2008IMO中国国家集训队平面几何练习题.doc

1、 第 1 页 共 17 页 2008IMO 中国国家集训队平面几何练习题 1 一圆 O 切于两条平行线 12,ll，第二个圆 1O 切 1l 于 A ，外切 O 于 C ，第三个圆 2O切 2l 于 B ，外切 O 于 D ，外切 1O 于 E ， AD 交 BC 于 Q ，求证 Q 是 CDE 的外心。（ 35 届 IMO 预选题） 证明 由 1AO 2BO ，知 12 AO E BO E ，从而有 12AEO BEO ，即 ,AEB三 点 共 线 。 同 理 由 OF 2BO ，可得 ,BDF 三 点 共 线 。 又 因 为21111 8 0 1 8 022E D B E O B A O

2、E E A F ，所以 , , ,AEDF 四点共圆，BE BA BD BF ，即点 B 在 1O 与 O 的根 轴上。又 因为 C 在 1O 与 O 的根轴上，所以 BC 是 1O 与 O 的根轴。同理 AD 是 2O 与 O 的根轴，因此 Q 为根心，且有QC QD QE，即 Q 是 CDE 的外心。 2非等腰 ABC 的内切圆圆心为 I ，其与 ,BC CA AB 分别相切于点 1 1 1,A BC ，11,AABB 分别交圆于 22,AB， 1 1 1ABC 中 1 1 1 1 1 1,C A B C B A的角平分线分别交 1 1 1 1,BC AC于点 33,AB，证明（ 1） 2

3、3AA是 1 2 1BAC 的角平分线；（ 2） 如果 ,PQ是 1 2 3AAA 和 1 2 3BBB的两个外接圆的交点，则点 I 在直线 PQ 上。（ 01 年保加利亚） 证明 （ 1 ）因为 12ACA 11AAC ， 12ABA 11AAB ，所以有1 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1C A A A A A B AC A A C A B B A ，从而有 131 2 1 11 2 1 1 1 3CAC A C AB A B A B A，即 23AA是 1 2 1BAC 的角平分第 2 页 共 17 页 线。 （ 2） 设 1 2 3AAA 的外心为 O ，连 2 2 1, ,

4、,OI IA OA OA，则 12OI AA 。由于 1 3 2AAA 1 1 2 1 2 3 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 21 902A C A C A A C A A A C A C A B C A B A C A ，所以2 2 1 1 3 2 1 1 2 21 1 8 0 9 0 9 02A O I A O A A A A A C A A I O ，于是有2 90IAO ，即 2IA 与 O 相切于 2A 。同理 2IB 与 1 2 3BBB 的外接圆相切于 2B ，从而 I在 O 与 1 2 3BBB 的外接圆的根轴上，即 , ,I PQ 三点共线。 3已知

5、圆 O 外一点 X ， 由 X 向圆 O 引两条切线，切点分别为 ,AB，过点 X 作直线，与圆 O 交于两点 ,CD，且满足 CA BD ，若 ,CABD 交于点 F ， ,CDAB 交于点 G ， BD与 GX 的中垂线交于点 H ，证明 , , ,X F GH 四点共圆。（ 05 年日本） 证明 因为 , , ,X DGC 是调和点列，且 90CFD ，所以 F 在关于点 ,XG的阿波第 3 页 共 17 页 罗尼斯圆上。连 ,FGFX ，有 GFD DFX 。设 GFX 的外接圆与 BF 交于点 H ，则有 GH XH ，即 H 在 GX 的中垂线上，从而有 HH ，因此 , , ,X

6、 F GH 四点共圆。 4若 ,PQ到 ABC 的三个顶点 , ,ABC 的距离的比都是 : :l mn ，且 ,lmn 互不相等，则直线 PQ 过 ABC 的外接圆的一条直径 DE 。若设 ABC 的外接圆圆心为 O ，则2OP OQ OD 。 证明 法一：由于 ,PQ到 ,AC的距离之比为 :ln，则 PQ 在阿波罗尼斯圆 G 上，其中 AG 与 G 的交点为 ,KL，且 , , ,AKCL 为调和点列。设 O 与 G 交于点 F ，则22GA GC GK GF，因此 GF 与 O 相切于点 F ，于是 OF 也与 G 相切于点 F 。同理，由于 ,PQ到 ,BC的距离之比为 :mn，则

