1、【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数P1F2, 这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦)2(211FaPF点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；)(2121PP21F若 ，则动点 的轨迹无图形FF(二)椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。标准方程 12byax)0(a 12bxay)0(ba图形焦点 ，)0,(1cF),(2 ，),0(1cF),(2焦距 范围 ，axby，bxay对称性 关于 轴、 轴和原点对称xy顶
2、点 ，)0,(),( ，),0(),(性质轴长 长轴长 , = ，短轴长 , =12Aa12Bb离心率 ， 22bac(01)ceea()b（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数 a 与 b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c 都大于零，其中a 最大且 a =b 2+c .2. 方程 AxByC表示椭圆的充要条件是：ABC0，且 A，B，C 同号，AB。AB 时，焦点在 y 轴上，AB 时，焦点在 x 轴上。(三)焦点三角形的面积公式： 如图：12tanPFSb椭圆标准方程为: ，椭圆焦点三
3、角形：设 P 为椭圆上任意一12byax)0(ba点， 为焦点且 ，则 为焦点三角形，其面积为 。12,F12FP12FP12tanFSb(四)通径 ：如图：通径长 bMNa椭圆标准方程: ，12byax)0(五)点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上0,)Pxy20xy0(,)Pxy 1；20ba（3）点 在椭圆内0(,)Pxy201xyab(六)直线与椭圆的位置关系：MNF xy设直线 l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆 （ab0） ，联立组成方12yx程组，消去 y(或 x)利用判别式的符号来确定：（1）相交： 直线与椭圆相交；（2）相切： 直线与椭圆相切；0（
4、3）相离： 直线与椭圆相离；(七)弦长公式：若直线 AB: 与椭圆标准方程: 相交于两点 、ykxb12byax)0(a1(,)Axy，2(,)Bx把 AB 所在直线方程 y=kx+b，代入椭圆方程 整理得：12byaxAx2+Bx+C=0。弦长公式： （含 x 的方程）2121221 4)(xxkxkAB ak2 = （含 y2121221 )(yyky 2k的方程） （八）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。222212212 12001121212122121 0, 1()ABxyabyx xyAxyxyababxAByxxyyabbyA设 是 椭 圆
5、上 不 重 合 的 两 点 ，则 ，两 式 相 减 得所 以 ，直 线 的 斜 率 k， M， 是 线 段 的 中 点 坐 标 ，AB式 可 以 解 决 与 椭 圆 弦 的 斜 率 及 中 点 有 关 的 问 题 ，此 法 称 为 点 差 法 (设 而 不 求 ) 椭圆标准方程: ，以 为中点的弦所在直线的斜率12byax)0(ba0(,)Mxy；2OMkA 椭圆标准方程: ，以 为中点的弦所在直线的斜率12bxay)(0(,)xy2OMkA斜率为 k 的弦的中点轨迹方程：设弦 PQ 的端点为 P(x1，y )，Q(x 2，y )，中点为M（x 0，y ） ，把 P，Q 的坐标代入椭圆方程后作
6、差相减用中点公式和斜率公式可得2ba（椭圆内不含端点的线段） 。【考点指要】在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的 15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共 2 道题，解答题 1 道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。曲线的应用问题，探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。
