1、直线的 一般式 方程 及综合 【学习目标】 1 掌握直线的一般式方程 ; 2 能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处 ; 3 能利用直线的一般式方程解决有关问题 . 【 要点梳理 】 要点 一 : 直线方程的一般式 关于 x和 y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为 Ax+By+C=0, 这个方程 (其中 A、 B 不全为零 )叫做直线方程的一般式 要点诠释: 1 A、 B不全为零才能表示一条直线,若 A、 B全为零则不能表示一条直线 . 当 B0时, 方程 可变形为 ACyxBB ,它表示过点 0, CB,斜率为 AB 的直
2、线 当 B=0, A0时,方程 可变形为 Ax+C=0,即 Cx A ,它表示一条与 x轴垂直的直线 由上可知,关于 x、 y的二元一次方程,它都表示一条直线 2在平面直角坐标系中,一个关于 x、 y的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可以对应着无数个关于 x、 y的一次方程(如斜率为 2,在 y轴上的 截距为 1的直线,其方程可以是 2xy+1=0 ,也可以是 11022xy ,还可以是 4x2y+2=0 等 ) 要点 二:直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表: 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 yy 1=k(xx 1) ( x1, y
3、1)是直线上一定点, k是斜率 不垂直于 x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率, b是直线在 y轴上的截距 不垂直于 x轴 两点式 112 1 2 1y y x xy y x x ( x1, y1),( x2, y2)是直线上两定点 不垂直于 x轴和 y轴 截距式 1xyab a 是直线在 x 轴上的非零截距, b 是直线在 y轴上的非零截距 不垂直于 x轴和 y轴,且不过原点 一般式 Ax+By+C=0( A2+B20) A、 B、 C为系数 任何位置的直线 要点诠释: 在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率,两点式是点斜式的特
4、例,其限制条件更多( x1x2, y1y2),应用时若采用(y2y 1)(xx 1)(x 2x 1)(yy 1)=0 的形式,即可消除局限性 截距式是两点式的特例,在使用截距式时,首先要判断是否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件 直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式 一般式常化为斜截式与截距式 若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的方程也不同 要点 三:直线方程的综合应用 1 已知所求 曲线是直线 时,用 待定系数法 求 2 根据 题目所给条件, 选择适当的直线方程的形式,求出直线方程 对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同 ,考虑的方向也不同 ( 1)
5、 从斜截式考虑 已知直线 111 : bxkyl , 222: bxkyl , 1 2 1 2 1 2 1 2/ / ( )l l k k b b ; 1 2 1 2 1 2 1 1 221ta n c o t 12l l k k kk 于是与直线 y kx b平行的直线可以设为 1y kx b;垂直的直线可以设为21y x bk ( 2) 从一般式考虑: 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 , : 0l A x B y C l A x B y C 1 2 1 2 1 20l l A A B B 1 2 1 2 2 1/ 0l l A B A B 且 1 2 2 1 0AC A C或 1 2
6、 2 1 0BC B C,记忆式( 1 1 12 2 2ABC) 1l 与 2l 重合, 1 2 2 1 0AB A B, 1 2 2 1 0AC A C, 1 2 2 1 0BC B C 于是与直线 0Ax By C 平行的直线可以设为 0Ax By D ;垂直的直线可以设为0Bx Ay D . 【典型例题】 类型一:直线的一般式方程 例 1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程 ( 1)斜率是 12 ,经过点 A( 8, 2 ); ( 2)经过点 B( 4, 2),平行于 x轴; ( 3)在 x轴和 y轴 上的截距分别是 32 , 3 ; ( 4)经过两点 P1( 3, 2 ),
7、 P2( 5, 4 ) 【答案】 ( 1) x+2y4=0 ( 2) y2=0 ( 3) 2xy3=0 ( 4) 10xy 【解析】 ( 1)由点斜式方程得 1( 2 ) ( 8)2yx ,化成一般式得 x+2y4=0 ( 2)由斜截式得 y=2,化为一般式得 y2=0 ( 3)由截距式得 13 32xy,化成一般式 得 2xy3=0 ( 4)由两点式得 234 ( 2) 5 3yx , 化成一般式方程为 10xy 【总结升华】 本题主要是让学生体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线方程的一般式,一般作如下约定: x的系数为正, x, y的系数及常数项一般不出现分数,一般