7、PQ 在阿波罗尼斯圆 M 上，设 O 与 M交于点 H ，于是 OH 与 M 相切于点 H 。因为 OH OF ，所以 O 在 G 与 M 的根轴上，从而有 ,OPQ 三点共 线。设 PQ 与 O 交于点 ,DE，则 22O D O F O P O Q，即, , ,DPEQ 为调和点列。 法二 由于 AP BP CPAQ BQ CQ，则 ABC 的外接圆就是 关于点 ,PQ的阿波罗尼斯圆，从 而 O 在直线 PQ 上，且有 2OP OQ OD 。 5已知圆心分别为 12,OO的圆 12,外切于点 D ，并内切于圆 ，切点分别为 ,EF，第 4 页 共 17 页 过点 D 作 12,的公切线 l

8、 。设圆 的直径 AB 垂直于 l ，使得 1,AEO 在 l 的同侧，证明12,AO BO EF 三线交于一点。（第 47 届 IMO 预选题） 证明 设 AB 的中点为 O ， E 为圆 与圆 1 的位似中心，由于半径 1,OBOD 分别垂直于 l ，所以 OB 1OD，且有 ,EDB 三点共线。同理 ,FDA 三点共线。 设 ,AEBF 交于点 C ，由于 ,AF BC BE AC，所以 D 是 ABC 的垂心，于是CD AB ，这表明 C 在直线 l 上。 设 EF 与直线 l 交于点 P ，下面证明点 P 在直线 1AO 上。设 AC 与圆 1 的第二个交点为 N ，则 ND 是圆

9、1 的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证 1,AOP 三点共线，只要证11 1NOCA DPAN O D PC 。因为 11NO OD ，所以只要证 CA CPAN PD 。设 l 与 AB 交于点 K ，则CA CKAN KD ，从而只要证 CP CKPD KD ，即证 , , ,CPDK 是调和点列。 连 AP 交 BC 于点 X ，则 , , ,CX F B 是调和点列，因此有 , , ,CPDK 是调和点列。 6设 ABCD 是梯形， AB CD ，在其两腰 ,ADBC 上分别存在点 ,PQ，使得,A P B C P D A Q B C Q D ，证明点 ,PQ到梯形两对角线的交点的距

10、离相等。（ 20届全俄） 证明 设 APB 与 CPD 的 外 接 圆 交 于 点 1Q ，则有 11 1 8 0 1 8 0 1 8 0C Q P B Q P C D P B A P ，所以点 1Q 在 BC 上。又第 5 页 共 17 页 因为 11 C Q D C P D A P B A Q B ，所以 1QQ。设 APB 与 CPD 的外接圆半径分别为 12,RR， APB ，则 11222 sin2 sinRRABCD R R，因此 AC 与 BD 的交点 O 是 APB 的外接圆 与 CPD 的外接圆的位似中心 ，设 APB 与 CPD 的外接圆的圆心分别为 12,OO，则 O 在

11、 12OO 上，且 12OO 是 PQ 的中垂线，于是有 OP OQ 。 7圆 1 2 3,S S S 均与圆 S 外切，切点分别为 1 1 1,A BC ，并且它们还分别与 ABC 的两条边相 切，证明 1 1 1,AA BB CC 三线共点。 （ 20 届全俄） 证明 设 ABC 的内切圆的圆心为 I ，半径为 R ， 1 2 3, , ,S S S S的半径分别为1 2 3, , ,rr r r ，则1 1 1,1rr HAHA rRI S S 。设 P 为 SI 上的一点，且满足 PS rPI R ，则 , rHP RIS ，从而有 1,AAP 在一条直线上。同理 1,BBP 与 1,

