高等数学竞赛题库.不定积分与定积分.doc

1、1高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质1、设 ，求)10(tan2cos)(sin22 xxf )(xf2、设 ，求x1l)f3、已知 ，试求函数()(f )(xf利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、 求下列不定分;(1) （2） （3） （4）dxcosindx512xd22cossinx5)i(s2、求下列不定积分（1） （2）dxexe)13()(22 dxx)1(ln)23（3） （4） （5）dx21arctndxe)cos(inxx)l(l2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分（1） （2） （3） （4）21)(xd23)1(xddx29

2、21xd2、倒代换（即令 ）求下列积分t（1） （2）)0(2axd)2(7xd3、指数代换（令 则 ）,ttadln1（1） （2）xd42632xxed4、利用分部积分法求不定积分（1） （2）dex2)( dcos)5(3（3） （4）arcos x2ln2（5） xdecos5、建立下列不定积分的递推公式（1） （2）axInn)(12 xdInnta有理函数的积分1、求下列不定积分（1） （2） （3）dxx3422)1(xd)1(22xd2、求下列不定积分（1） （2） （3） （4）)(10xdxn12dx103)(d38简单无理函数积分1、 2、dx3 dx1)(三角有理式积分

3、1、 2、 3、sinx3sin1dxsin14、 5、 6、dxco xdcos2465co含有反三角函数的不定积分1、 2、xartn2x32)1(ar抽象函数的不定积分1、 2、dxfxf32)()( dxf)(ln分段函数的不定积分例如：设 求 .1,2;0,)(xxf dxf)(3高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分 和 的大小21lnxd21)(ldx2、 比较定积分 和 的大小0(0arctn利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分 的值452)sin1(dx2、试估计定积分 的值3arctx二、不等式证明1、证明不等式： edx1022、证明不等式： 14

4、38三、求极限1、 2、210limdxnn dxenn10lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数：（1） ；3241)(xtdF（2）由方程 确定的隐函数 的导数yxt te0022 1sin)(xfydy2、设 在 上连续且满足 ，求)(xf),)(02xdtf2f3、设 为关于 的连续函数，且满足方程 ，求f 11860 9)()(xx Cxdtfttf及常数 .)(xfC4、求下列极限：4（1） （2）xtxed602sinlim 250)cos1(limxdtxx5、设 是连续函数，且 ，求 .)(f 10)()(dtfxf )(f6、已知 且 ，求 及8)(8

5、0dfx2x定积分的计算一、分段函数的定积分1、设 求;,2,)(lxlclkxf xdtf0)()(2、求定积分 ),ma(d二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分：（1） （2）edxln10dtx2、求定积分 的值23cosdx三、对称区间上的积分1、设 在 上连续，计算)(xf,a132)cosin(dxx2、设 在 上连续，且对任何 有 ，计算f),y, )(yff1()(dxx3、计算积分 421sineIx4、设 在区间 上连续， 为偶函数，且 满足条件)(,gxf )0(,a)(xg)(xf（ 为常数）.A)(（1）证明： aadxdxf0)()(2) 利用（1）的结

6、论计算定积分 2rctansiex5四、换元积分法1、求下列定积分：（1） （2） （3）24)(arcsindx2ln021dxedx20101cosin4s五、分部积分1、设 有一个原函数为 ，求)(xfxsi2)(xf2、 301arcsind3、 102)(lx积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数 连续，证明：)(xf（1） 20023)(1aa dxfd（2） bbxfba ()（3） xx dd12122、设 连续，求证 ，并计算)(f dxfxf00 )(sin)(sin023cos1indx3、设 连续，且关于 对称， ，z 证明：xf

7、TbababTadxfdxfxf 2)()(2)(（提示： 关于 对称，即 ）二、分部积分法（适用于被积函数中含有 或变上限积分的命题）)(xf例：设 连续， ，证明：)(xfxdtatfF02)()()2(02afa三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点 或 使等式成立的命题）0x解题思路：（1）将 或 改成 ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数0x6或 。)(xF（2）验证 满足介值定理或微分中值定理的条件。)(（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设 在 上连续，证明：至少存在一点 ，使得：)(,xgf,ba ),(baadxfgdxf )()(2、

8、设 在 上连续，在 内可导， .求证：)(xf, )(21)(, 2adxfba在 内至少存在一点 使,ba 1)(ff四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设 在 上连续，且严格递增，证明：)(xf,baabadxfdxf)(2)(2、设 在 上连续且单调减少， ，求证：)(xf),0b0badxfdxfa00)(3、设 在 上可导，且 .证明：)(xf, )(,afMbabf2)(广义积分1、求下列广义积分（1） （2） 02dxe 942xd（3） （4）12)(ln0)1(2、证明：无穷积分 当 时收敛，当

9、时发散.)0(1pxdp3、当 时， 是以 为瑕点的瑕积分，证明它在 时收敛，在0p10时发散.17高等数学竞赛 导数与微分练习利用导数定义解题1、 设函数 又 在 处可导，求复合函数.2,0;,1sin)2()xxg )(tf0在 处的导数。)(fy2、 已知 在 处可导，求x0 )(lim00xfxfx3、 设 求 在点 处的导数,1,32)(xf )(f1)1(f4、 设函数 在 处可导，且 试求)(fa,0)(af nnaf)(lim5、 设 求极限,)1(,0)(ff xefxxcosli1)(21li 2026、 设 在 上有定义，且 又 ，求xfR,)(f xyefff )()(

10、)(f导数在几何上的应用1、 设函数 由方程 确定，求曲线 在 处的法)(fy1)cos(2exyeyx )(f1,0线方程2、 已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某个领域内有关系式)(xf 0),(8)sin1(3sin1xxf其中 是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在)(x0f1)(xfy点 处的切线方程.6,f利用导数公式及求导法则求导1、已知 ，求xy)(y2、若 ，求txttf21lim)(tf83、若 dxyxffy求,ln)(,12(314、设函数 由方程 确定。求sin)l320xdy5、设函数 由 所确定，求)(xy5arct2ey6、设函数 ，其中 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求)(ff 2dxy求高阶导数常用方法：（1）将函数变形。利用已知函数的 阶导数公式；n（2）利用莱布尼兹公式求某些积的 阶导数。1、设函数 ，求)1()(xxf)0(nf2、设函数 ，求23ln2y)5(y3、设函数 求,arct)(xf0)(nf4、设函数 ，求ey2)2(y5、设函数 xsin可导、连续与极限存在的关系1、 设 其中 具有二阶连续导数，且.0;,)(xegxfx)(xg,1)0(g求 并讨论 在 内的连续性。.)0(),(f),(f),2、设 其中 讨论在什么条件下 在 处连续。.0;,1sin)(xxf,)(xf0