基本求导积分公式.doc

1、第 1 页 共 13 页 f(c) = 0 f(xn) = nx(x-1) f(1/x) = -1/x2 f(x) = 1/2x f( x) = 1/x f( ax) = 1/x a （ a为底 ） f(ax) = ax * a f(ex) = ex f(sinx) = cosx f(cosx) = -sinx f(tanx) = (sec2)x = 1/(cos2)x f(cotx) = -(csc2)x = -1/(sin2)x f(secx) = cesx * tanx f(cscx) = -cscx * cotx f(arcsinx) = 1/(1-x2) f(arccosx) = -

2、1/(1-x2) f(arctanx) = 1/1+x2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=fg(x),y=fg(x)g(x) fg(x)中 g(x）看作整个变量，而 g(x)中把 x看作变量 2.y=u/v,y=uv-uv/v2 3.y=f(x)的反函数是 x=g(y），则有 y=1/x 证： 1.显而易见， y=c 是一条平行于 x轴的直 线，所以处处的切线都是平行于 x的，故斜率为 0。用导数的定义做也是一样的： y=c, y=c-c=0,lim x 0 y/ x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的第 2 页 共

3、 13 页 一般情况。在得到 y=ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=ax, y=a(x+ x)-ax=ax(a x-1) y/ x=ax(a x-1)/ x 如果直接令 x 0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 a x-1 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道： x=loga(1+ )。 所以 (a x-1)/ x /loga(1+ )=1/loga(1+ )1/ 显然，当 x 0时，也是趋向于 0的。而 lim 0(1+ )1/ =e,所以 lim 01/loga(1+ )1/ =1/logae=lna。 把这个结果代入

4、 lim x 0 y/ x=lim x 0ax(a x-1)/ x 后得到 lim x 0 y/x=axlna。 可以知道，当 a=e时有 y=ex y=ex。 4.y=logax y=loga(x+ x)-logax=loga(x+ x)/x=loga(1+ x/x)x/x y/ x=loga(1+ x/x)(x/ x)/x 因为当 x 0 时， x/x 趋向于 0 而 x/ x 趋向于，所以 lim x 0loga(1+ x/x)(x/ x) logae,所以有 lim x 0 y/ x logae/x。 可以知道，当 a=e时有 y=lnx y=1/x。 这时可以进行 y=xn y=nx

5、(n-1)的推导了。因为 y=xn,所以 y=eln(xn)=enlnx, 所以 y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。 5.y=sinx y=sin(x+ x)-sinx=2cos(x+ x/2)sin( x/2) y/ x=2cos(x+ x/2)sin( x/2)/ x=cos(x+ x/2)sin( x/2)/( x/2) 所以 lim x 0 y/ x=lim x 0cos(x+ x/2)lim x 0sin( x/2)/( x/2)=cosx 6.类似地，可以导出 y=cosx y=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-si

6、nx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x 8.y=cotx=cosx/sinx 第 3 页 共 13 页 y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x 9.y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/ 1-sin2y=1/ 1-x2 10.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/ 1-cos2y=-1/ 1-x2 11.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2

7、 12.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 另外在对双曲函数 shx,chx,thx等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数 求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u 土 v,y=u土 v 5.y=uv,y=uv+uv 1基本求导公式 0)( C （ C 为常数） 1)( nn nxx ；一般地， 1)( xx 。 特别地： 1)( x ， xx 2)( 2 ，21)1( xx ，xx 21)( 。 xx ee )( ；一般地， )1,0( ln)

8、( aaaaa xx 。 xx 1)(ln ；一般地， )1,0( ln1)(l o g aaaxxa。 2求导法则 四则运算法则 第 4 页 共 13 页 设 f(x)， g(x)均在点 x可导，则有：（） )()()()( xgxfxgxf ； （） )()()()()()( xgxfxgxfxgxf ，特别 )()( xfCxCf （ C 为常数）； （） )0)( ,)( )()()()()( )( 2 xgxg xgxfxgxfxg xf，特 别21 ( )()() ()gxgx gx 。 3微分 函数 ()y f x 在点 x处的微分： ()dy y dx f x dx 4、 常用

9、的不定积分公式 （ 1） cxdxxxdxxcxx d xcxdxCxdxx43,2,),1( 11433221 ； （ 2） Cxdxx |ln1； Cedxe xx ； )1,0( ln aaCaadxa xx ； （ 3） dxxfkdxxkf )()( （ k 为常数） 5、定积 分 ( ) ( ) | ( ) ( )b baa f x d x F x F b F a bababa dxxgkdxxfkdxxgkxfk )()()()( 2121 分部积分法 设 u(x)， v(x)在 a， b上具有连续导数 )(),( xvxu ，则 bababa xduxvxvxuxdvxu )(

