高三一轮复习-万有引力定律及其应用.doc

1、 1 第 五 章 万有引力定律 第一 单元 万有引力定律及其应用 基础知识 一 .开普勒运动定律 (1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 (2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 二 .万有引力定律 (1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比 (2)公式 ： F G221rmm,其中 2211 /1067.6 kgmNG ，称为为有引力恒量。 (

2、3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体 ,r是两球心间的距离 注意： 万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量 G 的物理意义是： G 在数值上等于质量均为 1 千克的两个质点相距 1 米时相互作用的万有引力 三、万有引力和重力 重 力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心

3、力 F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 m2g G221rmm, g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处， g 随物体离地面高度 的增大而减小，即 gh=GM/（ r+h） 2，比较得 gh=（hrr）2 g 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向 和 m2g 刚好在一条直线上，则有 F F 向 m2g， 所以 m2g=F 一 F 向 G221rmm m2R 自 2 因地球目转角速度很小 G221rmm m2R 自 2,所以

4、m2g= G221rmm假设地球自转加快，即 自 变大，由 m2g G221rmm m2R 自 2 知物体的重力将变小，当2 G221rmm=m2R 自 2时， m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度 自 13GmR，比现在地球自转角速度要大得多 . 四 .天体 表 面 重 力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g,天体半径为 R，由 mg=2MmGR 得 g=2MGR ,由此推得两个不同天体表面重力加速度 的关系为 21 2 122 1 2g R Mg R M 五 天体质量和密度的计算 原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力 G2rmM

5、=m224T r，由此可得： M=2324GTr ； =VM =334RM=3223 RGTr （ R 为行星的半径） 由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T，就可以算出天体的质量 M若知道行星的半径则可得行星的密度 规律方法 1、万有引力定律的基本应用 【例 1】 如图所示，在一个半径为 R、质量为 M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为 R/2 的球形空穴后，对位于球心和空穴中 心连线上、与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大？ 分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解 解 完整的均质球体对球外质点 m的引力

6、 这个引力可以看成是： m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1与半径为 R/2 的小球对质点的引力 F2 之和，即 F=F1+F2 因半径为 R/2 的 小 球 质 量 M/ 为MR MRRM 8134234234 333/ ， 则 22/22/82/ Rd MmGRd mMGF 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m的引力 2221 2/8 Rd MmGdMmGFFF 22 22 2/8 287 Rdd RdRdG M m 说明 （ 1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解这是不正确的万有引力存在于宇宙间任何两个物

7、体之间，但计算万有引力的简单公式2rMmGF却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力 （ 2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部3 分对球外质点 m的引力 2222/221 878/ dMmGdmMGdMmGd mMGdMmGFFF 上式表明，一个均质球壳对球外 质点的引力跟把球壳的质量（ 7M/8） 集中于球心时对质点的引力一样 【例 2】某物体在地面上受到的重力为 160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度 a g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为 90 N 时，求此时卫星距地球表面有多

8、远？（地球半径 R 6.4 103km,g 取 10m/s2） 解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h，火箭上物体受到的支持力为 N,物体受到的重力为 mg/，据牛顿第二定律 N mg/=ma 在 h 高处 mg/ 2hRMmG 在地球表面处 mg=2RMmG 把代入得 maRhmgRN 22 1maN mgRh =1.92 104 km. 说明 :在本问题中，牢记基本思路 ,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力 【例 3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是 T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为 T。求该气球此时离海平面的高度

9、 h。把地球看作质量均匀分布的半径为 R 的球体。 解析：根据单摆周期公式： ,200 gLT ,2 gLT 其中 l 是单摆长度， g0和 g 分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得 ,20 RMGg ,)( 2hRMGg 其中 G 是引力常数， M是地球质量。 由以上各式解得 RTTh 10【例 4】 登月火箭关闭发动机在离月球表面 112 km的空中沿圆形轨道运动，周期是 120.5 min,月球的半径是 1740 km,根 据这组数据计算月球的质量和平均密度 解析：设月球半径为 R，月球质量为 M，月球密度为 ，登月火箭轨道离月球表面为 h，运动周期为 T，火箭质量为 m，由 G

