高等数学公式定理整理.docx

1、高等数学公式定理整理1.01 版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式：两角和差 tanta+tan)-(t=)-tan(1t(t+t cossin=)sin(in+co-co sinss)s( 和差化积 2)-(sin2)+(-sin=co-s )-(co)(c+2)-(sin2)+(os=sin-i )-(co)(ii+i积化和差 )-cos(-)+cos(21-=sins )-()(co )-sin(-)+sin(21=s )-i()i(inc倍角公式（部分）：很重要！ tan-12=tan 2sin-1=2cos=si

2、-cocs t+(tan2in=in1、函数函数的特性：1.有界性：假设函数在 D 上有定义，如果存在正数 M，使得对于任何的xD 都满足|f(x)|M。则称 f（x）是 D 的有界函数。如果正数 M 不存在，则称这个函数是 D 上的无界函数。2.单调性设 f（x）的定义域为 D，区间 I D。X1，x2I，那么，如果 x1x2,那么就是单调减少函数。3.奇偶性如果 f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果 f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。4.周期性设函数的定义域为 D，若存在不为零的数 T，使得任一 xD有（xT）D，且 f（xT）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如 sin

3、 x，cos x，它们就是以 2 为周期的周期函数。反函数：就是用自变量 X 来表示原函数 Y，如下列式子：原函数 f(x)=x+5，它的反函数为 x=f(x)-5,也就是 f（x）=x-5；复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幂函数（x a）,指数函数（a x），对数函数（log ax，lg x【log 10x】，ln x【log ex】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为 arcsinx，arccosx，arctanx）复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。

4、2、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用 limxx0 f（x）=A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。极限运算法则limxx0 f（x）g(x)=lim xx0 f（x）lim xx0 g（x）=ABlimxx0 cf（x）=clim xx0 f（x）=cAlimxx0 f（x）lim xx0 g（x）=lim xx0 f（x）g（x）=AB= （B)(lim)(li)(lim000 xgxxfxgfxx BA0） n00 )(li)(limAxfxfxn nnn xfxfx )(lim)(li 00重要！：两个重要极限1.

5、夹逼准则如果 xn，y n，z n 满足 xny nz n 那么 这就是夹逼准则。alimlilimnnn 2. 1xsi lixsi 0l 或 者图 1如图 1，AOC=x（0x2/），由于|BD|=x，弧 BC=x，|CA|=tan x 且OBC 面积扇形OBC 面积AOC 面积，于是有： xxtan2sin2化简 ti两边同时除以 sinx 1sincoxsin1sitain1 xx即即根据夹逼准则得出 10lm0lco0lm所以 1xsinl3. （这是标准公式，ex1xlime10xlimx1 ）（或）（题目有类似的把它转换成标准公式即可）4.无穷大量和无穷小量（1 ）性质 1，无穷

6、小量和有界函数的积仍为无穷小量（2 ）性质 2，两个无穷小量之积仍为无穷小量（3 ）性质 3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量定理 1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。定理 2，b 与 a 是等价无穷小的充分必要条件为 b=a+o（a）定理 3,设 aa,bb，且 limb/a存在，则 lima/b=lima/b。无穷小量的比较：高 阶 无 穷 小0ablim低 阶 无 穷 小ablim同 阶 无 穷 小0ablimC等 价 无 穷 小1其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且 x 趋于 0）等价公式：当 x0 时，sin

7、xx ，tanxx， arcsinxx ，arctanxx ，1-cosx(1/2)*（x2）secx-1， （ax）-1x*lna (（ax-1)/xlna) ， （ex）-1x ，ln(1+x)x ，(1+Bx) a-1aBx，(1+x) 1/n-1（1/n）*x，loga(1+x)x/lna ，（1+x) a-1ax(a0)，5.连续定义 设函数 f（x）在 x0 的某个去心邻域内有定义，若lim（x0）y=0，则称函数 f（x）在 x0 这个点连续。条件：（1）f（x0 ）有定义，有数值；（ 2）lim（xx0 ）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。左右连续和左右极限相同，如图： )

8、()(xlim)()(li00xffff就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。（1 ）间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。闭区间连续函数的性质：1、 a,b区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、 函数 f（x ）在a,b 区间连续，则在a,b必定有界；3、 若函数 f(x)在a,b连续，且 f(a)=A,f(b)=B,又 AB，C 是介于 A，B 的一个值，则必定存在一个点 ，使得 f（

9、）=C；4、 若函数 f(x)在a,b连续，且 f(a)，f(b)异号，则一定存在一个 x0（a，b），使得 f（x0）=0；3、导数导数的几何意义就是 f(x)在 x 点函数的切线的斜率；求某一点的导数 00)()(lim)( xffxxf 连续不一定可导，可导一定连续；导数的求导公式：1.y=c(c 为常数) y=02.y=x n y=nx(n-1)3.y=a x y=axlnay=e x y=exy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos 2x8.y=cotx y=-1/sin 2x9.y=arcsinx y=1/1-x 210.y=arccosx y=-1/1-x 211.y=arctanx y=1/1+x 212.y=arccotx y=-1/1+x2