10、)()()()()( 6、线性代数 特殊矩阵的概念 （ 1）、零矩阵 ,00 0022 O（ 2） 、单位矩阵100010001nI 二阶 ,10 0122 I (3)、对角矩阵naaaA000000021(4)、对称矩阵752531212, Aaa jiij 第 5 页 共 13 页 (5)、上三角形矩阵nnnnaaaaaaA0000 22211211下三角形矩阵naaaA000000021(6)、矩阵转置nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211转置后nnnnnnTaaaaaaaaaA2122212121116、矩阵运算 hdgc fbeahg fedc baBA dhcfd

11、gce bhafbgaehg fedc baAB 7、 MATLAB 软件计算题 例 6 试写出用 MATLAB 软件求函数 )eln ( 2 xxxy 的二阶导数 y 的命令语句。 解： clear; syms x y; y=log(sqrt(x+x2)+exp(x); dy=diff(y,2) 例： 试写出用 MATLAB 软件求函数 )eln( xxy 的一阶导数 y 的命令语句。 clear; syms x y; y=log(sqrt(x)+exp(x); dy=diff(y) 例 11 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 21 de1 3 xx x的命令语句。 解： clear;

12、 syms x y; y=(1/x)*exp(x3); int(y,1,2) 例 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 xx x de1 3 的命令语句。 解： clear; syms x y; y=(1/x)*exp(x3); int(y) MATLAB 软件的函数命令 表 1 MATLAB 软件 中的函数命令 函数 ax x xe xln xlg x2log x 第 6 页 共 13 页 MATLAB ax )(xsqrt )exp(x )log(x )(10log x )(2log x )(xabs 运算符号 运算符 + - * / 功能 加 减 乘 除 乘方 典型例题 例 1 设某物

13、资要从 产地 A1， A2， A3调往 销地 B1， B2， B3， B4，运输平衡表 （单位：吨）和运价表 （单位：百元 /吨） 如下表所示 ： 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 供应 量 B1 B2 B3 B4 A1 7 3 11 3 11 A2 4 1 9 2 8 A3 9 7 4 10 5 需求量 3 6 5 6 20 （ 1）用最小元素法编制的初始调运方案， （ 2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。 解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示： 运输平衡表与运价表 找空格对应的闭回路，计算检验数： 11 1， 12

14、 1， 22 0， 24 2 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为 1 调整后的第二个调运方案如下表： 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 供应量 B1 B2 B3 B4 A1 5 2 7 3 11 3 11 A2 3 1 4 1 9 2 8 A3 6 3 9 7 4 10 5 销地 产地 B1 B2 B3 B4 供应量 B1 B2 B3 B4 A1 4 3 7 3 11 3 11 A2 3 1 4 1 9 2 8 A3 6 3 9 7 4 10 5 需求量 3 6 5 6 20 第 7 页 共 13 页 需求量 3 6 5 6 20 求第二个调运方案的检验数： 11 1

15、 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为 2 调整后的第三个调运方案如下表： 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 供应量 B1 B2 B3 B4 A1 2 5 7 3 11 3 11 A2 1 3 4 1 9 2 8 A3 6 3 9 7 4 10 5 需求量 3 6 5 6 20 求第三个调运方案的检验数： 12 2， 14 1， 22 2， 23 1， 31 9， 33 12 所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为： 2 3 5 3 1 1 3 8 6 4 3 5 85（百元） 例 2 某 物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生

16、产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、 4公斤和 5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为 6 台时、 3台时和 6 台时。另外，三种产品的利润分别为 400 元 /件、 250 元 /件和 300元 /件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应 180公 斤，工时每天只有 150 台时。 1试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。 2. 写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句 。 解： 1、 设生产甲、乙、丙

17、三种产品分别为 x1件、 x2件和 x3件，显然 x1， x2， x3 0 线性规划模型为 01 5 06361 8 05443 0 02 5 04 0 0m a x321321321321xxxxxxxxxxxxS，2解上述线性规划问题的语句为： clear; C=-400 250 300; A=4 4 5;6 3 6; B=180;150; LB=0;0;0; X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB) 第 8 页 共 13 页 例 3 已知矩阵 21 01111412210101 CBA ，求： TCAB 解： 36 1220 1116 0121 01111412

18、210101CAB 例 4 设 y (1 x2)ln x，求： y 解： x xxxxxxxy 222 1ln2)(l n1(ln)1( 例 5 设 xy x1e ，求： y 解：22 )1( e)1( )1(e)1()e( xxx xxyxxx 例 7 某厂生产某种产品的固定成本为 2万元，每多生产 1 百台产品，总成本增加 1万元，销售该产品 q 百台的收入为 R (q) 4q 0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？ 解： 产量为 q 百台的总成本函数为： C(q) q 2 利润函数 L (q) R (q) C(q) 0.5q2 3q 2 令 ML(q) q 3 0

