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1、 一天之计在于晨，一年之计在于春！ 1 第三讲 因式分解 【 知识梳理 】 一因式分解的意义： 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式。也叫因式分解 二整式与因式分解的关系：互为相反的变形 三分解因式的方法 : (一 ) 、 提公因式法： (二 )、 运用公式法： )(.3)(2.2)(.1223322222babababababababababa立方和差公式：完全平方公式：平方差公式：(三 )、 十字相乘法： (四 )、 分组分解法： (五 )、 换元法： （六）待定系数法： （七）、添项拆项法： 四、三平方，三一倍公式： 五、因式分解的步 骤：一提二套三分组。 【重、

2、难点高效突破】 （一）因式分解的基本方法： 提公因式法； 运用公式法； 十字相乘法； 分组分解法。 第一部分：基本方法 : 例 1：运用提取公因式法进行因式分解 ： （ 1） )1)(32()23()1(5 2 aaaa （ 2） 2 2 122nnxx （ n 是正整数） （ 3） 3222 )2(12)2(24)2(18 xyxxyxyyxx （ 4） )(3)( yxzxyzyxyx 例 2 ：利用平方差公式进行因式分解 ： （ 1） 22116 4ab （ 3） 222 3 3 6 2a b a b （ 4） 43 48x （ 5） 22m n m n 例 3 ：利用完全平方公式进行因

3、式分解 ： （ 1） 229 644 a ab b （ 2） 225 10 1xx （ 3） 2 2 2 212 12 3m n m n m （ 4） 22 2 2 1a b a b （ 5） 222x y x xy y （ 6） 22255 4599 198 1例 4：利用十字相乘法进行因式分解： （ 1） 892 xx ； （ 2） 865 2 xx ； （ 3） 3x2 11xy 14y2 ； （ 4） 4p2q2+15pq+9； （ 5） 6(x+y)2 7(x+y) 3 （ 6） 10x4 23x2y2 5y4 例 5： 运用分组分解法分解因式： （ 1） 222 2 cbaba （

4、 2） 25x2-4a2+12ab-9ab2 （ 3） 4+5b-16a2-20a2b （ 4） bcacbaba 22 2 (5) 6522 baba （ 4） x2-y2-z2-2yz+1-2x （ 5） x2-6xy+9y2-10x+30y+25 （ 6） a2-a2b+ab2-a+b-b2 2 )()()( 222222 cacbbaacbcabcba 2 )()()( 222222 cacbbaacbcabcba 一天之计在于晨，一年之计在于春！ 2 变式训练：用适当的方法分解因式 （ 1） x3+x2y-xy2-y3 （ 2） yzzyx 449 222 （ 3） 2322 yxy

5、x (4) 634 xx 552 xx (5) 672 22 yxyxyx (6) 1215532 22 yxyxyx (7) 2222 22 yxbyaxba 第二部分 ：其他方法： 例 6： 待定系数法： 已知 2x nx m有因式 12xx和 ，求 m= ， n 。 变式练习： 1、（ 08 福建） 若二次多项式 22 32 kkxx 能被 x-1 整除，试求 k 的值为 。 2、若二次三项式 kx2+32x 35（ k 0）有一个因式是 2x+7，求 k 及 另一个因式。 例 7： 换元法 ： 分解因式 （ 1） )(18)4( 22222 yxxyyxyx , （ 2） 9)158)

6、(78( 22 xxxx （ 3）（ x+1） (x+3)（ x+5） (x+7)-9， 变式练习：（ 1） (x2+3x+2)(x2+7x+12) 120 （ 2） （ x-1） (x-2)（ x-3） (x-4)-24 例 8： 添项拆项 法 ： 分 解因式 （ 1） 444xy （ 2） 429 5 1xx （ 3） 3 32xx 变式练习： （ 1） 14x （ 2） 124 xx （ 3） 3 76xx （ 4） （ 10 天府前沿）已知： ,025)23(10)23( 2 yxyx 求 14129 22 yxyx 的值。 （ 5） （ 08 广西）已知： 4,3 cbba ，求 b

