高中数学选修2-1模块复习资料.doc

1、 模块复习提升课 一 常用逻辑用语 , 学生用书 P76) 1 四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p， 则 q 逆命题 若 q， 则 p 否命题 若 p， 则 q 逆否命题 若 q， 则 p (2)四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 ， 它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题 ， 它们的真假性没有关系 2 充分条件与必要条件 (1)如果 pq， 那么称 p 是 q 的充分条件 ， q 是 p 的必要条件 (2)分类 充要条件： pq 且 qp， 记作 pq； 充分不必要条件 ： pq， q/ p； 必要不充分条件： qp，

2、 p/ q， 既不充分也不必要条件： p/ q， 且 q/ p. 3 简单的逻辑联结词 (1)用联结词 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 联结命题 p 和命题 q， 可得 p q， p q， p. (2)命题 p q， p q， p 的真假判断 p q 中 p、 q 有一假为假 ， p q 有一真为真 ， p 与 p 必定是一真一 假 4 全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题 全称量词用符号 “ ” 表示 全称命题用符号简记为 x M， p(x) (2)存在量词与特称命题 存在量词用符号 “ ” 表示 特称命题用符号简记为 x0 M， p(x0) 5 含有一个量词的命题的否定 命题 命题

3、的否定 x M， p(x) x0 M， p(x0) x0 M， p(x0) x M， p(x) 1 否命题和命题的否定是两个不同的概念 (1)否命题是将原命题的条件否定作为条件 ， 将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题； (2)命题的否定只 是否定命题的结论 ， 常用于反证法 若命题为： “ 若 p， 则 q” ， 则该命题的否命题是 “ 若 p， 则 q” ；命题的否定 为 “ 若 p， 则 q” 2 判断 p 与 q 之间的关系时 ， 要注意 p 与 q 之间关系的方向性 ， 充分条件与必要条件方向正好相反 ， 不要混淆 如 “ a 0” 是 “ ab 0” 的充分不必要条件 ，“

4、a b 0” 是 “ a 0” 的必要不充分条件 3 注意常见逻辑联结词的否定 一些常见逻辑联结词的否定要记住 ， 如： “ 都是 ” 的否定 “ 不都是 ” ， “ 全是 ” 的否定 “ 不全是 ” ， “ 至少有一个 ” 的否定 “ 一个也没有 ” ， “ 至多有一个 ” 的否定 “ 至少有两个 ” 四种命题及其关系 学生用书 P76 设命题为 “ 若 k 0， 则关于 x 的方程 x2 x k 0 有实数根 ” ， 该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为 _ 【 解析 】 命题的否定：若 k 0， 则关于 x的方程 x2 x k 0没有实数根 假命题； 逆命题：若关 于

5、x的方程 x2 x k 0有实数根 ， 则 k 0.假命题； 否命题：若 k 0， 则关于 x的方程 x2 x k 0没有实数根 假命题； 逆否命题：若关于 x的方程 x2 x k 0没有实数根 ， 则 k 0.真命题 【 答案 】 3 四种命题的写法及其真 假的判断方法 (1)四种命题的写法 明确条件和结论：认清命题的条件 p和结论 q， 然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题； 应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件 (2)简单命题真假的判断方法 直接法：判断简单命题的真假 ， 通常用直接法判断 用直接法判断时 ， 应先分清条件和结论 ， 运用命题所涉及的知识进行推理论证； 间接法

6、：当命题的真假不易判断时 ， 还可以用间接法 ， 转化为等价命题或举反例 用转化法判断时 ， 需要准确地写出所给命题的等价命题 写出命题 “ 若 x 2 (y 1)2 0， 则 x 2 且 y 1” 的逆命题、否命题、逆否命题 ， 并判断它们的真假 解： 逆命题：若 x 2且 y 1， 则 x 2 (y 1)2 0， 真命题 否命题：若 x 2 (y 1)2 0， 则 x 2或 y 1， 真命题 逆否命题：若 x 2或 y 1， 则 x 2 (y 1)2 0， 真命题 充分、必要条件的判断及应用 学生用书 P77 (1)在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，

7、 则 “ a b” 是 “sin Asin B” 的 ( ) A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 (2)已知集合 A x|x| 4， x R， B x|x a， 则 “ a 5” 是 “ AB” 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【 解析 】 (1)由正弦定理 ， 知 a b2Rsin A 2Rsin B(R为 ABC 外接圆的 半径 )sin Asin B 故选 A. (2)A x|x| 4， x RA x| 4 x 4， 所以 ABa 4， 而 a 5a 4， 且 a4/ a 5， 所以