10、Mm/r2=m42r/T2得 M=42r3/（ GT2）， =M/V，其中 V=42R3/3，则 F 向 =m 2r=m42（ R+h） /T2， F 引 =GMm/（ R+h） 2，火箭沿轨道运行时有 F 引 =F 向 ，即 GMm/（ R+h） 2= m42（ R+h） /T2 故 M=42（ R+h） 3/（ GT2） 2=7.2 1022kg, =3M/4R3=3.26 103kg/m3 【例 5】 已知火星上大气压是地球的 1/200火星直径约为球直径的一半，地球平均密度 地=5.5 103kg/m3，火星平均密度 火 =4 103kg/m3试求火星上大气质量与地球大气质量之比 分析

11、 包围天体的大气被吸向天体的力就是作用在整个天体表面（把它看成平面时）的大气压力利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比 解 设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为 m 火 、 g 火 、 m 地 、 g 地 ，火星和地球上的大气压分别为 ，Rgmp 24 火 火火火 ，Rgmp 24 地 地地地 据万有引力公式，火星和地球上的重力加速度分4 别为 ，RMGg 2火火火 ，RMGg 2地地地 地地地火火火式中 33 3434 R，MRM 综合上述三式得 火地火地地火地火 RRPPmm 3104.345.5212001 【例 6】 一个宇航员在半径为 R 的

12、星球上以初速度 v0竖直上抛一物体，经 ts 后物体落回宇航员手中为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？ 解析： 物体抛出后，受 恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律设星球对物体产生的“重力加速度”为 gx，则由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。tRvRgv xx 02得 ，这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。 【例 7】 在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。 假设着陆器第一次落到火星表

13、面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为 r，周期为 T。 火星可视为半径为 r0的均匀球体。 分 析：第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星表面的重力加速度 g/。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 g/。 解：设火星的一个卫星质量为 m，任一物体的质量为 m/，在火星表面的重力加速度为 g/，火星的质量为 M。 任一物体在火星表面有 : /20

14、/ gmrMmG 火星的卫星应满足： rTmrMmG 22 2 第一次落到火星 表面弹起在竖直方向满足： v12 2g/h 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理： 2021 vvv 由以上 4 式可解得 20202328 vrT hrv 2、讨论天体运动 规律 的基本思路 5 基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 rfmTmrmrvmrMmG 22222 22 【例 8】 2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经 980的经线在同一平面内若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经 980和北纬 400，已知地球半径 R、地球自转周期

15、 T,地球表面重力加速度 g（视为常数）和光速 c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示） 解析：设 m为卫星质量， M 为地球质量， r 为卫星到地球中心的距离， 为卫星绕地心转动的角速度由万有引力定律和牛顿定律有 22 mrrMmG ， 式中 G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度 与地球自转的角速度相等，有 =2/T；因 mgRMmG 2，得 GM=gR2 设嘉峪关到同步卫 星的距离为 L，如图所示，由余弦定律得： c o s222 rRRrL 所求的时间为 t L/c 由以上各式得 cgTRRRgTRt3 22232224c

16、o s24 【 例 9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为 L，质量分别为 M1 和 M2，试计算：（ 1）双星的轨道半径；（ 2）双星的运行周期；（ 3）双星的线速度。 解析： 因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以 具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。 （ 1）根据万有引力定律 21222121 RRLRMRMF 及 可得： LMM ML ，MM MR 21 1221 21 （ 2）同理，还有2221212 21 2

