1、1阿波罗尼斯圆及其应用数学理论1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点 ，设 点在同一平面上且满足BA,P当 且 时， 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。,PBA01P（ 时 点的轨迹是线段 的中垂线）12.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质定理： 为两已知点， 分别为线段 的定比为 的内外分点，则以A,Q,AB)1(为直径的圆 上任意点到 两点的距离之比为PQO.证 （以 为例）1设 ，则QBAPa,.1,1, aA由相交弦定理及勾股定理知 , 2222 BCAaBQPC于是 ,1,122C.而 同时在到 两点距离之比等于 的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆P,BA,是唯一的，因此，圆 上任意
2、一点到 两点的距离之比恒为OBA, .性质 1.当 时，点 在圆 内，点 在圆 外；O当 时，点 在圆 内，点 在圆 外。0性质 2.因 ，过 是圆 的一条切线。QAPC2C若已知圆 及圆 O 外一点 ，可以作出与之对应的点 反之亦然。,B性质 3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为12aP.12a性质 4.过点 作圆 的切线 为切点） ，则 分别为 的内、外角平分线。AC(CQ,A2性质 5.过点 作圆 不与 重合的弦 则 平分BOCD,EFAB.EF数学应用1.（03 北京春季）设 为两定点，动点 到点 的距离与到点 的)0(,)0,(cBcAPAB距离之比为定值 求点 的轨迹.aP2
3、.（05 江苏）圆 和圆 的半径都是 1， ，过动点 分别作圆 和圆 的切1O2 42OP1O2线 分别为切点） ，使得 ，试建立适当坐标系，求动点 的轨NMP,(, NPMP迹方程.3.（06 四川）已知两定点 如果动点 满足 ，则点 的轨迹所).0,1(,2BAPBA2P围成的图形的面积是_.4.(08 江苏) 满足条件 的 面积的最大值是 _.BCA2,A5.在等腰 中， 是腰 上的中线，且 则 面积的最ABCBD,AC,3BDAC大值是_.36.已知 是圆 上任意一点，问在平面上是否存在一点 ，PA),02(16)4(:2yxC B使得 若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由.?1BB变式：已知圆 ，问在 轴上是否存在点 和点 ，使得对于圆 上16)4(:2yxCxABC任意一点 ，都有 若存在，求出 坐标；若不存在，说明理由.P?BABA,7.在 中， 是 的平分线，且ABCAD,2.kACD（1）求 的取值范围；k（2）若 的面积为 1，求 为何值时， 最短.kB
