高数一知识点.doc

1、1第一章 第三章一、极限 数列极限 limnx函数极限 ， ，()xfli()xflim()xf， ，0li00求极限（主要方法）：（）10 0sin1lm1,li(),li()xxxx xee（）等价无穷小替换（P76） 。当 时，2 ()()sin(),tan(),arcsin,arctn(),11col),1()l0),(10xx x xea 代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。（3）洛必达法则（ ） ，只有 可以直接用罗比达法则。0,0,0幂指函数求极限： ；()lim()lnlivxvxuue或，令 ，两边取对数 ，若 ，则()vxyll()ylim()lnvxua。()limvx

2、aue结合变上限函数求极限。二、连续 00li()xfx左、右连续 0 00(),lim()xxffx 函数连续 函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题） ，介值，推论。三、导数 0000()()()lilix xffxffA左导数 00000()()()limlimx xfffxf A2右导数 00000()()()limlimx xffxff A微分 (yAzdyd可导 连续 可导 可微 可导 既左可导又右可导求导数：（） 复合函数链式法则 ()()dyuyfugxfgxx()()f f（） 隐函数求导法则两边对 求导，注意 、 是 的函数。xyx（3）参数

3、方程求导 ()()()/dtxtytxt2()()dtydtx四、导数的应用 （）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）（）单调性（导数符号） ，极值（第一充分条件和第二充分条件） ，最值。（3）凹凸性（二阶导数符号） ，拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性） 。第四章 不定积分原函数 不定积分 ()(Fxf()()fxdFC基本性质 或 )dfxfx或()(c ().dx(分项积分)fxgfgd()kx基本积分公式(1) ; (2) xC 1 (d)xxC3(3) (4) 1ln|dxC dxeC(5) (6) lxacosin(7) (8) dsincosx 2etadx(9)

4、 (10) 2tCscnsecxC(11) (12) dxcsocs 2ari1x(13) 2artn1除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1. 2. tl|cos|;xdxC cotln|si|;xdxC3. 4. secn|eta|s|cot|5. 6. 21rct;xdxa 2arsin;xx7. 8. 2ln;aCxx 22rci;xdaC9. 22l|.da求不定积分的方法1 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。2 换元法：第一类换元法（凑微分法）()()()()d.fxfuFCx第二类换元法（变量代换法）（注意回代）()()()().fftt换元的

5、思想： () () ()()().ddxt ftdt txfftgtFC 主要有幂代换、三角代换、倒代换3 分部积分法 uvxuvvux 的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数4第五章 定积分一、概念1. 定义 011()lim(),axnbi ia infxdf2. 性质： 设 、 在 区间上可积，则定积分有以下的性质.fgba,(1). ；bdxa(2). ；babadxgnxfmdxnmf )()(3). ；ccaba dfx)()(4). 若在 上， ，则 ；,0x0)(baxf推论 1. 若在 上， ，则,bfg()()bbaafdxgx推论 2. （ ）aadxdxf|)(|

6、)(| (5). 若函数 在区间 上可积，且 ，则, Mfm)()()( abxfbba(6).（定积分中值定理） 设 在区间 上连续，则存在 ，使xf, b,fdba)(3. 积分上限函数 及其性质()xaftd(1) ，或 xftfxa)(；(2)如果 ，则 .)(0xtf )()0dtxf(3). 如果 ,()xd则 .()ftfxfx4. 广义积分(1). 无穷限积分afxdlimtatfxd收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ）5bdxflimbttfxd收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ）收敛的充分必要条件是反常积分 、 同时收

7、敛，xf 0fxd0fxd并且在收敛时，有dxf0f0f(2). 瑕积分为瑕点 alimbbaatff收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ）为瑕点 blibbaatfxdfxd收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ）为瑕点 则 收敛 与 均收敛，并且在收敛时，有cbafcafbcdxfbadxf二、计算（一） 定积分的计算1、微积分基本公式：设函数 在区间 上连续，且 ，则xfba,xfF， 牛顿-莱布尼兹（N-L）公式Fdfba)(2、换元法：设函数 在区间 上连续，函数 满足：x, tx 在区间 上可导，且 连续；,t ， ，当 时， ，则

8、ab,bax,dttfdxfa )(3、分部积分法： ， 或 |bbauvuvx|bbaauvvdu4、偶倍奇零： 设函数 在区间 上连续，则xf,0()2()aafxffdfd5、 2200cossin xxdn 12!)12(!)( knk66、分段函数的定积分。（二） 与积分上限函数相关的计算（三） 广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限）三、定积分的应用（一）几何应用1、 平面图形的面积（1）直角坐标 ， ba(),|(dd)| dxbbaaAfxfxg（ 上 曲 线 下 曲 线 ）或 |()y|yyddcc cAy（ 右 曲 线 左 曲 线 ）（2）参数方程 若 与 及 x 轴

9、所围成的面积 ，()xt,b()Atdt分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。,（3）极坐标 由曲线 所围的曲边扇形(),()r的面积 21.Ad2、 旋转体的体积 （1）直角坐标:由曲线 与 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一 (),()yfxabxx周的旋转体的体积 22().baaVfdfd由曲线 与 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周(),()xycyy的旋转体的体积 22().ddcc（2）参数方程 由 与 及 x 轴所围成的图形绕 x 由旋转一周的旋转()xty,ab体的体积 2()Vtdt3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）（1）直角坐标 21()basfx（2）参数方程 tytd（

10、3）极坐标 22()()sr（二）物理应用（步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）7xO a a xy2 aOxyOaaaOxyaaa阿基米德螺线 心形线 )cos1(r双纽线 摆线 2cos2ar)cos1(inayx第六章 微分方程一 、内容小结：（一） 、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二） 、解的结构齐次线性 ()0(*)yPxQy非齐次线性 fx1、 是（*）的解，则 也是(*)的解；若 线性无关，则2,y12yCy12,y为（*）的通解）12C2、 是（* *）的解，则 是对应齐次线性方程的解2,y12*y是（*）

11、的通解， 是（* *）的解，则 是（* *）的通解YYy(三)、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。二、一阶微分方程求解81、可分离变量方程或 或 ()yfxgy()()dyfx12()()0MxNydxyd解法：先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程则()yfx解 法 ： 令 ,uxyux或者 解法： df令 ,d3、一阶线性微分方程齐次线性 ()()0(PxdyPxyCe非齐次线性 ()() ) )xPxdQQeC三、二阶微分方程求解(一)、可降阶情形1、 ()yfx2、不显含 y 的二阶方程 (,)yfx解法： , (,)ppfx令 则 原 方 程 化 为3、不显含 x 的二阶方程 (,)yf解法： , (,)ddyppfy令 则 原 方 程 化 为(二)、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程 （其中 为常数）0(*)yq,pq特征方程 20rpq特征根 12,且为实根,则微分方程通解为 12r12rxrxyCe为相等实根,则微分方程通解为 p12()rxe为一对共轭复根,则微分方程通解为 1,2ri 2cosin)yCx2、二阶常系数非齐次线性微分方程 ,（ 为常数， 是 m 次多项式）()*)xmypqPe()Px9其具有特解形式 其中 为与 同次的多项式,(),kxmyQe()m()Px012不 是 特 征 根是 特 征 单 根是 特 征 二 重 根