有理数域上多项式不可约的判定-论文.doc

1、多项式不可约的判别方法毕业设计(论文)有理数域上多项式不可约的判定系 别 ： 数学与物理系专 业 （ 班 级 ） ： 数学与应用数学 2012 级 2 班作 者 （ 学 号 ） ： 赵伟（51205012006）指 导 教 师 ： 刘晓敏（讲师）完 成 日 期 ： 2016 年 4 月 22 日蚌埠学院教务处制多项式不可约的判别方法目 录 中文摘要 .1英文摘要 .21 引言.31.1 本课题的作用,意义.31.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题 .32 有理数域上的多项式.42.1 不可约多项式的概念 .42.2 本原多项式.42.3 有理数域上多项式的等价 .53 有理数域上

2、多项式不可约的判别方法.63.1 有理根判别法 .63.2 因式分解唯一性判别方法 .63.3 艾森斯坦因(Eisenstein)判别法及推广 .73.3.1 艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法 .73.3.2 艾森斯坦因(Eisenstein)间接判法 .83.3.3 通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法 .93.3.4 艾森斯坦因判别法的推广 . 113.4 反证法 .113.5 克朗奈克判别法 .123.6 综合法 .134 其他特殊多项式不可约的判别方法 .144.1 奇次多项式的判定方法 .144.2 形如 的判定方法 .142axbc5 结论.1

3、6谢辞 .17参考文献 .18赵伟：有理数域上多项式不可约的判定- 0 -有理数域上多项式不可约的判定摘 要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.关键词:有理数

4、域;多项式;不可约;判别法蚌埠学院本科毕业设计（论文）- 1 -The Judgement of Irreducible Polynomials on Rational Field Abstract:For judgment irreducible rational polynomial problem domain,eventually equivalently transformed into irreducible polynomials judgment on the issue integer field for the entire judgment coefficient irr

5、educible classic Eisenstein discrimination law, but this discrimination discrimination law is a sufficient condition for a polynomial irreducible, which limits the scope of its use, but there are still a lot of discrimination because of polynomial method can not distinguish by Eisenstein. in this pa

6、per, the whole previous studies irreducible polynomial coefficients obtained review and summarize achievements, on this basis, do some research and discussion, given the rational root discrimination law, as well as discrimination method reductio ad absurdum kroner Naik et al., to broaden the scope o

7、f discrimination irreducible polynomial, while the polynomials Irreducibility more systematic.Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law赵伟：有理数域上多项式不可约的判定- 2 -1 引 言1.1 本课题的作用,意义随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要

8、.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数 不存在时,我们不能判断这个多p项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可

9、约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.蚌埠学院本科毕业设计（论文）- 3 -2 有理数域上的多项式在介绍和总结多项式在有理数域上不可约的相关判别方式之前,我们需要先了解一下相关概念等知识.2.1 不可约多项式的概念过去我们都知道一个多项式可进行因式分解,即分解成几个因式乘积的形式,其实我们仅仅是在有理数域上考虑这个多项式是否能进行因式分解,却并没有进一步讨论和研究这个问题,也没有严格地讨论和证明它们是否真的不

10、可再分.其实不可再分的概念,是相对的,是相对于系数的的数域而言的,并非绝对.用以下例子加以说明对 进行分解,可分解为 94x )3(924xx正如上面所说的那样,我们考虑 这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域 ,但是若是将 放在实数域上,则还可以因式分解为为 94x )3()3924 xx（并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为 )()(4 iix由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域 作为选定一个系数域 , 作为多pxp项环,则关于多项环 在数域 上的多项式的因式分解的不可约

11、定义如下:xp定义 数域 上的次数大于或等于 1 的多项式 称为域 上的不可约多项1 )(x)(式,如果它不能表示成数域 上两个次数比 的次数低的多项式的乘积.)(p2.2 本原多项式 设 是有理数域上的一个多项式,取一整数 b,前提条件01axaxfnn是 总是一个系数为整数的多项式式,若 的每一项系数都有公因子,那么公因b xbf子可以提出来,得到 ,也就是 ,其中 是有理数域上的一整cgbf gcx系数多项式,而且 的每一项系数都只有 这样的公约数 ,例如一多项式x1.xx3525322424 赵伟：有理数域上多项式不可约的判定- 4 -定义 若一个系数非 0 且为整数的多项式 ,该多项

12、2 01axaxfnn式的系数 除了 没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,1,an1则该多项式被称作为一个本原多项式.2.3 有理数域上多项式的等价设 是有理数域上的任意一个非 0 的有理系数多项式 ,通过上述分析可知,xf都可以写成 ,其中 为有理数域上任意一个数, 是一个本原多项式，f xcgfcgx那么称 与 等价, 即讨论有理数域上任意一个系数非 0 的多项式 的问题最f f终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.蚌埠学院本科毕业设计（论文）- 5 -3 有理数域上多项式不可约的判别方法3.1 有理根判别法利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约

13、其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.例 1 判别多项式 在 Q 上不可约.27fx解 的最高次项的次数是 2,所以可以运用有理根判别法 .由有理根判别法,若xf可约,则一定有有理根 ,又 的可能有理根是 :士 1,士 7.)(f )(f因为 , ,所以士 1、士 7 均不是 的有理根,故 在有 上01f7f )(xf )(xfQ不可约.例 证明 在有理数域上不可约.320-923xxf解 的最高次项的次数是 3,所以可以运用有理根判别法 .又士 1、士 107 是xf可能存在的有理根,而

14、， ，所以士 1、士 107 都不是 的f 1f7f xf有理根,故 在 上不可约 .fQ当然有理数域上多项式的次数大于 3，不能用上述判定方式.例 2 设 是有理数域上的一个多项式, ,试证明 在有xf 142xxf xf上不可约.解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士 1、士 4 是 可能存在f的有理根,但是 ， .所以运用有理根判别法,我们会得出01f04f在 上是不可约的结论 .但是 是有理数域上可约的多项式,因为42xxf Qxf.因此针对次数大于或者等于 4 的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定.3.2 因式分解唯一性判别方法定理 因式分解的唯一性定理定理 数域 上每一个次数 的多项式 都41.3 p1xf可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积 .p把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的