12、CCP 均三点共线，即 1 1 1,AA BB CC 三线共点。 8给定一个半圆周，其直径为 AB ，圆心为 O ，一直线与半圆周相交于点 ,CD，且第 6 页 共 17 页 与 AB 的延长线交于点 M ，其中 ,M B M A M D M C。设 ,AOC BOD的外接圆12,OO的第二个交点为 K ，证明 MKO 是直角。（ 21 届全俄） 证明 法一 连 1OO 交 1O 于点 P ， 2OO 交 2O 于点 Q ，因为 12 ,OO OK PQ 12OO ， 且 K 在 PQ 上， 所以只要证 ,PQM 三点共线。由于 OP 是 1O 的直径，因此 PA 与O 相切。同理 ,PC Q

13、B QD 也均与 O 相切。过 P 作 QD 的平行线，与 DC 的延长线 交于点 E ，则 C E P M D Q E C P ，所以 PE P PA，即 PAE 与 QBD 均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即 ,PQM 三点共线。 法二 设 ,ACBD 交于点 N ， ,ADBC 交于点 H ， 则 H 为 NAB 的垂心。连 MH ，分别交 ,ACBD 于点 ,XY，则 , , ,NC X A 及 , , ,NDY B 为调和点列，所以 MH 是 N 关于O 的极线 ，于是 ON MH 。同理 OM NH ，且 O 是 HMN 的垂心。由蒙日定理得 OK过点 N

14、 ，于是有 MH OK 。设 NH 与 AB 交于点 T ，则 N H N T N C N A N K N O，所以 , , ,KOT H 四点共圆， 90H KO H TO ，于是有 ,MKH 三点共线。 法三 延长 OK 至 S ，则 9 0 9 0M K O S K D D K M 9 0 , , ,D B O D K M D K M D A M K A M D 四点共圆K A B C D K 。因为 ,CA 关于 PO 对称，所以有 1 8 0 1 8 0C D K C D B K D B C A B K O B K O B C A B K C A C A B O C A O C K

15、C A B O A C K A O C A B K A B 。 9设点 O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点，过 AOB 的重心与 COD 的重心 引一条直线，过 BOC 的垂心与 AOD 的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。 （ 6届全苏） 第 7 页 共 17 页 证明 设 , , ,A O B B O C C O D A O D 的重心分别为 , , ,K L M N ，则四边形KLMN 是平行四边形，并满足 ,KLKN 分别平行于 ,ACBD ， = ,33AC BDKL KN ，从而有 KL ACKN BD 。 设 , , ,A O B B O C C O D A O D

16、的垂心分别为 , , ,K L M N ，则, , ; , , ; , , ; , ,A K N C M L B K L D M N 均三点共线，且 四边形 KLMN 是平行四边形，并满足 ,KL KN 分别垂直于 ,ACBD 。设 AOB，不妨假设 90，则90OBL ，所以有 c o s 9 0 c o sK L A C ，即 cotK L AC 。同理cotK N BD ，于是有 K L AC KLK N BD KN 。 因此平行四边形 KLMN 与 KLMN 相似，若把其中的一个平行四边形旋转 90 ，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有 ,K M L N L N

17、 K M 。 10已知四边形 ABCD 是等腰梯形， AD BC， 把 ABC 绕点 C 旋转某一角度得到ABC ，证明线段 ,AD BC BC的中点在同一条直线上。（ 23 届全苏） 证明 将 BCB 平移 DC 得 EFG ，则 ,AD BC BC的中点经位似变换 ,2HD 变为 , ,AEG 。连 EB 交 AD 于 K ，由于 BE BK BA，因此有 ,EA AD EA EF，从而 1 1 1 19 0 9 0 1 8 02 2 2 2A E G F E G E F G E F G B C B A C A 。因为直角梯形 ADFE 的 腰 DF 的中点到两个直角顶点的距离相等，所以

18、EC AC A C，即 ,EAA 在以 C 为圆心，以 CA 为半径的圆上，从而有 12 ACA AEA ，于是可得, ,AEG 三点共线。 第 8 页 共 17 页 11已知 M 为 ABC 内一点，由 M 分别 向 ,BC CA AB 作垂线，垂足分别为 ,ABC 。由 , ,ABC 分别 向 ,BC C A AB 作垂线，证明这三条垂线交于一点 M 。若 ABC 的外心为 O ，则 ,M OM 三点共线，且 O 是线段 MM 的中点。 证明 法一 连 MO ，并延长至 M ，使得 O 是线段 MM 的中 点。设 AM 的中点为O ，则 O 为由 , , ,AC M B所确定的四边形的外接

