1、 第四章 整环里的因式分解 1. 素元、唯一分解 本讲中 , 总假定 为整环 , 为 的商域 . 1. 整除 定义 1 设 D 为整环 , Dba , , 如果存在 Dc , 使得 则称 整除 , 记作 ; 并称 是 的一个 因子 , 是 的 倍元 . 整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广 , 因此有许多与整数的整除相类似的性质 . 整除有下列常用的性质 : (1) 如果 , , 则 ; (2) 如果 , , , 则 . 2.相伴 定义 2 整环 D 的一个元 叫做 D 的一个单位，假如 是一个有逆元的元 。 元 叫做元 的相伴元，假如 是 和一个单位 的乘积：定理 两个单位的乘积也是一个
2、单位 .单位 的逆元 也是一个单位 . 例 因为整数环 的单位仅有与 -，故任一非零元 有个相伴元： 与 a . 例 有四个单 位 ， -， i,-i,所以任一非零元 ，有四个相伴元： 定义 3 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因子 .若 还有别的因子，则称为 的真因子 . . 素 元 定义 4 设 D 为整环， Dp ，且 既非零也非单位，如果 只有平凡因子，则称 为一个素元 . 定理 单位 与素元 的乘积 也是一个素元 . 定理 整环中一个非零元 有真因子的充分且必要条件是： ，这里 ， 都不是单位 . 推论 设 ，并且 有真因子 ： .则 也是 的真因子 . 定义 5 我们称一个整环 D
3、 的元 在 D 中 有唯一分解，如果以下条件被满足： (i) ( 为 D 的素元 ) (ii) 若同时有 （ 为 的素元） 则有 ，并且可以调换 的次序，使得 （ 为 的单位） 整环的零元和单位不能有 唯一的分解 .所以唯一分解问题研究的对象只能是非零也非单位的元 . 例 给整环 .那么有： (1) 的单位只有 . (2)适合条件 的元 一定是素元 . 首先 ， ；又由 (1), 也不是单位 .设 为 的因子： 那么 但不管 ， 是何整数， 或 若 ，则 是单位 .若 ，则 而 为单位 .因而 是 的相伴元 .从而 只有平凡因子，故 是素元 . (3) 没有唯一分解：我们有 (A) , 故由
4、(2),2, 都是 的素元 .由 (1), 都不是的相伴元，因而 给出了的两种不同分解从而没有唯一分解 . 这说明并不是任意整环 中的非零和非单位的元都有唯一分解 . $2. 唯一分解环 定理 一个唯一分解环有以下性质： 若一个素元 能够整除 ，则有 整除 或 . 定理 做定整环 有如下性质： (i) 的每一个非零非单位的元 都有一个分解 . （ 为 的素元） (ii) 的一个素元 若能够整除 ，则有 整除 或 ，则 一定是一个唯一分解环 . 定义 6 元 叫做 的公因子，如果 . 定理 一个唯一分解环 的两个元 和 在 里一定有最大公因子 . 和 的两个最大公因子 和 只能差一个单位因子：
5、（ 是单位 ). 推论 一个唯一分解环 的 个元 在 里一定有最大公因子 . 的两个最大公因子只能差一个单位因子 . 定义 一个唯一分解环的元 称为互素的，如果它们的最大公因子是单位 . $3. 主理想环 引理 设 是 一个主理想环 .若在序列 里的每一个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列 . 引理 设 是一个主理想环，那么 的任一素元 生成一个最大理想 . 定理 一个主理想环 是一个唯一分解环 . 证：我们证明 是一个唯一分解环 . 设 且 不是零也不是单位 .若 不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由 $ .的推论， 都是 的真因子 . 的这两个真因子中至少有一个
6、不能写成素元的乘积，否则 就是素元的乘积而与假设矛盾 .于是有这样的结论；若 没有分解，则一定 有一个真因子 也没有分解 .这样，在 没有分解的假设之下，就得到一个无穷序列 在此序列中每一个元都是前一个元的真因子 .依照引理，这是不可能的，所以 一定有分解 .即满足 $ .定理中的条件 (i). 又设 的素元 能整除 的元 乘积 ，那么 这就是说在剩余类环里 ， 所代表的类与 o 所代表的类相同： 由引理， 是最大理想，因而由 $ .的定理， 是一个域 .因为域没有零因子，所有由上面等式有 或 即有 或 亦即 或 从而 或 ，故也满足 $ .定理的条件 (iii).因而 是一个唯一分解环 .
7、$4. 欧氏环 定义 一个整环 叫做一个欧氏环，如果 (i)有一个从 的非零元所作成的集合 到全体非负整数作成的集合的映射存在； (ii)任意给定的一个非零元 ， 的任何元 都可以写成 的形式，这 里有 或 例 整数环是一个欧氏环 .因为： 定理 是一个适合条件 (i)的映射并且任意给定整数 ，则任何整数都可写成 这里 或 上面定义中的映射 称为欧氏映射 . 定理 每一个欧几里德环都是主理想整环 , 因而也是唯一分解环 . 证明 设 为欧几里德环 的任一理想 , 为欧氏映射 . (1) 如果 , 则 . (2) 如果 , 令 则 非空 , 且 . 设 , 使得 为 中的最小数 , 下证 . 任
8、给 , 因为 , 所以存在 , 使得 . 于是 , . 如果 , 则 , 与 的选取矛盾 . 所以 , , 则 , 于是 . 由 的任意性可知 . 又 , 所以 , 从而 . 这就证明了 , 的任一理想都是主理想 , 故 为主理想整环 . 定理 整数环是主理想，因而是唯一分解环 . 定理 一个域 上的一元多项式 是一个欧氏环 .因而是一个唯一分解环 . $ . 多项式环的因子分解 本章讨论唯一分解环 上的一元多项式环 .我们称 的素元 即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多项式 . 定义 的一个元 叫做一个本原多项式，如果 的系数的最大公因子是单位 . 我们有如下结论： (A) 的单位是 的仅有的单位 . (B)一个本原多项式不会等于零 . (C)若本原多项式 可约，那么 且有 （ 表示 的次数） 引理 1 设 ，那么 是本原多项式的充分且必要条件是 和 都是本原多项式 .
