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1、 有限元作业专业： 计算数学 班级： 研 1102 班 姓名： 庞 娜 学号： 1107010047 2012 有限元作业（春季）1 求泛函 的一阶变分.10()()(,xmJuudx解：对 做微小的扰动，记 ，其中 , ；实数()10()xC()ux充分小，以 属于 的某个 邻域。由 的定义得J10 ()()()(,)(,),x mJuuxuxxd 令 ，得10 ()()()(,)(,),x mJxxux 1 ()()0 ( mxuuud 故有一阶变分为： 1 ()01 ()0 ()() ()mxuuxJ xd 2 设 是 阶对称正定矩阵， 是 维列向量，二次泛函Anbn(),)(,.2nJ

2、uAuR（1）直接计算泛函 的一阶变分和二阶变分；（2）证明以下问题 和 等价；()PQ求 使()nuRmin();vRJ求线性方程组 的解 .QAbnu解：(1)对 做微小的扰动，记 ，其中 , ；由二u()()xx10()C()ux次泛函定义得 1() ,2Jub1(),()(,),)2AuA1,), (,)2Abu11(,)(,)(,)(,)(,(,)22uuAbu(),)(,)(,b.(),)A所以有一阶变分为： (0),)(,)(,)(,(,)JubAubAub二阶变分为：.2(),)(,)A(2)若已知 ，由二阶变分的形式以及内积显然有 ，且 ，P20J2J0u故泛函 正定，由引理

3、以及条件 得一阶变分为零，即J()(,)Aub可以得到 即为 .10()uC0AubQ若已知 ，由二阶变分以及内积显然有 ，且 ，故泛函(Q20J2J0正定，且 ，故由引理的 是泛函 的局部极小值，即为 .J2JnR()P3设定义在容许函数类 上的泛函10,MvC122 2201010 1()()()()()()(,2Jupxvqxfxvdkvv其中函数 充分光滑， 及 为已知常数。如果 且,f01,k1,uM是泛函 的极值点，那么 应满足什么边值问题？2(,1)CJ()ux解：对 做微小的扰动，记 ，其中 , ；由二次u()x()x泛函定义得 122 200 1()()()()()()2 2

4、Jpqufudku101,ku 00()()()()()fxk1011,k 01010()()()(),puqfdxpukku因为 且 是泛函 的极值点，故 .由变分引理及 的M2(,)CJJx任意性得方程 以及边界条件f， ，11()()puk00()()puk故 应满足以下边值问题()ux0011(),()dupqfxxk4 给出两点边值问题 01(),0,(41)(),2dupqfxxu其中 充分光滑，常数)(,)(0p 0（1） 叙述并证明该边值问题的最小位能原理；（2） 叙述并证明该边值问题的虚功原理.解：设 是它的一个解.任取一个函数 其中21(,)(,)0,uxyC(,),vxy

5、M.Mv将 乘以方程 的两端，然后在 上积分得(,)xy(41)(,1)0(0,.dupqfvdxvx上式应用分部积分以及 得2)1 1 00()1()()(0),.43)duvpqfdxpuvpuvpvx M 也就是说，边值问题的解 满足式 . (,)y(43)反之，如果有 对任何 都满足式 ，那么当uxMv(43)时，它必是边值问题 的解，事实上，对 应用分部2(,)(0,1)uxyC(1)2:(43)积分，可得 1 10 0()()()()()(1)0,.dpqufvdxpuvpuvpuvpx M利用变分法基本引理以及 的任意性，可知 满足方程 .(,)y(,)xy(4)2):有以下虚功

6、原理：若 是边值问题 的解，则它必21(,)(0,),uxyC(41)2):然满足 ；反之，如果 对任何 都满足式 ，那么当(43)Mv3时，它必是边值问题 的解.2,0,1uxyC(41)2):为了把边值问题 化为变分问题，定义如下泛函()2):12 22100()()()(1),.JvpvqfvdxpvpvpvM容许函数类为 那么它应当是以下变分问题的解： ，使得 10,MC()uxy.()min()vMJu如果 ，则这个变分问题的解必定是边值问题 的解.下面证2(,)(,1)uxy (41)2):明: 边值问题 与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知边值4:问题的解也是变分问题

7、的解.对 给以变分 ，函数 变为 ，则泛函 变为uu()Ju,有()Ju122 2100()()()()(1)2 200vpvqvfvdxpvp1 100()()()()(1)(pvqvfdxvpp 1 222100()()(dxp1 100,()()()1Juuqfudxuup122 2222100(,)()()()()()p二次泛函 是正定的.事实上， 常数 ，故,Ju ,0xqpx,12(,),uuM即 至少是半正定的.下面再证明充要条件2(,)J时， uM2(,)0.Juu先证明必要性. 时，必有 2(,)0J在 上 为常数.,dx,1为使 ，必有 在端点的邻域上为零，故在 上 为零.