8、按含 x项、 y项、常数项顺序排列 求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式 举一反三: 【变式 1】 已知直线 l 经过点 (3, 1)B , 且 倾斜角是 30 ,求直线的点斜式方程和一般式方程 . 【 答 案 】 31 ( 3)3yx 3 3 3 3 3 0xy 【 解析 】 因为直线 倾斜角是 30 ,所以直线的斜率 3ta n ta n 3 0 3k ,所以直线的点斜式方程为: 31 ( 3)3yx ,化成一般式方程为: 3 3 3 3 3 0xy . 例 2 ABC 的一个顶点为 ( 1, 4)A , B 、 C 的平分线在直线 10y和 10xy 上,求直线 BC
9、的方程 . 【答案】 2 3 0xy 【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ,所以可得 A点关于 B 的平分线的对称点 A 在 BC上, B点关于 C 的平分线 的对称点 B 也在 BC上 写出直线 AB 的方程,即为直线 BC的方程 . 例 3 求与直线 3x+4y+1=0平行且过点( 1, 2)的直线 l 的方程 【答案】 3x+4y11=0 【解析】 解法一:设直线 l 的斜率为 k, l 与直线 3x+4y+1=0平行, 34k 又 l 经过点( 1, 2),可得所求直线方程为 32 ( 1)4yx ,即 3x+4y11=0 解法二:设与直线 3x+4y+
10、1=0平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0, l 经过点( 1, 2), 31+42+m=0,解得 m=11 所求直线方程为 3x+4y11=0 【总结升华】 ( 1)一般地,直线 Ax+By+C=0中系数 A、 B 确定直线的斜率,因此,与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0,这是常采用的解题技巧 我们称 Ax+By+m=0是与直线 Ax+By+C=0平行的直线系方程 参数 m 可以取 mC 的任意实数,这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线 当m=C 时, Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合 ( 2)一般地,经过点 A( x0,
11、 y0),且与直线 Ax+By+C=0平行的直线方程为 A(xx 0)+B(yy 0)=0 ( 3)类似地有: 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 BxAy+m=0 ( A, B不同时为零) 举一反三: 【变式 1】 已知直线 1l : 3mx+8y+3m-10=0 和 2l : x+6my-4=0 .问 m为何值时 : ( 1) 1l 与 2l 平行( 2) 1l 与 2l 垂直 . 【答案】( 1) 23m ( 2) 0m 【 解析 】当 0m 时, 1l : 8y-10=0; 2l : x-4=0, 12ll 当 0m 时, 1l : 3 1 0 388mmyx ; 2l :
12、 1466yxmm 由 3186m m ,得 23m ,由 10 3 486m m 得 2833m 或 而 31( ) ( ) 186m m 无解 综上所述( 1) 23m , 1l 与 2l 平行 ( 2) 0m , 1l 与 2l 垂直 【变式 2】 求经过点 A( 2, 1),且与直线 2x+y10=0 垂直的直线 l 的方程 【答案】 x 2y=0 【 解析 】 因为直线 l 与直线 2x+y10=0 垂直,可设 直线 l 的方程为 20x y m ,把点 A( 2, 1)代入直线 l 的方程得: 0m ,所以直线 l 的方程为: x 2y=0 类型二 : 直线与坐标轴形成三角形问题
13、例 4已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 35 ,且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的方程 【思路点拨】 知道直线的倾斜角就能求出斜率,进而引进参数 直线在 y 轴上的截距 b,再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6,便可求出 b也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6,设截距式直线方程,从而得出 1| | 62 ab ,再根据它的斜率已知,从而得到关于 a, b的方程组,解之即可 【答案】 3 34yx或 3 34yx 【 解析 】 解法一:设 l 的倾斜角为 ,由 3sin 5 ,得 3tan 4 设 l 的方程为 34y x b ,令 y=0,得 43xb 直线
14、l 与 x轴、 y轴的交点分别为 4 ,03b,( 0, b) 21 4 2| | 62 3 3S b b b ,即 b2=9, b=3 故所求的直线方程分别为 3 34yx或 3 34yx 解法二:设直线 l 的方程为 1xyab,倾斜角为 ,由 3sin 5 ,得 3tan 4 1 | | | | 6234abba ,解得 43ab 故所求的直线方程为 143xy 或 143xy 【总结升华】 ( 1)本例中,由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面积(与截距有关),因而可选择斜截式直线方程,也可选用截距式直线方程,故有 “题目决定解法 ”之说 ( 2) 在求直线方