17、2 RTMRTMLMMG 所以，周期为 2112222122 244 MMG LLGM RLGM RLT （ 3）根据线速度公式 21211 2 MML GMTRv ， 21122 2 MML GMTRv 【例 10】兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：当飞船停留在距 X 星球一定6 高度的 P 点时，正对着 X 星球发射一个激光脉冲，经时间 t1后收到反射回来的信号，此时观察 X 星球的视角为 ，如图所示当飞船在 X 星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为 t2. 已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时间为

18、 t，又已知地球表面重力加速度为 g，万有引力常量为 G，光速为 c，地球和 X 星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求： （ 1） X 星球的半径 R；（ 2） X 星球的质量 M；（ 3） X 星球的第一宇宙速度 v； (4)在 X 星球发射的卫星的最小周期 T. 解析：（ 1)由题设中图示可知： （ R ct1） sin R， R= sin12 sin1ct(2）在 X 星球上以 v0竖直上抛 t2/02gv，在地球上以 v0竖直上抛： tgv02， gttg 1/ ， 又由 /2 mgRMmG ， 22212/2s in14 s in Gt tgt cGgRM（

19、 3） mg Rvm2 s in12 s in2 1/ tg cttRgv，(4）当 v 达第一宇宙速度时，有最小周期 T. s in1 s in22 21 gt tctvRT【例 11】天体运动的演变猜想。在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量在慢慢减小。根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。 【解析】地球在半径为 R的圆形轨道上以速率 v 运动的过程中，引力常数 G 减小了一个微小量，万有 引力公式2rMmGF 引。由于太 阳质量 M,地球质量 m,r 均未改变，万有引力 F 引 必然随之减小，并小于公转

20、轨道上该点所需的向心力 rmv2 （速度不能突变）。由于惯性，地球将做离心运动，即向外偏离太阳，半径 r增大。地球在远离太阳的过程中，在太阳引力的作用下引起速率 v减小，运转周期 vrT 2 增大。由此可以判断，在很久很久以前，太阳系中地球的公转轨道半径比现在小，周期比现在小，速率比现在大。 由引力常量 G 在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大，表 明宇宙在不断地膨胀。 试题展示 1 已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为 390，月球绕地球旋转的周期约为27天 .利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 P X 星球 7

21、 A.0.2 B.2 C.20 D.200 答案： B 解析：设太阳质量 M，地球质量 m，月球质量 m0，日地间距离为 R，月地间距离为 r，日月之间距离近似等于 R，地球绕太阳的周期为 T 约为 360 天，月球绕地球的周期为 t=27 天。对地球绕着太阳转动， 由万有引力定律： GMmR2=m42RT2 ，同理对月球绕着地球转动： Gmm0r2 =m04 2rt2 ，则太阳质量与地球质量之比为 M : m=R3T2r3t2；太阳对月球的万有引力 F= GMm0R2 ，地球对月球的万有引力 f= Gmm0r2 ，故 F : f= Mr2mR2，带入太阳与地球质量比，计算出比值约为 2， B

22、对。 2 1990 年 4 月 25 日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空，使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为 6.4 106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3.6 107m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是 A 0.6 小时 B 1.6 小时 C 4.0 小时 D 24 小时 答案： B 解析：由开普勒行星运动定律可知， 23TR 恒量，所以 22322131 )( thrt hr ， r 为地球的半径， h1、 t1、 h2、 t2 分别表示望远镜到地

23、表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（ 24h），代入数据得： t1=1.6h 3.火星的质量和半径分别约为地球的 101 和 21 ，地球表面的重力加速度为 g，则火星表面的重力加速度约为 A 0.2g B 0.4g C 2.5g D 5g 答案： B 【 解析 】 ：考查万有引力定律 。星球表面重力等于万有引力， GMmR2 = mg，故火星表面的重力加速度 g火g = M火 R地2M地 R火 2 = 0.4，故 B正确。 4 假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是 BC A地

