1、11. 均值不等式法例 1 设 求证.)1(32nSn .2)1(2)1(nSn例 2 已知函数 ,若 ,且 在0,1上的最小值为 ,求证:bxaxf1)(54f(xf.2)1( nf例 3 求证 .),1(32 NnCCnn 例 4 已知 , ,求证: 1.11a 22xx nxaxa212利用有用结论例 5 求证 .)1()53)( n例 6 已知函数 .2,10,(21lg nNaxfxxx 给 定求证: 对任意 且 恒成立。)0()(f Nn2例 7 已知 1121, .naa用数学归纳法证明 ;)(I()n对 对 都成立,证明 (无理数 )l)x02ne.7182例 8 已知不等式
2、。 表示不超过 的最大整数。设正数数列21log,23N lognn2log满足: 求证na .,),(11 anb .3,l22ban再如:设函数 。xfe()求函数 最小值;()求证:对于任意 ,有() N1().nke例 9 设 ,求证:数列 单调递增且nna1na.4na3. 部分放缩例 10 设 ,求证:an21123an .2na例 11 设数列 满足 ,当 时证明对所有 有:Nn21 31,1n; .)(in 2)(21naai4 . 添减项放缩2例 12 设 ,求证 .Nn,1)2(18)32(nn例 13 设数列 满足 证明 对一切正整数 成立;na .,211 aann 1
3、2nan n5 利用单调性放缩: 构造函数例 14 已知函数 的最大值不大于 ,又当 时23)(xaxf6121,4x.81)(xf()求 的值;()设 ,证明Nnafan),(,2011 .1na例 15 数列 由下列条件确定: , nx1x,1nnxx(I) 证明:对 总有 ;(II) 证明:对 总有2an 21nx6 . 换元放缩例 16 求证 ).2,(11nNn例 17 设 , ,求证 .a,241(2a7 转化为加强命题放缩例 18 设 ,定义 ,求证:对一切正整数 有10aaan1,1 n.1a例 19 数列 满足 证明nx.,2211xn .01例 20 已知数列a n满足:a
4、 1 ,且 an3n12nN ( , ) (1)求数列a n的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n 有 a1a2an2n! 8. 分项讨论例 21 已知数列 的前 项和 满足nanS.1,)(2nann()写出数列 的前 3 项 ; ()求数列 的通项公式;n 321, na()证明:对任意的整数 ,有 .4m875ma9. 借助数学归纳法3例 22()设函数 ,求 的最小值;)10( )1log)(log)(22 xxxf )(xf()设正数 满足 ,求证:npp31, 23np n2322 loglll 10. 构造辅助函数法例 23 已知 = ,数列 满足()fxln43xna*1 2
5、 ,0Nnafan(1)求 在 上的最大值和最小值; (2)证明: ;f01,n(3)判断 与 的大小,并说明理由.na1()N例 24 已知数列 的首项 , , 3512nna12, ,()求 的通项公式; ()证明:对任意的 , , ;na 0x21()3nnxx 12, ,()证明: 2121na例 25 已知函数 f(x)=x2-1(x0),设曲线 y=f(x)在点(x n,f(xn))处的切线与 x 轴的交点为(x n+1,0)(nN *).() 用 xn表示 xn+1; ()求使不等式 对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由;1()若 x1=2,求证: .31221 nxx
6、例 1 解析 此数列的通项为 ,.,21,)(nkak 21)1(kk,即)21(1nknkS .2)(Snn注:应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ,若放成ba则得 ,就放过“度”了!)(k 2)1(3)1(1 kSn根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里,其中, 等的各式及其变式公式均可供选用。nanaaann221111 3,n例 2 简析 4() (0)2xxxf 1(1()2ff4211()()2n 11.4n例 3 简析 不等式左边 =23nnnCC 1212n= ,故原结论成立.n121 21例 4 【解析】使用均值不等式即可:因为 ,所以
7、有2(,)xyR22112 nn aaxax 21. 其实,上述证明完全可以改述成求 的最大值。本题还可以推广为:nxaxa21若 , , 试求 的最大值。221np 2(,0)qp nxaxa21请分析下述求法:因为 ,所以有(,)yxR22112 nn 222211.nnaxpq 故 的最大值为 ,且此时有 。nxax21(1,2)kaxn上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“”的条件是 ,即必须有(,)k,即只有 p=q 时才成立!那么, 呢?其实例 6 的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:21nkkapq2 22221, 1,()()()()n nppxx 则有1212
