高等数学教案.doc

1、高等数学教案第 1 次课学科 高等数学（一）课题 函 数周次 5 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒

2、体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程1 函数一、 集合与区间1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示为 aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, , an, Mx | x 具有性质 P . 例如 M(x, y)| x, y 为实数, x 2y2

3、1. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R 表示所有实数构成的集合 , 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z, n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集. ,| 互 质与且 qppq子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A

4、 是 B 的真子集, 记作 A B . 例如, N Z Q R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 AB, 即ABx|xA 或 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 AB, 即ABx|xA 且

5、 xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行, 所研究的其他集合 A 都是 I 的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补集 , 记作 AC. 集合运算的法则: 设 A、B 、C 为任意三个集合, 则(1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CAC BC, (AB)CAC BC. (AB)CAC BC 的证明: x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC, 所以(

6、A B)CAC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即AB(x, y)|xA 且 yB. 例如, RR( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设 a1 时, y1x. 2例如 ; ; f(3)134. )(f 2)(f三、 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 X

7、D. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1的下方. 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf

8、(x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. xf1)(这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10M, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的 . f)(2)函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数

9、f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间(, 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数. yx 3, ysin x 都是奇函数, ysin

10、 xcos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 四、 反函数定义: 设函数 f : Df(D)是单射 , 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有f 1(y)x. 这就是说, 反函数 f 1 的对应法则

11、是完全由函数 f 的对应法则所确定的. 一般地, yf(x ), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射 , 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数 . 相对于反函数 yf 1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数 . 把函数 yf(x)和它的反函数yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是因为如果 P(a, b)是yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1(b), 故 Q(b, a

12、)是 yf 1(x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 五、 复合函数初等函数1. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数 yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数

13、通常记为 , 即f( )fg(x). 与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 的条件是: 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含gf在 f 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为1, 1, 在 上有定义, 21)(xu123 ,1且 g(D)1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数, xD; 21arcsin但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2 均不在 yarcsin u的定义域 1, 1内. 多个函数的复合: 2. 基本初等函数: 幂函

14、数: yx (R 是常数 ); 指数函数: y a x(a0 且 a1); 对数函数: y loga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);三角函数: y sin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: y arcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。 ）第 18 页第 15 题课后小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别

15、注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。 ）注：从第二页开始以课时或单元为单位编制，每节课或每个单元都要有教案。第 2 次课学科 高等数学（一）课题 函数的极限周次 5 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时的函数的极限教学目的和要求：1、会计算自变量趋于有限值时和自变量趋于无穷大时函数的极限。教学重点：1、极限的概念、极限的性质及四则运算法则。教学难点：1、 极限的概念教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过

16、程教 学 过 程3 函数的极限一、函数的极限1自变量趋于有限值时函数的极限定义如果当 x 无限接近于 xo 函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f(x)以 A 为极限 记作 f(x)A 或 f(x)A(当 x )0limx0定义的简单表述 0 0 当 0|xx0|时 |f(x)A| xf)(lim02. 单侧极限 若当 xx0 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的左极限 记为 或 f( )=A Axfx)(li0 0x若当 xx0 时 f(x)无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x)当 xx0 时的右极限 记

17、为 或 f( )=A fx)(lim0yyx111yx1x3自变量趋于无穷大时函数的极限设 f(x)当|x|大于某一正数时有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在着正数 X 使得当 x 满足不等式|x|X 时 对应的函数数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|则常数 A 叫做函数 f(x)当 x时的极限 记为或 f(x)A(x)Afx)(lim 0 X0 当|x|X 时 有|f(x) A| xf)(lim类似地可定义和 xf)(li Axf)(li结论 且 Axf)(li Afxlifli课后作业（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。 ）第 36 页第 2、5 题课后

18、小结（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。 ）第 3 次课学科 高等数学（一）课题 无穷大与无穷小周次 7 时数 2 授课班级 1202114主要教学内容：无穷大无穷小教学目的和要求：理解无穷小、无穷大的概念教学重点：无穷小及无穷小的比较。教学难点：无穷大与无穷小教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教 学 过 程4 无穷大与无穷小无穷大与无穷小1

19、. 无穷小定义：如果函数 f(x)当 xx0(或 x)时的极限为零 那么称函数 f(x)为当xx0(或 x)时的无穷小 特别地 以零为极限的数列xn称为 n时的无穷小 例如 因为 所以函数 为当 x时的无穷小01limx1因为 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 )(1因为 所以数列 为当 n时的无穷小lin讨论 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在 xx0(或 x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零 无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 xx0(或 x

20、)中 函数 f(x)具有极限 A的充分必要条件是 f(x)A 其中 是无穷小证明 设 0 0 使当 0|xx0| 时 有xf)(lim0|f(x)A| 令 f(x)A 则 是 xx0 时的无穷小 且f(x)A 这就证明了 f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小 之和 反之 设 f(x)A 其中 A 是常数 是 xx0 时的无穷小 于是|f(x)A| 因 是 xx0 时的无穷小 0 0 使当 0|xx0| 有| 或|f(x)A|这就证明了 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 简要证明 令 f(x)A 则|f(x)A| |如果 0 0 使当 0|xx0| 有 f(x)A| 就有| 反之如果 0 0 使当 0|xx0| 有| | 就有 f(x)A| 这就证明了如果 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 则 是 xx0 时的无穷小 如果 是 xx0 时的无穷小 则 A 是 f(x) 当 xx0 时的极限 类似地可证明 x时的情形 例如 因为 而 所以 3321021lim3x21li3x定理 2 有限个无穷小的和也是无穷小