1、几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理 1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。S1 : S2 = a : b定理 2：等分点结论( 鸟头定理 ) 如图，三角形AED 的面积占三角形 ABC 的面积的 203415定理 3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S1S 2 =S4 S3 或 S1S3 = S2S4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AOOC = （S 1S 2）（S 4S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1S 3 =a2b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1S 3S 2S 4 =
2、a2b 2 abab4）S 的对应份数为（a+b） 2定理 4：相似三角形性质CFEADBCB EFDA1） HhCcBbAa2） S1 S 2 = a2 A 2定理 5：燕尾定理SABG SAGC = SBGE SGEC = BEECSBGA SBGC = SAGF S GFC = AFFCSAGC SBCG = SADG SDGB = ADDB二、 例题分析例 1、如图， ， ，已知阴影部分面积为 平方厘米， 的面积ADBEFC5AC是多少平方厘米？例 2、有一个三角形 的面积为 1，如图，且 ， ， ，求ABC12B1314A三角形 的面积.DEF例 3、如图，在三角形 ABC 中， ，
3、D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE= AB,已知四边形 EDCA 的面积13 是35，求三角形 ABC 的面积. 例 4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。 （单位：厘米）例 5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示） ，求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例 6、如下图，图中 BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？例 7、 （小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米，
4、BOC 面积为 2 平方千米， COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例 8、如图：在梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积为 9 平方厘米，三角形 BOC 的面积为25 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。259ODCBA例 9、 （2003 北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。ABCDBDO如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且C13， ，那么 的长度是 的长度的_倍。2O3 DAOCB例 10、左下图所示的 ABCD 的边 BC 长 10cm，直角三角形 BCE 的直角
5、边 EC 长 8cm，已知两块阴影部分的面积和比EFG 的面积大 10cm2，求 CF 的长。例 11、长方形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 分别为边 AB、BC、CD 的中点，H 为 AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？例 12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米，求阴影部分的面积。例 13、如图，大正方形 ABCD 的边长为 6，依以下条件求三角形 BDF 的面积。例 14、 （右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？例 15、如下图
6、，已知 D 是 BC 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，且 的面积ADG比 的面积大 6 平方厘米。EFG ?的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米ABCABCDE三、 练习题1、如图，四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 点，三角形 ADO 的面积=5，三角形 DOC 的面积=4，三角形 AOB 的面积=15，求三角形 BOC 的面积是多少？2、如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是 4 cm ，CED 的面积是26cm 。问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？3、如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED 的
7、面积是三角形 ABC 面积的_.314DE CBA5、如图所示，已知 ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形 DEF 的面积是16 平方厘米，求三角形 ABE 的面积是多少平方厘米？ 6、 如右图， 是梯形， 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方ABCDABE厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。2168EDCBA7、正方形 ABFD 的面积为 100 平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE的面积大 30 平方厘米，求 DE 的长是多少？8、 已知 中， ， 的面积是 42， 是 上任意一点，ABC12AcmBCcmPBC到 , 的距离是 ，那么 ；P,xyxy9、如右图所示，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，使CE=2BC；延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。