8、“ a 5” 是 “ AB” 的充分不必要条件 【 答案 】 (1)A (2)A 判断充分、必要条件的方法 集合法：即看集合 A和 B的包含关系 若 AB， 则 A是 B的充分条件 ， B是 A的必要条件 若 A B， 则 A是 B的充分不必要条件； 若 A B， 则 A是 B的必要不充分条件； 若 A B， 则 A， B互为充要条件； 若 A/B， 且 A/B， 则 A是 B的既不充分也不 必要条件 已知 p： x2 8x 200， q： x2 2x 1 a20， 若 p 是 q 的充分而不必要条件 ， 求正实数 a 的取值范围 解： 设 A x|x2 8x 200 x|x10， B x|x

9、2 2x 1 a20 x|x1 a， 由于 p是 q的充分而不必要条件 ， 可知 A B. 从而a0，1 a 2，1 a0，1 a 2，1 a 10，解得 01， logax0 0(a1)， 所以命题 p是假命题；命题 q是假命题 ， 例如 f(x) x 1， x 0， x 2， x0. 综上可知 ， “ p或 q” 是假命题 ， 故选 B. (2)若 p为真命题 ， 则 2 a 1 a， 解得 a 1. 若 q为真命题 ， 则 2 a 2 a， 解得 a 2. 依题意得 p与 q一真一假 ， 若 p真 q假 ， 则a 1，a 2， 即 1 a 2. 若 p假 q真 ， 则a 1，a 2， a

10、不存在 综上 1 a 2. 【 答案 】 (1)B (2)(1， 2 判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题 p， q. (2)分别确定简单命题 p， q的真假 (3)利用真值表判断所给命题的真假 1.已知命题 p：若 a1， 则 axlogax 恒成立；命题 q：在等差数列 an中 (其中公差 d 0)， “ m n p q” 是 “ am an ap aq” 的充分不必要条件 (m， n， p， q N*)，则下面选项 中真命题是 ( ) A p q B p q C p q D p q 解析： 选 B.对于命题 p， 如图所示作出函数 y ax(a1)与 y logax(

11、a1)在 (0， )上的图象 ， 显然当 a1 时 ， 函数 y ax的图象在函数 y logax 图象的上方 ， 即 a1 时 ， axlogax恒成立 ， 故命题 p为真命题 对于命题 q， 由等差数列的性质 ， 可知当公差不为 0 时 ， “ m n p q” 是 “ am anap aq” 的充要条件 ， 故命题 q为假命题 所以 p为假 ， q为真 ， 所以 p q为假 ， p q为假 ， p q为假 ， p q为真 2 设命题 p： c2 c 和命题 q： x R， x2 4cx 1 0， 且 p q 为真 ， p q 为假 ， 则实数 c 的取值范围是 _ 解析： 解不等式 c2

12、 c， 得 0 c 1， 即命题 p： 0 c 1， 所 以命题 p： c 0或 c 1. 又由 (4c)2 4 0， 得 12 c 12， 即命题 q： 12 c 12， 所以命题 q： c 12或 c 12， 由 p q为真 ， 知 p与 q中至少有一个为真 ， 由 p q为假 ， 知 p与 q中至少有一个为假 ， 所以 p与 q中一个为真命题 ， 一个为假命题 当 p真 q假时 ， 实数 c的取值范围是 12 c 1. 当 p假 q真时 ， 实数 c的取值范围是 12 c 0. 综上所述 ， 实数 c的取值范围是 12 c 0或 12 c 1. 答案： 12， 0 12， 1 全称命题与

13、特称命题 学生用书 P78 (1)命题 “ x0 (0， )， ln x0 x0 1” 的否定是 ( ) A x (0， )， ln x x 1 B x(0， )， ln x x 1 C x0 (0， )， ln x0 x0 1 D x0(0， )， ln x0 x0 1 (2)若命题 “ x0 R， 使得 x20 (a 1)x0 1 0” 是真命题 ， 则实数 a 的取值范围是_ 【 解析 】 (1)改变原命题中的三个地方即可得其否定 ， 改为 ， x0改为 x， 否定结论 ，即 ln x x 1， 故选 A. (2)因为 x0 R， 使得 x20 (a 1)x0 1 0是真命题 ， 所以方

