高考数学立体几何部分典型例题.doc

1、（一） 1.某几何体的三视图如图 (其中侧视图中的圆弧是半圆 )，则该几何体的表面积为( ) A 92 14 B.82 14 C 92 24 D.82 24 命题意图： 考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察面积 易错点： （ 1）三视图很难还原成直观图（ 2）公式及数据计算错误 解析 由三视图可知：原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱，其中长方体的长宽高分别为 5,4,4，圆柱的底面半径为 2，高为 5，所以该几何体的表面积为：S 5 4 2 4 4 2 5 4 22 12 2 5 2 92 14. 答案 A 2 （本小题满分 12 分） 命题人： 贺文宁 如图所示，平面 ABCD 平面

2、BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，四边形 BCEF 为直角梯形， BF CE， BC CE， DC CE 4， BC BF 2.（ 12 分） (1)求证： AF 平面 CDE； (2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值； (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值 命题意图： 线面平行的位置关系，线面角、 二面角的求法 易错点： （ 1）直接建系，不去证明三条线两两垂直（ 2）数据解错（ 3）线面角求成正弦值 (1)证明 法一 取 CE 的中点为 G，连接 DG， FG. BF CG 且 BF CG， 四边形 BFGC 为平行四边形，则 BC FG，且 BC

3、FG. 四边形 ABCD 为矩形， .1 分 BC AD 且 BC AD， FG AD 且 FG AD， 四边形 AFGD 为平行四边形，则 AF DG. DG 平面 CDE， AF平面 CDE， AF 平 面 CDE. .3 分 (2)解 四边形 ABCD 为矩形， BC CD， 又 平面 ABCD 平面 BCEF，且平面 ABCD 平面 BCEF BC， BC CE， DC 平面 BCEF. .4 分 以 C 为原点， CB 所在直线为 x 轴， CE 所在直线为 y 轴， CD 所在直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系， .5 分 根据题意我们可得以下点的坐标： A(2,0,4)，

4、B(2,0,0)， C(0,0,0)， D(0,0,4)， E(0,4,0)， F(2,2,0)，则 AD ( 2,0,0)，DE (0,4， 4) 设平面 ADE 的一个法向量为 n1 (x1， y1， z1)， 则 AD n1 0，DE n1 0， 2x 0，4y1 4z1 0， 取 z1 1，得 n1 (0,1,1) DC 平面 BCEF. 7 分 平面 BCEF 的一个法向量为 CD (0,0,4) 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ， 则 cos CD n1|CD |n1| 44 2 22 ， 因此，平面 ADE 与 平 面 BCEF 所 成 锐 二 面 角 的

5、 余 弦 值 为22 . .9 分 (3)解 根据 (2)知平面 ADE 的一个法向量为 n1 (0,1,1)， EF (2， 2,0)， cos EF ， n1 EF n1|EF |n1| 22 2 2 12， .10 分 设直线 EF 与平面 ADE 所成的角为 ， 则 cos |sin EF ， n1 | 32 ， 因 此 ， 直 线 EF 与 平 面 ADE 所 成 角 的 余 弦 值 为32 . .12 分 （二） 1.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 8 2 B 8 C 8 2 D 8 4 命题意图： 考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积 易错点： （

6、 1）三视图很难还原成直观图（ 2）公式及数据计算错误 解析 这是一个正方体切掉两个 14圆柱后得到的几何体，且该几何体的高为 2， V 23 12 1 2 8 ，故选 B. 答案 B 2. （本小题满分 12 分） 命题人 ：贺文宁 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD 平面 ABCD， NB 平面ABCD，且 MD NB 1， E 为 BC 的中点 (1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值； (2)在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES 平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 命题意图： 异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题

7、易错点： （ 1）异面直线所成角容易找错（ 2）异面直线所成角的范围搞不清 （ 3） 利用空间向量解决探索性问题，找不到突破口 解 (1)如图以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D xyz. 依题意得 D(0,0,0)， A(1,0,0)， M(0,0,1)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， N(1,1,1)， E(12， 1,0)， .1 分 所以 NE ( 12， 0， 1)， AM ( 1,0,1) .2 分 设直线 NE 与 AM 所成角为 ， 则 cos |cos N E， AM | .3 分 |N EAM|N E|A M|1252 2 1010 . .5 分 所以异面直