19、圆的圆心，因此 OO BC 。又因为AM OO ，所以有 AM BC 。 同理 可得 ,B M C A C M A B 。 法二 分别 延长 ,MA MB MC 至 ,DEF ， 使得 ,BC CA AB 分别是 ,MD ME MF 的中垂线，所以 AE AM AF，即 A 是 MEF 的外心。同理， ,BC分别是 ,MDF MDE的外心。 由于由 , ,ABC 分别向 ,BC C A AB 作的垂线就是由 , ,ABC 分别向第 9 页 共 17 页 ,EF FD DE 作的垂线，因此也就是 ,EF FD DE 的中垂线，而 ,EF FD DE 的中垂线交于一点，且就是 DEF 的外心 ，即

20、点 M 。 又因为 M 是 ABC 与 DEF 的位似中心，且位似比为 2 ，所以 ,M OM 三点共线，且 O 是线段 MM 的中点 。 12已知 ,PQ分别是 ABC 的边 ,ACAB 上的点， ,BPCQ 相交于 点 D ，证明 ABD和 ACD 的内切圆外切的充分必要条件是四边形 APDQ 有内切圆。（ 99 年保加利亚） 证明 充分性：由 ABD 和 ACD 的内切圆外切，可得 DB DC AB AC 。作ACQ 的内切圆，过 B 作该圆的切线 BM ，交 CQ 于 1D 。 由于 11AB AC D B D C ，因此有 11D B D C D B D C ，即 1DD 。 必 要

21、 性 ： 设 ABD 和 ACD 的 内 切 圆 与 AD 分别 切于 点 1,NN， 因为D B D C A B A C ，所以有 1DN DN 。 13已知单位面积的凸四边形 ABCD 及其内一点 P ，证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过 212 ，并证明这个上界是最小的。 证明 假 设 两 条 对 角 线 交 于 点 O ， 不 妨 假 设 P 点在 OBC 中。假设, , ,P A C P B D P B C P A D 的面积 分别 为 1 2 3 4, , ,S S S S ， , , ,PA PB PC PD分别为, , ,abcd ， , , ,A P B B

22、P C C P D A P D ，因为 1s i n s i n s i n s i n c o s c o s c o s c o s2 第 10 页 共 17 页 1 c o s c o s s i n s i n2 ， 所以有 1 2 3 4P A B P C DS S S S S S 。若 1 2 3 4, , ,S S S S 均大于 212 ，则 3 4 3 41 2 1A B C D P A B P C D P A B P C DS S S S S S S S S ， 矛盾。 当等腰梯形 ABCD 满足 AD 平行于 BC ， 2 1, 1AD BC ，高为 2 ， P 在对称轴

23、 上 ， 且 到 AD 的 距 离 为 1 。 此 时 212P A D P B C P A C P B DS S S S ，222PAB PC DSS ，所以 212 是最小的。 14已知 ABC 的重心为 G ， 1 证明 ,AG BG CG 分别关于 ,A B C 的角平分线对称的三条直线交于一点 P ； 2 若 P 在三条边 ,BC CA AB 上的投影分别为 ,DEF ，证明 P 为 DEF 的重心。 证明 1 设 ABC 的三条中线分别为 ,AL BM CN ， ,AG BG CG 关于 ,A B C 的角平分线对称的三条直线分别与 ,BC CA AB 交于点 1 1 1,L M N ， 设 ,BC a CA b，AB c ，则 1121 1 121 1 1ABL ABLA C L A C LSB L B L S A B A LB L B L A B A L cL C L C L C L C S S A C A L A C A L b 。同理可得2211;CM A NCM a A N bM A M A c N B NB a。 由 塞瓦 定理 ，可 得 1BL CM ANLC MA NB ， 于是 有