王式安考研概率讲义.doc

1、1概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解： 样本空间的概念理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯） ，独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。1 随机事件与样本空间一、随机试验： E（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点 所有样本点全体样本空间 三、随机事件样本空间的子集随机事件 ABC样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件 出现 发生， 出现如果组成事件 的基本

2、事件出现 发生， 出现A必然事件 不可能事件2 事件间的关系与运算2一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图 三事件的文字叙述与符号表示例 2 从一批产品中每次一件抽取三次，用 表示事件：(1,23)iA“第 i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1） ； （2） ；231A123（3） ； （4） ；123123AA再用 表示下列事件：123,(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一

3、公理化定义 ,AP(1) ()0P(2) 1(3) 1212()()()n nAPAPA ,ijij二性质(1) ()0P（2） 1212)()()n n ,ijij(3) ()()A(4) ,BP3(5)0()1PA三条件概率与事件独立性(1) 事件 发生条件下事件 发生的条件概率；()(),(),PABB(2) 事件 独立，,PAB,独立 独立 独立 独立；,:,AB:,:时, 独立 ；()0()(P(3) 1212 12,)k kiiiii kPAiin 称 相互独立,( 个等式),n 3nnC相互独立 两两独立。:四五大公式(1)加法公式： ()()()PABPAB( ()()()CC

4、PCAPBC12.)n(2)减法公式： PABAB(3)乘法公式： ()0,()()P时，12(.n1212131212. ()(.)n nnAPA(4)全概率公式： 是完全事件组，且 ，1,B0iB,i1()()niiiPAPA(5)贝叶斯公式： 是完全事件组，2,.n()0,(),1,iPAn41()()jjjniiiPBA1,2.jn4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率 ()AnP所 包 含 的 样 本 点 数样 本 点 总 数二几何型概率 ()AL的 几 何 度 量的 几 何 度 量三独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变四伯努利试验试验只有两个结果 伯努利

5、试验A和重伯努利试验n二项概率公式 (1)knknCP0,1.n()PAp5 典型例题分析例 1.设 为两事件，且满足条件 ，则 _ .,ABAB()PAB例 2. 为任意两事件，则事件 等于事件, ()()CACBA()BD()例 3随机事件 ，满足 和 则有,A1()2PB()1PAB5ABBAC()1PD()0P例 4设 且 则必有()0PAB()()1BA()()PABC()()D(P例 5(06)设 、 为随机事件，且 ， ，则必有AB()0PB()1A()(P(PBCD()例 6试证对任意两个事件 与 ，如果 ，则有AB()0PA）(|)1()P例 7有两个盒子，第一盒中装有 2

6、个红球，1 个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1） 这个球是红球的概率；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例 8假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率 ；p（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率 .q6例 9袋中装有 个白球和 个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1） 从袋中

7、取出的第 个球是白球k(1)k（2） 从袋中取出 个球中，恰含 个白球和 个黑球abab(,)ab例 10随机地向半圆 （其中 ，是常数）内掷一点，则原点和2(,)0xyax0a该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_。4例 11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为 ，求在第 次成功之前恰失败了 次的概率。pnm例 12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_。例 13已知 三事件中 相互独立， ，则 三事件,ABCAB与 ()0PC,AB相互独立 两两独立，但不一定相互独立不一定两两独立 一定不两两独立D7例 1410 台洗衣机中有 3

8、 台二等品，现已售出 1 台，在余下的 9 台中任取 2 台发现均为一等品，则原先售出 1 台为二等品的概率为A0B28C20D38例 15甲袋中有 2 个白球 3 个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取 2 球，从乙袋中任取 1球混合后，从中任取 1 球为白球的概率A15B25C35D45例 1610 件产品中含有 4 件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例 17两盒火柴各 根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有 根的概率。N R()R例 18 （05）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 ，再从 1，2， 中任取一个数记为XX，则 _。Y(

9、)P第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解： 离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握： 分布函数性质：0-1 分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分8布，指数分布及它们的应用会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1 随机变量及其分布函数一随机变量样本空间 上的实值函数 ， 。常用 表示()X,XYZ二随机变量的分布函数对于任意实数 ，记函数 ，x()FxPx称 为随机变量 的分布函数；()Fx的值等于随机变量 在 内取值的概率。X,x三分布函数的性

10、质（1） ，记为 ；lim()0x()0F，记为 。1 1（2） 是单调非减，即 时，()Fx2x2()xF（3） 是右连续，即 (0)F（4）对任意 ，有12x1221()PxXx（5）对任意 ， ()(性质（1）（3）是 成为分布函数的充要条件。Fx例 设随机变量 的分布函数为 ，X,0()1Ax其中 是常数，求常数 及 。AA(12)P92 离散型随机变量和连续型随机变量一离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 的可能取值是X12,.,.nx称 为 的概率分布或分布律(),.kPxpkX分布律性质：（1） 0,.k（2） 1k

11、分布律也可表示为 21kXxxPpp 三离散型随机变量分布函数，()()k kxxF()(0)PXaFa例 1 求2316XP()Fx四连续型随机变量及其概率密度设 的分布函数 ，如存在非负可积函数 ，有X()Fx()fx， ()ftd称 为连续型随机变量， 为概率密度。()x概率密度性质：（1） ；()0fx（2） ；1td（3） ， ；12x21()()xPxXftd10（4） 的连续点处有 。()fx()Fxf例 已知 和 均为概率密度，则 必满足1()f1fA1,()0xdfxB1(),()xdfxC1()0fD10)ff3 常用分布一 （01）分布 0101XpPp二二项分布 . ， (),knCq,kn01pqp,XB:三超几何分布 ， ，()knMNP12,.l,H:四泊松分布 ，()!kPXe0,12.0:例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为 ，则这段1e时间内至少有两辆车通过的概率为_。五均匀分布 1()0axbfxb其 他,XU: