概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案.doc

1、0第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点 落在矩形域 的概率为),(YX,2121yx.)(),(122 FyxFyx2、 的分布函数为 ，则 0 .),( ,3、 的分布函数为 ，则YX),(yx)(yx),(x4、 的分布函数为 ，则),(F,FX5、设随机变量 的概率密度 为),(，则 .其042,6),( yxyxkyxf k816、随机变量 的分布如下，写出其边缘分布.),(YX7、设 是 的联合分布密度， 是 的边缘分布密度，则 1 .),(yxfYX, )(xfX )(xfX8、二维正态随机变量 ， 和 相互独立的充要条件是参数 0 .)(Y0 1 2 3 jP1 0

2、830 863 0 0 12iP83819、如果随机变量 的联 合概率分布为),(YXY1 2 31 6982 3则 应满足的条件是 ；若 与 相互独立，则 ， . , XY184210、设 相互独立， ，则 的联合概率密度YX)1.0(),(N),(， 的概率密度 .),(yxf21yxeYZZf42xe12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =_1_。 yxxyxAyxF 0 0,11, 222二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字 1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为 ，第二次取的球上标的数字 ，求 的联合分布律.XY)

3、,(X解： 031,YP21,X32YP2、三封信随机地投入编号为 1,2,3 的三个信箱中， 设 为投入 1 号信箱的信数， 为投入 2XY号信箱的信数，求 的联合分布律.),(X解： 的可能取值为 0,1,2,3 的可能取值为 0,1,2,3Y310,YP3,0P32,0CYXP X Y 1 21 0 32231,0YXP30,1YXP321,YXP32, 30,2C31,Y02,Y,Y0XP 03,2,313XPXPXP0 1 2 30 27711 36202 0 03 70 0 03、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的

4、1201yx联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 2， 0 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)= 1 1 1 + 0 = 1 0故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。4、设 ，有0)(,)(dxgxg且 其 它,0,0)(2),( 22yxxyxgyxf 证明： 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。),(yf证明：易验证 ，又,xf0dxyf),( dxyg02)(020

5、 1)(rrg符合概率密度函数的性质，可以是二 维连续型随机变量的概率密度函数。35、在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求 的值。 0)cos(YXP解： ， 其 它,01),(2yxyxf 0)cos(43)226、设随机变量 的密度函数 为),(YX其00,),()43(yxkeyxfy(1)确定常数 (2)求 的分布函数 (3)求k,( 2,1YXP解：(1) 0)43(1dxedyy 03044 12keekk xyx k(2) y yvu eF0 4)3( )(22),(143yxe ,yx),(y(3) )2,0(),10,()2,10, FFYXP 95.)1

6、(83e7、设随机变量 的概率密度 为,求其020,13/),(2 yxxyyxf 1YXP解： 1102)3(),(yx xdydfYXP03276548、设随机变量 在矩形区域 内服从均匀分布，),(YX ,|),(dycbxayD(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量 是否独立？YX4解：(1)根据题意可设 的概率密度为),(YX其0,),( dycbxaMyxf badc cadf )(,1于是 ，故)(1cab其0,)/1),( dycbxdyxf dcX abcabyxff )(,)(即 其01)(abfX baY cdxdxyfyf 1)(),()(即 其0/1)

7、(cfY(2)因为 ，故 与 是相互独立的 .)(,yfxfyfYXX9、随机变量 的分布函数 为 求：),(Y其 它,00,31, yxFyyx（1）边缘密度；（2）验证 X,Y 是否独立。解：（1） ， )3(ln),( yxxyF ,3ln),(22 yxyx.0其 它 0,3ln),(2 yxyxf yx5,其 它003ln3ln)(2 xdyxf xX 其 它,ll)(2 yf yxY(2) 因为 ，故 与 是相互独立的 .)(),(yfxfyfYXX10、一电子器件包含两部分，分别以 记这两部分的寿命(以小时记) ，设 的分布函, ),(YX数为 其00,1),( )(01.1.

8、yxeeyxFyyx(1)问 和 是否相互独立？ (2)并求XY 2,YXP解：(1) 01),()0.xex),()1.0yyFyY易证 ，故 相互独立.,xxXYX,(2)由(1) 相互独立, 120120120120 YPXPPYP9.)()(1 42eFYX11、设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 求：( 1 ) FxyABarctgxCarcty(,)()(23系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。解：( 1 ) F)1C(,()0B)26由 此 解 得 ABC122,( 2 ) ,)()xyxy6

9、49212、设 相互独立且分别 具有下列表格所定的分布律,YX试写出 的联合分布律.),(YX解： X210 21186461 12812313、设 相互独立，且各自的分布律如下：YX,求 的分布律.YXZ解： ,210kPkq的分布律为YXZ ,210iqPiZki的全部取值为 2,3,4 41,2 YXPY211 3kP4210 21kP4331 2k Y1 2kP71,2,13YXPYXPZ2124,414、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为021)(xexfxX 031)(yeyfyY求 的密度函数.YZ解： 的密度函数为 ，dxZfxZfYX)()(由于 在 时有非零值， 在 即 时有非零值，)(xfX0Y0故 在 时有非零值ZYxZxZxZ dedef0 0633211)()(63063ZZxe当 时，)f故 001()(63ZefZZ