14、程 x20 (a 1)x0 1 0有两个不等实根 ， 所以 (a 1)2 4 0， 解得 a 3或 a 1. 【 答案 】 (1)A (2)( ， 1) (3， ) 全称命题、特称命题真假判断 (1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真 ， 必须对限定集合 M 中每一个 x 验证 p(x)成立 ， 一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假 ， 只需举出一个反例即可 (2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真 ， 只要在限定集合 M 中 ， 能找到一个 x0， 使 p(x0)成立即可；否则 ， 这一特称命题为假 1.已知命题 p： x0， 总有 (x 1)ex1， 则 p

15、 为 ( ) A x0 0， 使得 (x0 1)ex0 1 B x00， 使得 (x0 1)ex0 1 C x0， 总有 (x 1)ex 1 D x 0， 总有 (x 1)ex 1 解析： 选 B.全称命题的否定是特称命题 ， 所以命题 p： x0， 总有 (x 1)ex1的否定是p： x00， 使得 (x0 1)ex0 1. 2 已知函数 f(x) x2 2x， g(x) ax 2(a0)， 若 x1 1， 2， x2 1， 2， 使得f(x1) g(x2)， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A 0， 12 B 12， 3 C (0， 3 D 3， ) 解析： 选 D.由函数的性质可得函数

16、 f(x) x2 2x的值域为 1， 3， g(x) ax 2的值域是 2 a， 2 2a 因为 x1 1， 2， x2 1， 2， 使得 f(x1) g(x2)， 所以 1， 32 a， 2 2a， 所以2 a 1，2 2a 3， 解得 a 3. , 学生用书 P147(单独成册 ) A 基础达标 1 命题 “ 若 a0， 则 a20” 的逆命题是 ( ) A 若 a0， 则 a2 0 B 若 a20， 则 a0 C 若 a 0， 则 a20 D 若 a 0， 则 a2 0 解析： 选 B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题 2 若命题 p： x 2 且 y 3， 则 p 为 ( ) A

17、x 2 或 y 3 B x 2 且 y 3 C x 2 或 y 3 D x 2 或 y 3 解析： 选 A.由于 “ 且 ” 的否定 为 “ 或 ” ， 所以 p： x 2或 y 3.故选 A. 3 下列表述错误的是 ( ) A 存在 ， R， 使 tan( ) tan tan B 命题 “ 若 a M， 则 bM” 的等价命题是 “ 若 b M， 则 aM” C “ x2” 是 “x24” 的充分不必要条件 D 对任意的 R， 函数 y sin(2x )都不是偶函数 解析： 选 D.当 0， 3时 ， tan 0 3 tan 0 tan3成立 ， 故选项 A正确 对于选项 B、 C， 显然正

18、确 在 D中 ， 存在 k 2(k Z)时 ， 函数 y sin(2x )是偶函数 ， D错误 4 设 p： log2x1， 则 p 是 q 的 ( ) A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 选 B.p： log2x1xlg x0， 命题 q： x R， x20， 则 ( ) A 命题 p q 是假命题 B 命题 p q 是真命题 C 命题 p (q)是真命题 D 命题 p (q)是假命 题 解析： 选 C.当 x 10时 ， x 2 8， lg x lg 10 1， 故命题 p为真命题 ， 令 x 0， 则 x2 0， 故命题 q为假命题 ，

19、 依据复合命题真假性的判断法则 ， 可知命题 p q是真命题 ， 命题p q是假命题 ， q是真命题 ， 进而得到命题 p (q)是真命题 ， 命题 p (q)是真命题 故选 C. 6 写出命题 “ 若 方程 ax2 bx c 0 的两根均大于 0， 则 ac 0” 的一个等价命题：_ 解析： 一个命题与其逆否命题是等价命题 答案： 若 ac 0， 则方程 ax2 bx c 0 的两根不均大于 0 7 给出下列三个命题： 当 m 0 时 ， 函数 f(x) mx2 2x 是奇函数； 若 b2 ac， 则 a， b， c 成等比数列； 已知 x， y 是实数 ， 若 x y 2， 则 x 1 或

20、 y 1. 其中为真命题的是 _(填序号 ) 解析： 中 ， 当 m 0时 ， f(x) mx2 2x 2x是奇函数 ， 故 是真命题； 中 ， 取 a b 0， c 1， 满足 b2 ac， 但 a， b， c不成等比数列 ， 故 不是真命题； 的逆否命题为 “ 已知 x， y是实数 ， 若 x 1且 y 1， 则 x y 2” 是真命题 ， 所以原命题也是真命题 ， 即 是真命题 答案： 8 已知 p： 4 x a 4， q： (x 2)(3 x) 0.若 p 是 q 的充分条件 ， 则实数 a 的取值范围是 _ 解析： p： 4 x a 4， 即 a 4 x a 4； q： (x 2)(