8、 nnaaaxqpq22 21 12()()( )(n npq pqp 于是, ,当且仅当12max()naxpq 1,).kaxp结合其结构特征,还可构造向量求解:设 ,则1212(,),(,nn 由 立刻得解: |mn 22212 1| | .naxaxxpq 且取“”的充要条件是: 。12nxa52利用有用结论例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有:法 1 利用假分数的一个性质 可得)0,(maba25634n n2167453 )12(6543n 12)5634(n即 .)()1()1( 法 2 利用贝努利不等式 的一个特例)0,1,2(xNxn(此处)得 ,12)1(2kk 1,
9、2k )12(kkn.nnk例 6 简析 高考标准用数学归纳法证明, ;这里给出运用柯西( )不等式 的简捷证Cauchyniinii bab1221)(法: )(2xff nxxx22)1(31lg nxx)(31lg)(31 xxa 1 222xxxa而由 不等式得Cauchy )(2an( 时取等号)(22 )1(31 22xxx 0( ) ,得证!)( 2xann 10例 7 解析 结合第 问结论及所给题设条件 ( )的结构特征,可得放缩思路:I(Il。nnaa)21(1 12l()lnn ann21l2于是 ,nll即.2121)(ln)21()l( 111 nniiini aa.2
10、lenn【注】:题目所给条件 ( )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还l()x0可用结论 来放缩:21n )1()(11nanan 1()(1nnaa1l()l()l().)nna6,1)ln()1l()(1)ln()1l( 2212 naianniiini即 .3ean例 8 【简析】 当 时 ,即 2aannn111 an1于是当 时有.)1(22kaknk 3log21n .log22b注:本题涉及的和式 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论n3来进行有效地放缩;log21321n再如:【解析】 ()1;()证明:由()得 ,对 x1 有
11、 ,利用此结论进行巧妙赋值:xe()nxe取 ,则有,kx 1210()12 1()()()()nnnn eeee 即对于任意 ,有N1().nk例 9 解析 引入一个结论:若 则 , (可通过构造一个等比数列求和放缩来证0ab)(11abnan明,略)整理上式得 ( ) ,以 代入( )式得.)(1nann,1)(n。即 单调递增。以 代入( )式得 。此式对.)1(nn nba21, .4)21)21(n一切正整数 都成立,即对一切偶数有 ,又因为数列 单调递增,所以对一切正整数 有 。4)(na(注:上述不等式可加强为 简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩:.3)1(2n只取前两项有
12、对通项作如下放缩:.11)( 2nnnnn CCa .21nCan故有!1! 1 kk kC .32/1)(21n3. 部分放缩例 10 解析 an2 .13232nna又 (只将其中一个 变成 ,进行部分放缩) , ,),1(2kkkkk1)(127于是 )1()312()13122 nnan .2例 11 【解析】 用数学归纳法:当 时显然成立,假设当 时成立即 ,)(ikka则当 时 ,成立。k 32)()()(1 kaakk利用上述部分放缩的结论 来放缩通项,可得)(i 121)21kka 114kkkk1kk1()2.4nnniiia【注】上述证明 用到部分放缩,当然根据不等式的性质
13、也可以整体放缩: ;)( 31)2)(1 kkak证明 就直接使用了部分放缩的结论 。i 121kka例 12 简析 观察 的结构,注意到 ,展开得n)32( nn)()3123(1)nnnnC ()(1)261288n即 ,得证.8)(2例 13简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对()进行减项放缩,有法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) ;1)(21212 kkaakk法 2 221nna .,1 nk则 2)1(221 nann 12an例 14 解析 () =1 ;()由 得 且a),(1nnaf 61)3(321 n .0na用数学归纳法(只看第二步): 在 是增函数,则得1kkf
14、),0(k.2)(23)()1 kfafk例 15 解析 构造函数 易知 在 是增函数。当 时 在,1xaff),a1knkkxax2递增,故 。对(II)有 ,构造函数),a.)(1fxk 1nxnxa2,)(f8它在 上是增函数,故有 ,得证。),a1nxnxa20)(f【注】数列 单调递减有下界因而有极限:nx .(a 是递推数列 的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。f21)( nnxx21例 16 简析 令 ,这里 则有nha),1(0,从而有2)()1( nhnnn .121nhann注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