8、2(,)Juu0,1u充分性是显然的.当 是正定时，一阶变分为零 对一阶变分分部积2(,) (,),JuM分得 1 0 0(,)()(1)()0()(1 0Jupuqfdxppuu 等价于以下边值问题(,)xyM 01(),(),dpqfxxuu所以有以下最小位能原理：若 是边值问题 的解，2(,),0,yC(41)2):则它必满足 ；反之，如果 对任何 都满足式()minvMJ()xyMv，那么当 时，它必是边值问题 的解.()ivu2(,)uxy()5 给出两点边值问题,100 )(,)()( ,gugukpxfqdx其中 充分光滑，常数 .,0x 0k（1） 叙述边值问题的 意义广义解、

9、 意义广义解的定义；RitzGalerin（2） 证明边值问题 意义广义解存在而且唯一.Galerkn解： 记 ，则容许函数类()1 22,)()(,1)(,1)HvxLvxL，且记0,Mvxg 10(0,)MvxHv引入双线性泛函 10(,)()Auvpqudk和线性泛函 0()Ffxv记 1 122000 01()(,)()()()2JvAFvpvqdxkvfdxgv意义的广义解：求 ，使得RitzuM.()min()vJ意义广义解：求 ，使得Galerkin.0(,)(AuF(2)利用 定理证明它的存在唯一性.显然 M 为 空间，首先，有gLxilra Hilbert不等式 Schwar

10、z(,),fvf但 中的范数 ，2(,)b211v以及以下定理：定理 （ 空间的嵌入定理）设 是 中的有界区域，边界 充分光滑.如果整数SolenR，那么，当 时， 几乎处处等于一个在 上连续的函数，而且2nk()kvHvmaxkC其中常数只于区域有关.当 时，成立 .故有1,nk2nk110000101()()(),)(,FvfdxgvfdxgvCfCM即 是在 上有界的.()Fv0M的对称性是显然的，此外，记 应用 空间,Au101(),()pxqxSoblev的嵌入定理 0110 211210 0(,),)(,()()(),vuqvkupvuvqukCupkvM即 在 上是有界的.至于它

11、的正定性，需要以下引理.(,)Auv0M引理 （ 第一不等式）设 是有界区域，则存在常数 ，使得Friedchs0有10()vH22.xyvv故对于 上有0M22xv1 2 2 20 0 0(,)()()()()Avpqdkvpqvkpqvk即 是正定的，所以根据 定理得该边值问题 意义广义解存ugLaxMilrmGalerin在而且唯一.6 对椭圆型方程的第一边值问题()()(,),(61)2ukqufxyxyg建立相应的最小位能原理和虚功原理.其中系数 充分,0),(),(0yxqkyx)(yxf光滑.解：记 ，设 是它的一个解.任取一个1(),MvCvg21(,)()uC函数 其中 .0

12、(,),xy 10),0xyv将 乘以方程 的两端，然后在 上积分v(61) 10(),.ukqufvdxyvCxy对上式前两项利用 公式，由边界条件 得Gren62()()ukvdxyxyvuksnukdxyx代人前一式，得 10,(63)vquvfvC也就是说，边值问题的解 满足式 . (,)uxy(63)反之，如果有 对任何 都满足式 ，那么当(,)uxyM10vC(63)时，它必是边值问题 的解，事实上，对 应用2(,)uxyC(6)2:(63)公式，可得Gren10()(),.ukqufvdxyvCxy利用变分法基本引理，可知 满足方程 ，至于边界条件 ，因,(61)(62)是显然满

13、足的.(,)uxyM有以下虚功原理：若 是边值问题 的解，则它必21(,)()uxyC(1):然满足 ；反之，如果 对任何 都满足式 ，那么当(63),M10vC63时，它必是边值问题 的解.2,uxyC(6)2):为了把边值问题 化为变分问题，定义如下泛函(61)2:2()xyJvkvqfdxy容许函数类为 那么它应当是以下变分问题的解：1(),MCg，使得 .(,)uxy ()min()vMJu如果 ，则这个变分问题的解必定是边值问题 的解.下2(,)( 61)(2):面证明: 边值问题 与变分问题在一定条件下是可以相互转化的，从而得知61):边值问题的解也是变分问题的解.对 给以变分 ，

14、函数 变为 ，为使 ,则应使 在 上为零.则泛uuuu函 变为 ，()J()2221()()()2xyvkvkvqvfdxy() xxyydx 2ykd(,) uJukuqfudxyxy2 222(,)()()()Jukukqudxyxy二次泛函 是正定的.事实上， 故2, ,0),(,0kx2 1(,)0,JuuC即 至少是半正定的.下面再证明充要条件2(,)Ju时， 10C2(,)0.J先证明必要性. 时，必有2(,)Ju在 上 为常数.0,xyu在 上 ，从而在 上 为零；0uu充分性是显然的.当 是正定时，一阶变分为零 对一阶变分应用2(,)J 10(,)0,JuuC公式得Gren 10(,)()(),.uukqfdxyuxy 等价于以下边值问题,)xyM()()(,),ukqufxyxyg所以有以下最小位能原理：若 是边值问题 的解，21(,)()uC(61)2):则它必满足 ；反之，如果 对任何 都满足式()minvMJu,xyMv，那么当 时，它必是边值问题 的解.()iv2(,)(xy()7 设轴对称的三维定常温度场 满足如下的边值问题：,zru21()(,)(71),. 2urfzgn在 内 ，在 上