21、3 x) 0， 即 2 x 3， 所以p： x a 4或 x a 4， q： x 2 或 x 3；而 p是 q的充分条件 ， 所以a 4 2，a 4 3. 解得 1 a 6. 答案： 1， 6 9 指出下列命题中 ， p 是 q 的什么条件： (1)p： x|x 2 或 x 2或 x 2或 x 2或 x0，3m04 12m0，m0 m00m2 m2 1 的解集是 R； q：幂函数 f(x) x7 3m 在 (0， )上是减函数 若 “ p 且 q” 是假命题 ， “ p 或 q” 是真命题 ， 求 m 的取值范围 解： 因为 “ p且 q” 是假命题 ， 所以 p， q中至少有一个是假命题 因

22、为 “ p或 q” 是真命题 ， 所以 p， q中至少有一个是真命题 故 p和 q两个命题一真一假 若 p真 ， 则 2m2 m 273. p真 q假时 ， 173. 所以 m的取值范围是 1， 12 73， . B 能力提升 11 设 f(x) x2 4x(x R)， 则 f(x) 0 的一个必要不充分条件是 ( ) A x 0 B x 0 或 x 4 C |x 1| 1 D |x 2| 3 解析： 选 C.由 x2 4x 0有 x 4或 x 0， 故 f(x) 0的必要不充分条件中 x的取值范围应包含集合 x|x 4或 x 0， 验证可知 ， 只有 C 选项符合 12 下列选项中叙述错误的

23、是 ( ) A 命题 “ 若 x2 3x 2 0， 则 x 1” 的逆否命题为假命题 B “ x 2” 是 “ x2 3x 2 0” 的充分不必要条件 C 若 “ p q” 为假命题 ， 则 “ (p) (q)” 也为假命题 D 若命题 p： x R， x2 x 1 0， 则 p： x0 R， x20 x0 1 0 解析： 选 C.对于 A， 命题 “ 若 x2 3x 2 0， 则 x 1” 是假命题 ， 因此该命题的逆否命题也是假命题；对于 B， 由 x 2 可得 x2 3x 2 (x 1)(x 2) 0， 反过来 ， 由 x2 3x 2 0 不能得知 x 2， 因此 “ x 2” 是 “

24、x2 3x 2 0” 的充分不必要条件；对于 C， 若“ p q” 为假命题 ， 则 p， q均为假命题 ， 所以 “ (p) (q)” 是真命题；对于 D， 命题 p：x R， x2 x 1 0， 则 p： x0 R， x20 x0 1 0， 综上所述 ， 选 C. 13 已知 a 0， 函数 f(x) ax bx2. (1)当 b 0 时 ， 若对任意 x R， 都有 f(x) 1， 证明： a 2 b； (2)当 b 1 时 ， 证明：对任意 x 0， 1， |f(x)| 1 的充要条件是 b 1 a 2 b. 证明： (1)此题等价于对所有 x R有 ax bx2 1， 即 bx2 a

25、x 1 0， 因为 b 0， 所以 a2 4b 0. 又因为 a 0， 所以 a 2 b. (2) 必要性：设对所有 x 0， 1， 有 |f(x)| 1， 即 1 ax bx2 1. 令 x 1 0， 1， 则有 1 a b 1， 即 b 1 a b 1. 因为 b 1， 所以 12 12b a2b 12 12b. 这说明 a2b 0， 1 所以 f a2b 1， 即 a22b ba24b2 1. 所以 a2 4b， a 2 b. 综上所述 ， 有 b 1 a 2 b. 充分性：设 b 1 a 2 b. 因为 b 1， 所以 a2b a2 b1b 1. 所以当 x 0， 1时 f(x)的最大

26、值为 f(x)max f a2b a a2b ba24b2a24b 1. 又因为 f(x)的图像是开口向 下的抛物线 ， 所以当 x 0， 1时 ， f(x)的 最小值 f(x)min minf(0)， f(1) min0， a b 1. 所以当 x 0， 1时 ， |f(x)| 1. 综合 可知 ， 当 b 1时 ， 对任意 x 0， 1有 |f(x)| 1的充要条件是 b 1 a 2 b. 14 (选做题 )已知 f(x) m(x 2m)(x m 3)， g(x) 2x 2， 若同时满足条件： 对任意x R， f(x)0 的解集与 ( ， 4)的交集非空 若 g(x) 2x 20. 当 2