15、例 17 简析 令 ,则 , ,应用二项式定理进行部分放缩有ba0ba1,222 )()1( bbCCnnnnnn 注意到 ,则 (证明从略) ,因此 .N,24)(41a7 转化为加强命题放缩例 18 解析 用数学归纳法推 时的结论 ,仅用归纳假设 及递推式1kn1nak是难以证出的,因为 出现在分母上!可以逆向考虑:akk1k .11aakk故将原问题转化为证明其加强命题:对一切正整数 有 (证略)n.1an例 19 简析 将问题一般化:先证明其加强命题 用数学归纳法,只考虑第二步:.2xn。因此对一切 有 .41)2(121 kkkxk Nx.2n例 20 解析:(1)将条件变为:1 ,
16、因此1 为一个等比数列,其首项为 1 ,公nan3( ) naa3比 ,从而 1 ,据此得 an (n1)13na3(2)证:据 1得,a 1a2an ,为证 a1a2an2n!,2n3!( ) ( ) ( )只要证 nN时有 2 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式:2n13( ) ( ) ( ) 1对每个 nN,有 1( )32n13( ) ( ) ( ) 2n13 (用数学归纳法,证略)利用 3得 1( )2n1( ) ( ) ( ) 2n13 91 1 。故 2式成立,从而结论成立。n3 ( ) nn112323 ( ) ( )8. 分项讨论例 21 简析 ()略, ()
17、;()由于通项中含有 ,很难直接放缩,考虑分项讨.)1(32nnna n)1(论:当 且 为奇数时3n(减项放缩) ,122)12(113 nnnna )21(3231nn于是, 当 且 为偶数时,4mmaa54 )()(1654 maa .87321123)121(324 m当 且 为奇数时, (添项放缩)aa54 154ma由知 。由得证。.871154ma9. 借助数学归纳法例 22 解析 科学背景:直接与凸函数有关!()略,只证():考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有:法 1(用数学归纳法)(i)当 n=1 时,由()知命题成立。 (ii)假定当
18、时命题成立,即若正数kn,1, 22121 kk ppp 满 足则 .loglogl 2pkk当 时,若正数 (*)n ,1,1 221 kk p 满 足为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段:令 ., 221221 xqxpqppx kkk则 为正数,且kq, 1221k由归纳假定知 .loglogl221 kkkkkkk qqqxppp 22212221 logl(ogl (1),l)(og2xkx同理,由 得kkk 21210(2)11221212 loglog kkkk pp ).1(log)()(2xkx综合(1) (2)两式 12ll kkp ).()(l)()( 22xx即
19、当 时命题也成立. 根据(i) 、 (ii)可知对一切正整数 n 命题成立.kn法 2 构造函数 那 么常 数 ),0(,)(log)(log)(22 cxcxcl1 2xcxg利用()知,当 .)(,)(2取 得 最 小 值函 数时即 xgc对任意 都 有,0,21x 2log2lolg12121 xx 1)()log(2121x(式是比式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论.(i)当 n=1 时,由(I)知命题成立.(ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 有满 足 , 22121 kk ppp11111 22222212122121 logloglogl ., .lllog kkk
20、kkkk ppppHkn 令 满 足时当对(*)式的连续两项进行两两结合变成 项后使用归纳假设,并充分利用式有k,1)()( ,)()l(l1 11112221 2222 kk kkkkpp 因 为由归纳法假设 ,)(log)(log 1111 222 ppkkkk 得 .)(1221kHkk即当 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立.n【评注】 (1)式也可以直接使用函数 下凸用()中结论得到;xg2lo)((2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合: 而变成 项;iiinpq12k(3)本题用凸函数知识分析如下: 先介绍詹森(jensen)不等式:若 为 上的下凸函数,则()fx,ba对任意 ,有 ),1(0,1nii nbax ).(1n xfxff特别地,若 ,则有i )(11 nnf 若为上凸函数则改“ ”为“ ”。由 为下凸函数 得 ,又 ,)(xg )2(2)(121 nn nn pgpgp 12321npp
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