1、 泰勒公式及其应用常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数 ，想找多项式 来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 如：在某点处的值与导数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似所产生的误差 。【问题一】设 在含 的开区间内具有直到 阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式近似 ?【
2、问题二】若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么?一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数 。上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：于是， 所求的多项式为：(2)二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数，则当 时， 可以表示成这里 是 与 之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：这表明：只要对函数 及 在 与 之间反复使用 次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以 与 为端点的区间 或 记为 ， 。函数 在 上具有直至 阶的导数，且 函数 在 上有直至 阶的非零导数，且 于是，对函数 及 在 上反
3、复使用 次柯西中值定理，有三、几个概念1、此式称为函数 按 的幂次展开到 阶的泰勒公式；或者称之为函数 在点 处的 阶泰勒展开式。当 时， 泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。2、对固定的 ，若 有 此式可用作误差界的估计。故 表明： 误差 是当 时较 高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若 ，则 在 与 之间，它表示成形式 ，泰勒公式有较简单的形式 麦克劳林公式近似公式误差估计式【例 1】求 的麦克劳林公式。解： ，于是 有近似公式 其误差的界为 我们有函数 的一些近似表达式。(1)、 (2)、 (3)、在 matlab 中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。【例 2】求 的 阶麦克劳林公式。解：它们的值依次取四个数值 。其中： 同样，我们也可给出曲线 的近似曲线如下，并用 matlab 作出它们的图象。【例 3】求 的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。解：于是： 利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例 4】利用泰勒展开式再求极限 。解： ， 【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为 ，从而当 时， ，应为 【例 5】利用三阶泰勒公式求 的近似值， 并估计误差。解：故：