27、m m 3， 即 m 1时 ， f(x) m 3， 即 12m或 x m 3 依题意 m 3 4， 所以 40， 即 f(x)0的解集与 ( ， 4)的交集非空 又 m m 3， 即 m 31， 此时无解 当 m 1时 ， f(x) (x 2)2恒小于或等于 0， 此时无解 当 mb0) x2a2y2b2 1 或y2a2x2b21(a0， b0) y2 2px 或 y2 2px或 x2 2py 或 x22py(p0) 关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2 图形 封闭图形 无限延展 ， 但有渐近线 y bax 或 y abx 无限延展 ， 没有渐近线 ， 有准线 变量范围 |x| a， |

28、y| b 或|y| a， |x| b |x| a 或 |y| a x 0 或 x 0 或 y 0或 y 0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 eca， 且 01 e 1 决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口 大小 2 椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)上任意一点 (不在 x 轴上 )， F1， F2为焦点且 F1PF2 ，则 PF1F2为焦点三角形 (如图 ) (1)焦点三角形的面积 S b2tan2. (2)焦点三角形的周长 L 2a 2c. 3 双曲线及渐近线的设法技巧 (

29、1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时 ， 最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0， 即可得到两条渐近线的方程 如双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线方程为x2a2y2b20(a0， b0)， 即 y bax；双曲线 y2a2x2b2 1(a0， b0)的渐近线方程为y2a2x2b2 0(a0， b0)，即 y abx. (2)如果双曲线的渐近线为 xayb 0 时 ， 它的双曲线方程可设为 x2a2y2b2 ( 0) 4 特殊的两个双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 与 x2a2y2b2 1 具有相同渐近线的双曲线系方程为 x2a2y2b2 k(k 0

30、) (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距 (3)等轴双曲线方程一般设为 x2 y2 a2(或 y2 x2 a2) 5 抛物线方程的设法 对顶点在原点 ， 对称轴为坐标轴的抛物线方程 ， 一般可设为 y2 ax(a 0)或 x2 ay(a 0) 6 抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长 |AB|的一个重要结论 (1)y2 2px(p0)中 ， |AB| x1 x2 p. (2)y2 2px(p0)中 ， |AB| x1 x2 p. (3)x2 2py(p0)中 ， |AB| y1 y2 p (4)x2 2py(p0)中 ， |AB| y1 y2 p. 1 椭圆的定 义 |PF1| |

31、PF2| 2a 中 ， 应有 2a|F1F2|， 双曲线定义 |PF1| |PF2| 2a 中 ，应有 2ab0， a， b 为常数 )， 动圆 O： x2 y2 t21， bt1a.点 A1、 A2分别为 C0的左、右顶点 ， 圆 O 与椭 圆 C0相交于 A， B， C， D 四点 ， 求直线 AA1与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程 【 解 】 (1)设 P(x， y)， 则 Q(x， 1) 因为 QP QF FP FQ ， 所以 (0， y 1)( x， 2) (x， y 1)(x， 2)， 即 2(y 1) x2 2(y 1)， 即 x2 4y， 所以动点 P的轨迹 C 的方程为

32、 x2 4y.故填 x2 4y. (2)设 A(x1， y1)， 则 B(x1， y1)， 又知 A1( a， 0)， A2(a， 0)， 则 直线 AA1的方程为 y y1x1 a(x a)， 直线 A2B的方程为 y y1x1 a(x a)， 由 ， 得 y2 y21x21 a2(x2 a2)， 又点 A(x1， y1)在椭圆 C0上 ， 故 x21a2y21b2 1， 从而 y21 b2 1 x21a2 . 把 代入 ， 得 x2a2y2b2 1(x a， y0)， 即为点 M的轨迹方程 求曲线方程的常用方法及特点 (1)直接法 ：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系 ， 只需把这种关系 “ 翻译 ”成含 x， y的等式就得到曲线的轨迹方程 (2)定义法 ：动点满足已知曲线的定义 ， 可先设定方程 ， 再确定其中的 基本量 (3)代入法 ：动点满足的条件不便用等式列出 ， 但动点是随着另一动点 (称之为相关点 )而运动的 如果相关点所满足的条件是明显的 ， 或是可分析的 ， 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 ， 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程