19、 得 唯一驻点 q 3（百台） 故 当产量 q 3百台时，利润最大，最大利润为 L (3) 0.53 2 33 2 2.5（万元） 例 8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为 1000000 件，每批生产需准备费 1000元，而每件商品每年库存费为 0.05 元，如果该商品年销售率是均匀的，试求 经济 批量。 解： 库存总 成本函数qqqC 1 0 0 0 0 0 0 0 0 040)( 令 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0401)( 2 qqC得定义域内的唯一驻点 q 200000 件。 即经济批量为 200000 件。 例 9 计算定积分： 10 d)e3( xx x解： 25e

20、3)e321(d)e3( | 10210 xx xxx例 10 计算定积分： 31 2 d)2( xxx解： 3ln2326|)|ln231(d)2( | 31331 2 xxxxx教学补充说明 第 9 页 共 13 页 1. 对编程问题，要 记住函数 ex， ln x， x 在 MATLAB 软件中相应的命令函数 exp(x)，log(x)， sqrt(x)； 2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式： cxaxx aa 111d （ a 1） cx xx ede cxxx |lnd1 7. 记住两个函数值： e0 1， ln 1 0。 模拟试题 一、单项选择题： （每小题 4分，

21、共 20 分） 1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为 0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。 (A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过 2 某物流公司有三种化学 原料 A1， A2， A3。每公斤原料 A1含 B1， B2， B3三种化学成分 的含量 分别为 0.7 公斤、 0.2 公斤和 0.1 公斤；每公斤原料 A2含 B1， B2， B3的 含量 分别为 0.1公斤、 0.3 公斤和 0.6 公斤；每公斤原料 A3含 B1， B2， B3的 含量 分别为 0.3 公斤、 0.

22、4 公斤和 0.3公斤。每公斤原料 A1， A2， A3的成本分别为 500 元、 300 元和 400元。 今需要 B1成分至少 100 公斤 ， B2成分至少 50 公斤 ， B3成分至少 80公斤。为 列出使总成本最小的线性规划模型 ，设原料 A1， A2， A3的用量分别为 x1公斤、 x2公斤和 x3公斤，则目标函数为 （ D ） 。 (A) max S 500x1 300x2 400x3 (B) min S 100x1 50x2 80x3 (C) max S 100x1 50x2 80x3 (D) min S 500x1 300x2 400x3 3. 设 721,74 21 xBx

23、A，并且 A B，则 x（ C ）。 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 4 设 运输某物品 q吨的成本（单位：元） 函数 为 C(q) q2 50q 2000，则 运输该物品100 吨时的平均成本为（ A ）元 /吨。 (A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000 5. 已知运输某物品 q 吨的边际收入函数为 MR (q)， 则运输该物品从 100 吨到 300 吨时的收入增加量为（ D ）。 (A) )0(d)(300100 CqqMR (B) 100300 d)( qqMR(C) qqMR d)( (D) 300100 d)( qqMR二、计算题： （

24、每小题 7分，共 21 分） 6已知矩阵 21 01111412210101 CBA ，求： AB C 第 10 页 共 13 页 解： 37 0221 0116 0121 0111 1412210101CAB 7. 设31lnxxy ，求： y 解：23232333)1(ln31)1()1()( l n)1()( l nxxxx xxxxxxy 8. 计算定积分： 10 3 d)e2( xx x解： 47e2)e241(d)e2( | 10410 3 xx xxx三、编程题： （每小题 6分，共 12 分） 9. 试写出用 MATLAB 软件求函数 )eln( 2 xxxy 的二阶导数 y

25、的命令语句。解： clear; syms x y; y=log(sqrt(x+x2)+exp(x); dy=diff(y,2) 10. 试写出用 MATLAB 软件计算定积分 10 de xx x的命令语句。 解： clear; syms x y; y=x*exp(sqrt(x); int(y,0,1) 四、应用题 （第 11、 12题各 14分，第 13 题 19 分，共 47分） 11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为 1000000 件，每批生产需准备费 1000元，而每件商品每年库存费为 0.05 元，如果该商品年销售率是均匀的，试求 经济 批量。 解： 库存总 成本函数qqqC

26、 1 0 0 0 0 0 0 0 0 040)( 令 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0401)( 2 qqC得定义域内的惟一驻点 q 200000 件。 即经济批量为 200000 件。 12. 某 物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤、 4公斤和 5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为 6 台时、 3台时和 6 台时。另外，三种产品的利润分别为 400 元 /件、 250 元 /件和 300元 /件。由于生产该 三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应 180公斤，工时每天只有 150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并 写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句 。 解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x1件、 x2件和 x3件，显然 x1， x2， x3 0 线性规划模型为