8、线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 1010 . (2)如图，假设在线段 AN 上存在点 S，使得 ES 平面 AMN，连接 AE. 因为 AN (0,1,1)，可设 AS AN (0， ， )， 又 EA (12， 1,0)， 所以 ES EA AS (12， 1， ) .7 分 由 ES 平面 AMN，得 E S AM 0，E SA N 0，即 12 0， 1 0，故 12，此时 AS (0， 12， 12)， | A S| 22 . .10 分 经检验，当 AS 22 时， ES 平面 AMN. 在线段 AN 上存在点 S，使得 ES 平面 AMN，此时 AS 22 . 12 分 （三

9、） 1一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为 ( ) A.233 B.476 C 6 D.7 命题意图： 考察空间几何体的 三视图，三视图为载体考察体积 易错点： （ 1）三视图很难还原成直观图（ 2）公式及数据计算错误 解析 如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为 2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为 V 2 2 2 2 13 12 1 1 1 233 . 答案 A 2. （本小题满分 12 分） 命题人： 贺文宁 如图，矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直，等腰梯形 ABEF 中， AB EF， AB 2， AD AF 1， BAF 60， O，

10、 P 分别为 AB， CB 的中点， M 为底面 OBF 的重心 (1)求证：平面 ADF 平面 CBF； (2)求证： PM 平面 AFC； (3)求多面体 CD AFEB 的体积 V. 命题意图：面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积 易错点：（ 1）判定时条件罗列不到位失分（ 2）求体积时不会分割 (1)证明 矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直，且 CB AB， CB 平面 ABEF， .1 分 又 AF 平面 ABEF，所以 CB AF， 又 AB 2， AF 1， BAF 60，由余弦定理知 BF 3， AF2 BF2 AB2，得 AF BF， .2 分 BF

11、CB B， AF 平面 CFB， 又 AF 平面 ADF； 平面 ADF 平面 CBF. .4 分 (2)证明 连接 OM 延长交 BF 于 H，则 H 为 BF 的中点，又 P 为 CB 的中点， PH CF，又 CF 平面 AFC， PH平面 AFC， PH 平面 AFC， .6 分 连 接 PO，则 PO AC， 又 AC 平面 AFC， PO平面 AFC， PO 平面 AFC， PO PH P， 平面 POH 平面 AFC， .7 分 又 PM 平面 POH， PM 平面 AFC. .8 分 (3)解 多面体 CD AFEB 的体积可分成三棱锥 C BEF 与四棱锥 F ABCD 的体

12、积之和 在等腰梯形 ABEF 中，计算得 EF 1，两底间的距离 EE1 32 . 所以 VC BEF 13S BEF CB 13 12 1 32 1 312， VF ABCD 13S 矩形 ABCD EE1 13 2 1 32 33 ， 10 分 所以 V VC BEF VF ABCD 5 312 . .12 分 （四） 1.一 个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 _ 命题意图： 考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积 解析 由题意可得，几何体相当于一个棱长为 2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是 1,2,2，所以几何体的体积为 8 23 223 . 答案 223

13、2. （本小题满分 12 分） 命题人： 贺文宁 在平行四边形 ABCD 中， AB 6， AD 10， BD 8， E 是线段 AD 的中点如图所示，沿直线 BD 将 BCD 翻折成 BC D，使得平面 BC D 平面 ABD. (1)求证： C D 平面 ABD； (2)求直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值 命题意图： 空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力 易错点： 把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误 (1)证明 平行四边形 ABCD 中， AB 6， AD 10， BD 8，沿直线 BD 将 BCD翻折成 BC D， 可知 C D CD

14、 6， BC BC 10， BD 8， 2 分 即 BC 2 C D2 BD2 C D BD. 又 平面 BC D 平面 ABD，平面 BC D 平面 ABD BD， C D 平面 BC D， C D 平面 ABD. 4 分 (2)解 由 (1)知 C D 平面 ABD，且 CD BD， 如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D xyz. 则 D(0,0,0)， A(8,6,0)， B(8,0,0)， C (0,0,6) 6 分 E 是线段 AD 的中点， E(4,3,0)， BD ( 8,0,0) 7 分 在平面 BEC 中， BE ( 4,3,0)， BC ( 8,0,6)， 设平面 BEC 法向量为 n (x， y， z)， BE n 0，BCn 0，即 4x 3y 0， 8x 6z 0， 令 x 3，得 y 4， z 4，故 n (3,4,4) 10 分 设直线 BD 与平面 BEC 所成角为 ，则 sin |cos n， BD | |nBD|n|BD| 3 4141 . 直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值为 3 4141 . 12 分