“叉形线”在解题中的应用等论文.doc

1、奇 妙 的 数虽然人们对数学已有了很深的研究，但数学却仍无时无刻不带给我们惊喜，无意之中，我发现了一个有趣的规律：请看下面几组等式：（1）31.5；31.5=4.5（2）51.25=6.25；51.25=6.25（3）91.25=10.125；91.125=10.125（4）171.0625=18.0625；171.0265=18.0625（5）331.03125=34.03125；331.03125=34.03125（6）651.015625=66.015625；651.015625=66.015625（7）1291.0078125=130.0078125；1291.0078125=130.

2、007812不难发现，如果设第一个数为 a，第二个数 b, 则有 ab=ab则数列 1，3，5，9，17，的通项可写成 ab=12 n 数列 1.5 ,1.25 ，1.125 ，1.0625的通项可写成 bn=1 1这时我们可以看到原因很简单，因为（12 n）(1 )=（12 n）(1 )显然是成立的。nn21从而可将其推广到由（1m n）(1 )=（1m n）(1 )得出许多这样奇妙的n1数组。数学的美丽，数学的惊喜是存在的，就看我们是否善于发现。湖北钟祥 柳成兵“叉形线”在解题中的应用解析几何中常遇到两直线相交的问题，我发现这类问题可以把两相交直线看着一个曲线，以下称为“叉形线” 。它的曲

3、线方程是什么呢？一般地，如果直线 A1B 1yC 1=0 与直线 A2B 2yC 2=0 相交，则形成的“叉形线”的方程为（A 1B 1yC 1） （A 2B 2yC 2）=0 且是二次曲线。下面用例子来说一下它的应用。例 1、一条直线 L 被两条直线 4xy6=0 和 3x5y6=0 截得的线段中点恰好是坐标原点，则求直线 L 的方程。解：设 L: y=kx(k 显然存在)联立“叉形线”：（4xy6）(3x5y6)=0 得（1217k5k 2）x 2(636k)x36=0设 L 与“叉形线”相交于点（x 1,y1）,(x 2,y2)则有=0 即 636k=0 , 所以 k= ，故 L 方程为

4、 y= x21661例 2、过点 M（2，1）作直线 L，交 x ,y 轴正半轴于 A、B 两点，求|MA|MB|的最小值。分析与解：可设直线参数方程 （ ）sin1co2ty把两坐标轴看作“叉形线” ，其方程为 xy=0，联立直线方程得 t2sin cos t(2sincos )2=0 其中方程的两解对应于直线与坐标轴的两交点，设 MA=t1, MB=t2即方程的两根|MA|MB|=|t1|t2|= =|cosin|2in4当 = 时，|MA|MB|的最小值为 4。43实际上， “叉形线”也应是圆锥曲线的一种，当一平面过两相对圆锥顶点时得到的就是两相交直线形成的曲线即“叉形线” 。如果把它和

5、椭圆，抛物线等一样应用，那将是一片新天地吗？湖北钟祥 柳成兵例谈数学思想和方法的教学湖北钟祥 柳成兵知识的记忆是暂时的，但数学的精神、思想和方法，以及由此而获得的能力是永存的。所谓数学思想、带有思想、观点的属性，是从具体的数学知识和对数学的认识过程中提炼、升华，在更高层次上抽象和概括的一种隐性的更本质的知识内容，具有宏观的指导意义，是用以建立数学和用数学解决问题的指导思想和数学意识。中学阶段，特别是高考中涉及的主要数学思想有：数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归的思想。所谓数学方法是数学思想的具体表现，因而指的是适用面宽广的数学基本方法，即通性通法，具有模式化和可操作性的特征，

6、用作解题的手段，如消元降幂法、配方法、换元法、待定系数法，数学归纳法、参数法，构造法、几何变换法等。学生在做数学题中领悟、体验数学思想方法，教师在分析和处理问题的过程中揭示、强化数学思想方法，我们应不失时机，启发学生用数学的大脑去观察、分析、处理问题，揭示其数学思想方法，配合学生的体验，逐步强化，使之成为一种意识。请看下面一个例子：例 1、 P 是双曲线 =1(a0,b0)左支上一点。 F1 ， F2分别在左、右焦2axby点，焦距为 2C，则PF 1F2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A、a B、b C、C D、abc分析：在双曲线左支上随便取一点 P（x 0,y0）计算，将不胜其繁，也是缺乏数

7、学头脑的表现。观察选项的特征，均为定值。据此，可将问题特殊化。取双曲线的左正焦弦的上端点为 P，此时PF 1F2为直角三角形，PF 1F2=900，结合图形，只需求出内切圆半径即可。内切圆半径 r= (|PF1|F 1F2|PF 2|),由双曲线的定义，|PF 2|PF 1|=2a，又|F1F2|=2c， r= （2c2a）=ca，故内切圆圆心的横坐标为c(c-a)=a, 选1A。特殊化处理起来竟如此轻松。极限化则更为巧妙，当点 P 在左支上向左顶点 A1运动时，PF 1F2的内切圆逐渐变小，当点 P 无限趋近于 A1时，其内切圆的极限位置可看作与线段 A1F1，A 1F2，F 1F2同时“相

8、切” ，从而这个内切圆退缩为一个点 A，它的横坐标为a.特别在复习阶段对数学思想方法进行梳理、总结，逐步做到自觉性，灵活地施用所要解决的问题。显得特别重要。例 2、设 f(x)=ax28x3（a0）,对于给定的负数 a,有一个最大正数 L(a),使得在整个区间0,L(a)上，不等式|f(x)|5 都成立，同 a 为何值时 L(a)最大？求出这个最大值 L(a)，证明你的结论。分析：解决这一问题，对学生数学素质的要求较高，包括阅读理解和用数学的思想和方法去分析和处理问题。首先，区间0，L(a)的左端是固定的，而右端点是变动的。目的是要使得在整个区间上恒有5f(x)5,区间的长度 L(a)最大为多

9、少？自觉施用数形结合的思想方法，借助图形的直观可以帮助我们进一步理解这个问题。抛物线开口向下，经配方，f(x)=a(x )23 ,其顶点（ ，3 ）是否在直a416a416线 y=f(x)=5 上方，直接影响到满足题设条件的区间的长度，因而又需分类讨论。（1）当 3 5 即8a0 时，区间的右端点不能超过 y=f(x)与直线 y=5 的左6交点的横坐标。L(a)是方程 ax28x3=5 的较小根，即 L(a)= = a2864421a=421（2）当 3 5 即 a8 时，区间的右端点不能超过 y=f(x)与直线 y=5 的右交6点的横坐标L(a)是方程 ax28x3=5 的较大根，即 L(a)= = = ,当且仅当 a=8 时a2364824a0215等号成立。由于 ，因此当且仅当 a=8 时，L(a) max= 。15数形结合的思想，使得我们对讨论的问题了如指掌，化解了理解题意的困难；分类讨论并转化为方程来求解，既是重要的思维程序，也是实施时的具体操作程序。数学思想方法的指导在本题得到了充分的体现。数学的思想和方法，以及由此而形成的数学的精神、观点和态度，是数学知识内容的精髓，不仅关系到眼前的学习、解题和应试，而且作为一种素养，作为一种文化，使人受益终身。