1、导数专练答案 一、选择题 1下列函数求导运算正确的个数为 ( ) (3x) 3xlog3e； (log2x) 1xln 2； (ex) ex； 1ln x x； (xe x) ex 1. A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】 (3x) 3xln 3； (log2x) 1xln 2； (ex) ex； 1ln x 1xln x21xln x2； (xex) ex xe x ex(x 1)，故选 B. 2. 曲线 221yx在点 ( 1,3)P 处的切线方程为（） A 41yx B 47yx C 41yx D 47yx 3 函数 fx的定义域为 ,ab ，导函数 fx 在 ,ab 内的图像如图
2、所示， 则函数 fx在 ,ab 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4个 4 (2012辽宁高考 )函数 y 12x2 ln x 的单调递减区间为 ( ) A ( 1,1 B (0,1 C 1， ) D (0， ) 【解析】 由题意知，函数的定义域为 (0， )，又由 y x 1x0，解得 00,试判断 f(x)在定义域内的单调性 ; ( )若 f(x)在 1,e上的最小值为32,求 a 的值 ; (III)若2f(x) x在 (1,+)上恒成立 ,求 a 的取值范围 【答案】解 (I)由题意知 f(x)的定义域为 (0,+ ), 且 f (x)=1x+ax2=x ax2 a
3、0, f (x)0, 故 f(x)在 (0,+ )上是单调递增函数 (II)由 (I)可知 ,f (x)=x ax2 . 若 a -1,则 x+a 0,即 f (x) 0 在 1,e上恒成立 , 此时 f(x)在 1,e上为增函数 , f(x)min=f(1)=-a=32, a=-32(舍去 ) 若 a -e,则 x+a 0,即 f (x) 0 在 1,e上恒成立 , 此时 f(x)在 1,e上为减函数 , f(x)min=f(e)=1-ae=32, a=-e2(舍去 ) 若 -e0, f(x)在 (-a,e)上为增函数 , f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32, a=- e.
4、综上所述 ,a=- e ( ) f(x)0, axln x-x3 令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g (x)=1+ln x-3x2, h (x)=1x-6x=1 6x2x . x (1,+ )时 ,h (x)0, h(x)在 (1,+ )上是减函数 . h(x)h(1)=-20,即 g (x)0, g(x)在 (1,+ )上也是减函数 . g(x)g(1)=-1, 当 a -1 时 ,f(x)x2 在 (1,+ )上恒成立 21. (14 分 )(2014淄博模拟 )已知 f(x) ax ln x， a R. (1)当 a 2 时，求曲线 f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程；
5、 (2)若 f(x)在 x 1 处有极值，求 f(x)的单调递增区间； (3)是否存在实数 a，使 f(x)在区间 (0， e的最小值是 3？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 (1)由已知得 f(x)的定义域为 (0， )， f(x) ax ln x， f(x) a1x， 当 a 2 时， f(x) 2x ln x， f(1) 2， f(x) 21x， f(1) 211 1 .(2 分 ) 曲线 f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 2 f(1)(x 1)，即 x y 1 0.(4 分 ) (2)f(x)在 x 1 处有极值， f(1) 0，由 (1)知 f(1) a
6、1，a 1，经检验， a 1 时 f(x)在 x 1 处有极值 (6 分 ) f(x) x ln x，令 f(x) 11x 0，解得 x 1 或 x 0; f(x)的定义域为 (0， )， f(x) 0 的解集为 (1， )，即 f(x)的单调递增区间为 (1， ) (8 分 ) (3)假设存在实数 a，使 f(x) ax ln x(x (0， e)有最小值 3， 当 a0 时， x (0， e， f(x) 0， f(x)在 (0， e上单调递减， f(x)min f(e) ae 1 3，解得 a4e(舍去 ) (10 分 ) 当 01a e 时， f(x)在 0， 1a 上单调递减，在 1a， e 上单调递增， f(x)min f 1a 1 ln a 3，解得 a e2，满足条件 (12分 ) 当1ae时， x (0， e， f(x) 0， f(x)在 (0， e上单调递减， f(x)min f(e) ae 1 3，解得 a4e(舍去 ) 综上，存在实数 a e2，使得当 x (0， e时， f(x)有最小值 3.(14 分 )
