CAB0D0A则BCD 是（A）钝角三角形 （B）直

4、角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设 AB 为 a，AD 为 b，AC 为 c，且 则，BD= ，CD=abc2ab，BC= 如图c baDCBA则 BD 为最长边，根据余弦定理2cb2ac最大角为锐角。222os 0babDCBc CB所以BCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）若 若/,ba则aa则,/ /,则 则若 ,b其中正确的命题的个数是 （ ）A0 个 B 1 个 C2 个 D3 个B 解析：注意中 b 可能在 上；中 a 可能在 上；中 b/，或 均有b，故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥 SA

5、BCD 侧棱长为 ，底2面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC3所成角的大小为 （ ）A90 B 60C45 D 30B 解析：平移 SC 到 ，运用余弦定理可算得BS .2BSE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q; M 内不共线的三点到 N 的距离相等; l, M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是（ ）A1 B 2 C3 D4只有、能判定 M/N，选 B10.

6、已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1BCB 1，则 A1B 与 AC1所成的角为 1 鴱鴱（A）45 0 （ B）60 0（C）90 0 （ D）120 0C 解析：作 CDAB 于 D，作 C1D1A 1B1 于 D1，连 B1D、AD 1，易知 ADB1D1 是平行四边形，由三垂线定理得 A1BAC 1，选 C。11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A. B. C. D.332325解析：正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。（可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内；乙：l直线 、m 中至少有一条与平面 相交；

7、丙：平面 与平面 相交l当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若l“ 、m 中至少有一条与平面 相交”，则“平面 与平面 相交”成立；若“平面l 与平面 相交”，则“ 、m 中至少有一条与平面 相交”也成立选（C）13. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是解析：（1）成立，如 m、n 都在平面内，

8、则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面的同一侧，且它们到 的距离相等，则平面 为所求，（4）成立，当 m、n 所在的平面与平面 垂直时，平面 内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3 B 1 或 2 C1 或 3 D2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若 为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 （ ba、）A相交 B异面 C平行 D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为 （ ）A B64C D32解析：D B

9、1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点 P、Q、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图：SRQPCDCDBBAA18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC 等于 （ ）A45 B60C90 D120解析：B 如图CBA右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行AB 与 MN 所在直线成 60角； M

10、N 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是 （ ）A B CD解析：D NMFEDCBA19线段 OA， OB， OC 不共面， AOB= BOC= COA=60 ， OA=1， OB=2， OC=3，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B 非等边的等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：B 设 AC=x， AB=y， BC=z，由余弦定理知： x2=12+32-3=7， y2=12+22-2=3， z2=22+32-6=7。 ABC 是不等边的等腰三角形，选（ B）20若 a， b， l 是两两异面的直线， a 与 b 所成的角是 ， l 与 a、 l 与 b 所成的角都3是 ，则 的取

11、值范围是 （ ）A B C D 65,2,365,32,6解析：D解 当 l 与异面直线 a， b 所成角的平分线平行或重合时， a 取得最小值 ，当 l 与 a、 b 的6公垂线平行时， a 取得最大值 ，故选（ D）221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时 , 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42 米解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高， CE=1.2,09CD

12、E米，树影长 BE=1.08米，树高273.AB= BE= 米。.94222如图,正四面体（空间四边形的ABCD四条边长及两对角线的长都相等）中, 分别是棱,EF的中点, 则和 所成的角的大小是_.EFACABCDEFAB EDC解析：设各棱长为 2，则 EF= ，取 AB 的中点为 M， 即2cos.FE.423OX，OY ，OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线，点 P 到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则 OP 长 为_.解析：在长方体 OXAYZBPC 中，OX 、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ OZ，PY OY，PX OX，有 OX2+OZ2=4

13、9，OY 2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37， OP= 3724设直线 a 上有 6 个点，直线 b 上有 9 个点，则这 15 个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面； 当直线 a，b 异面时，直线 a 与 b 上9 个点可确定 9 个不同平面，直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面，所以一点可以确定 15 个不同的平面25. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点求证： EF 和 AD 为异面直线.解析：假设 EF 和 AD 在同一平面 内，（2 分），则 A，B，E，F ；（4

14、 分）又 A，E AB，AB ，B ，（6 分）同理 C （8 分）故A，B，C ，D ，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点， F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 .2GH解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）=2 =2EGF2()11()ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一点，PB AB，M 是 PA 的中点，ABMC ，求异面直 MC 与 PB 间的距离.ABCDE

15、 GPA BCM 解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N（2 分）PBAB，PBMN。（4 分）又ABMC，MNMC（8 分）MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段，（10 分）其长度就是MC 与 PB 之间的距离， 则得 MN= AB=12.ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中, A 1A=AB， E、F 分别是 BD1 和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.（1）解析：在平行四边形 中，E 也是 的中点， ，（2 分）1BADC1A1/EFCD两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异

16、面直线 CD1 与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形11,，D 1C CD1 异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D 1F= EFBD 1 （9 分）,42BFA.由平行四边形 ，知 E 也是 的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1 的对称1BAC1中心，（12 分）EA=ED， EFAD，又 EFBD 1，EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P，PB=PC= ，PA= ，延长 BP 至732FB FE C B ADACBD