24、球的向心力变为缩小前的一半 B 地球的向心力变为缩小前的 161 C 地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D 地球 绕太阳公转周期变为缩 小前的一半 5 天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出 C A行星的质量 B行星的半径 C恒星的质量 D恒星的半径 6 据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在这个行星表面的重量将变为 960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为 B 8 A 0.5 B 2. C 3.2 D 4 7 2007 年 4 月 24 日

25、 ，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星 Gliese581c。这颗围绕红矮星 Gliese581 运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为 20 光年，直径约为地球的 1.5 倍 ，质量约为地球的 5倍，绕红矮星 Gliese581 运行的周期约为 13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是 Bc A 飞船在 Gliese581c 表面附近运行的周期约为 13 天 B飞船在 Gliese581c 表面附近运行时的速度大于 7.9km/s C人在 Gliese581c 上所受重力 比在地球上所受重力大 D Gliese581c

26、 的平均密度比地球平均密度小 8 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为 1.5 亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为 B A 1.2 亿千米 B 2.3 亿千米 C 4.6 亿千米 D 6.9 亿千米 9. 已知万有引力常量 G，地球半径 R，月球和地球之间的距离 r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期 T1，地球的自转周期 T2，地球表面的重力加速度 g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量 M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由 hTmhMmG22 2 得2324G

27、ThM 请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 请根据已知条件再提出两种估算 地球质量的方法并解得结果。 （ 13 分） (1)上面结果是错误的，地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。 正确的解法和结果是： 22 2( ) ( )()MmG m R hR h T 得 23224 ( )RhM GT （ 2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由 22 2()MmG m rrT得 23224 rM GT 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由2MmG mgR 得 2gRM G 10 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很

28、普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运 动，周期均为 T，两颗恒星之水星 金星 地球 火星 木星 土星 公转周期（年） 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5 9 间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G） 【 解析 】 ：设两颗恒星的质量分别为 m1、 m2，做圆周运动的半径分别为 r1、 r2，角速度分别为 1、 2。根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿定律，有 G12112 21 rwmrmm G12212 21 rwmrmm 联立以上

29、各式解得 2121 mm rmr 根据解速度与周期的关系知 T 221 联立 式解得 32221 4 rGTmm 11 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。（取地球表面重力加速度 g 10 m/s2，空气阻力不计） 求该星球表面附近的重力加速度 g/； 已知该星球的 半径与地球半径之比为 R 星 :R 地 1:4，求该星球的质量与地球质量之比 M 星 :M 地 。 解： 02vtg故： /21 2 m/s5gg 2GMg R，所以 2gRM G 可解得： M 星 :M 地 112:

30、542 1:80， 12 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX-3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响， A、 B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A的速率 v 和运行周期 T。 10 （ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 AF 可等效为位于 O 点处质量为 m 的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B的质量分别为 1m 、 2m ，试求 m （用 1m

31、 、 2m 表示）； （ 2）求暗星 B 的质量 2m 与可见星 A 的速率 v 、运行周期 T 和质量 1m 之间的关系式； （ 3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 sm 的 2 倍，它将有可能成为黑洞。若可见星 A 的速率 smv /107.2 5 ，运行周期 sT 4107.4 ，质量 smm 61 ，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？ （ kgmkgmNG s 302211 100.2,/1067.6 ） （ 1）设 A、 B 的圆轨道半径分别为 1r 、 2r ，由题意知， A、 B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为 。由牛顿运动定律，有 121 rmFA 222 rmFB BA FF 设 A、 B 之间的距离为 r ，又 21 rrr ，由上述各式得 12 21 rm mmr 由万有引力定律，有2 21rmmGFA ，将代入得21221321)( rmm mmGF A 令211rmmGFA 比较可得22132)( mm mm （ 2）由牛顿第二定律，有121211 rvmrmmG 又可见星 A的轨道半径 21 vTr 由式解得GTvmm m 2)(322132 （ 3）将 smm 61 代入式，得GTvmm ms 2)6(32232 代入数据得ss mmm m 5.3)6( 2232