15、程时,要恰当地选择方程的形式,每种形式都具有特定的结论,所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决 例如:已知一点的坐标,求过这点的直线方程,通常选用点斜式,再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距;已知截距或两点,选择截距式或两点式 在求直线方程的过程中,确定的类型后,一般采用待定系数法求解,但要注意对特殊情况的讨论,以免遗漏 举一反三: 【变式 1】 ( 2015春 启东市期中)已知直线 m: 2x y3=0 , n: x+y3=0 ( 1)求过两直线 m, n交点且与直线 l: x+2y1 =0平行的直线方程; ( 2)求过两直线 m, n交点且与两坐标轴围成面积为 4的直
16、线方程 【思路点拨】 ( 1)求过两直线 m, n交点坐标,结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l: x+2y1=0平行的直线方程; ( 2)设出直线方程,求出直线和坐标轴的交点坐标,结合三角形的面积公式进行求解即可 【答案】 ( 1) x+2y4=0 ;( 2) 【解析】 ( 1)由 2 3 030xyxy ,解得 21xy , 即两直线 m, n交点坐标为( 2, 1), 设与直线 l: x+2y1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0, 则 2+21+c=0,解得 c=4 , 则对应的直线方程为 x+2y4=0 ; ( 2)设过( 2, 1)的直线斜率为 k,( k0), 则对应的直线
17、方程为 y1= k(x2) , 令 x=0, y=12 k,即与 y轴的交点坐标为 A( 0, 12 k) 令 y=0,则 1 2 12 kx kk ,即与 x轴的交点坐标为 21( ,0)kB k , 则 AOB的面积 121| | 1 2 | 42 kSkk , 即 2(2 1) 8kk, 即 24 4 8 1 0k k k , 若 k 0,则方程等价为 24 12 1 0kk , 解得 3 2 22k 或 3 2 22k , 若 k 0,则方程等价为 24 4 1 0kk , 解得 12k 综上直线的方程为 11 ( 2)2yx ,或 3 2 21 ( 2 )2yx ,或 3 2 21
18、( 2 )2yx 即 1 22yx ,或 3 2 2 2 2 22yx ,或 3 2 2 2 2 22yx 类型三:直线方程的实际应用 例 6 ( 2015春 湖北期末)光线从点 A( 2, 3)射出,若镜面的位置在直线 l: x+y+1=0上,反射光线经过 B( 1, 1),求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A到 B所走过的 路线长 【思路点拨】 求出点 A 关于 l 的对称点,就可以求出反射光线的方程,进一步求得入射点的坐标,从而可求入射光线方程,可求光线从 A到 B所走过的路线长 【答案】 41 【解析】 设点 A关于 l的对称点 A( x0, y0), AA被 l垂直平分
19、, 000023 10223 12xyyx ,解得 0043xy 点 A( 4 , 3 ), B( 1, 1)在反射光线所在直线上, 反射光线的方程为 341 3 1 4yx ,即 4x5 y+1=0, 解方程组 4 5 1 010xyxy 得入射点的坐标为 21( , )33 由入射点及点 A的坐标得入射光线方程为1233123233yx,即 5x4 y+2=0, 光线从 A到 B所走过的路线长为 22| | ( 4 1 ) ( 3 1 ) 41AB 【总结升华】 本题重点考查点关于直线的对称问题,考查入射光线和反射光线,解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分 举一 反三: 【变式 1
20、】 ( 2016春 福建厦门期中)一条光线从点 A( 4, 2)射出,到直线 y=x上的 B点后被直线 y=x反射到 y轴上的 C点,又被 y轴反射,这时反射光线恰好过点 D( 1, 6)求 BC所在直线的方程 【答案】 10x 3y+8=0 【解析】 如图, A( 4, 2), D( 1, 6), 由对称性求得 A( 4, 2)关于直线 y=x的对称点 A( 2, 4), D关于 y轴的对称点 D( 1, 6), 则由入射光线和反射光线的性质可得:过 A D的直线方程即为 BC所在直线的方程 由直线方程的两点 式得: 426 4 1 2yx 整理得: 10x 3y+8=0 例 7 如图,某房
21、地产公司要在荒地 ABCDE上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢 8层的公寓,如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积 (精确到 1 m2) 【答案】 6017 【 解析 】 建立坐标系,则 B( 30, 0), A( 0, 20) 由直线的截距方程得到线段 AB 的方程为 130 20xy( 0x30) 设点 P 的坐标为( x, y),则有 220 3yx 公寓的占地面积为 2( 1 0 0 ) ( 8 0 ) ( 1 0 0 ) ( 8 0 2 0 )3S x y x x 22 2 0 600033xx ( 0x30) 当 x=5, 503y 时, S 取最大值,最大值为 222 2 05 5 6 0 0 0 6 0 1 7 ( m )33S 即当点 P 的坐标为 50(5, )3 时,公寓占地面积最大,最大面积为 6017 m2 【总结升华】 本题是用坐标法解决生活问题,点 P 的位置由两个条 件确定,一是 A、 P、 B 三点共线,二是矩形的面积最大 借三点共线寻求 x 与 y 的关系,利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法
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