7、cacabcba 222 的值。 例 9在实数范围内分解因式 (1)33 (2)3 2 2 (3)4 2 3 (4) 2 3 2 6xx （ 5） 3 10 6 15 变式训练 ： (1) 243x （ 2） 625 (3) 21xx 例 9： 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次 . (2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ + x(x+1)2004， 则需应用上述方法 次，结果是 . (3)分解因式： 1+x+x(x

8、+1)+x(x+1)2+ + x(x+1)n(n为正整数 ) 一天之计在于晨，一年之计在于春！ 3 【名校、名书、中考、竞赛在线】 1.（ 2010 培优）（ 1）已知 a， b， c 是 ABC 的三边， 4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2 0 ,a b c a b a c b c 则 ABC为（ ） A.锐角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 2（ 2010 成外）关于 x 的二次三项式 227x x m能被 3x 整除，则 m的值为 _。 3（ 2010 培优）多项式 14 2x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是 _。（填

9、上你认为正确的一个即可） 4（浙江中考）若 16)4(29 2 xax 是一个完全平方式，则 a 的值为 _。 5（ 2010 重庆模拟）已知 29,7 22 baba ，则 ba =_。 6. baabba 0448: 2222 已知 ，则 2008)2(3 ba的值为 _。 7（ 2009 竞赛培训）已知 5,a b c a b、 、 满 足 92 babc ，则 c =_， b=_ 8（ 2009 七中）四边形 ABCD 的四条边依次为 a ,b ,c , d ,且满足 a2 +b2 +c2 +d2=2ac+2bd.，则这个四边形是 _四边形 9（ 2009 七中）因式分解 x2+ax+

10、b，甲看错 a的值，分解的结果为 (x-6)(x+1)，乙看 错了 b的值，分解的结果是 (x-2)(x+1)，那么分解因式正确的结果是 。 10 （ 2010 培优）（ 2）已知 a， b， c分别为 ABC的三边，证明： 2 2 2 2 2 2( ) 4 0a b c a b 。 11.证明四个连续正整数的积与 1 的和是一个完全平方。 12（ 2009 嘉祥） mnnnmmnm ，均为自然数，且、已知 12)()( 求 m、 n 13（竞赛训练）有人说，无论 x 取何实数，代数式 x2+y2-10x+8y+45 的值总是正数。你的看法如何？请谈 谈你的理由。 14.（ 2010 培优）（

11、 2）已知 a， b， c分别为 ABC的三边，证明： 2 2 2 2 2 2( ) 4 0a b c a b 。 一天之计在于晨，一年之计在于春！ 4 家庭作业 姓名 _ 第一部分： （ 1）（ 2006 成都）把 baaba 223 2 分解因式的结果是 。 （ 2） .（ 2006 大庆）若多项式 22 9)1( babka 能用完全平方公式进行因式分解，则 k= 。 （ 3） .（ 2 010 益阳 ）若 622 nm ，且 3nm ，则 nm （ 2010 眉山）把代数式 2 69mx mx m分解因式，下列结果中正确的是 A 2( 3)mx B ( 3)( 3)m x x C 2(

12、 4)mx D 2( 3)mx （ 4） （ 2011 山东莱芜， 14， 4 分）分解因式 (a+b)3 4(a+b)=_. （ 5） .(2010 北京 ) 分解因式： 3 2 2 32a b a b ab= （ 6） （ 2011 广东广州市， 19， 10 分） 分解因式 8(x2 2y2) x(7x y) xy 第二部分： （ 1）（玉溪）多项式是 22 94 ymx 个完全平方式，则 m等于 _. （ 2） 若 9x2+2(a-4)x+16 是一个完全平方式，则 a的值为 （ 3）如果 16 2x +12xy+m 是完全平方式，则 m=_ （ 4） 若 (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完全平方式，则 k 的值为 _ 第三部分： 将下列各式进行因式分解： （ 1） yxxyxx 3223313231 ；（ 2） 11 2 nnn xxx ；（ 3） yxyxyx 6344 22 （ 4） 1222 22 yxyxyx （ 5） 22222 36)19( nmnm 14.已知 2222 )()(3 cbacba ，求证： a=b=c。