1、椭圆离心率一、典例分析，融合贯通 典例 1 【2016 年高考数学新课标卷文科 12 题】已知 O为坐标原点， F是椭圆 C：)0(2bayx的左焦点， BA,分别为 C的左，右顶点 P为上 一点，且 xP轴，过点A的直线 l与线段 PF交于点 M与 y轴交于点 E若直线 BM经过 E的中点，则 的离心率为（ ） 31B 2C 3D 4【点睛之笔】相似用完即相识！【解法 2】代数法由题意可设 )0,(cF， ),(aA， )0,(B令 x，代入椭圆方程可得 abcby21可得),2abcP（，设直线 AE的方程为 )(axky，令 cx，可得 ,-）（ cM令 0，可得 ）（ k【点睛之笔】不
2、用多虑，一步一步代！【解法 3】几何代数结合法设直线 AE的方程为 )(axky，令 cx，可得 ,-）（ cM令 0，可得 ）（设 OE的中点为 H，可得,20）（ kaBMF acack2)(ca31e【点睛之笔】几何代数，数与形的完美融合！【解后反思】解法 1:利用相似比构造方程，恒等变形求得离心率！解法 2：利用条件一步一步用数据转化，无须烧脑！解法 3：几何代数，相辅相生，相得益彰！典例 2 设 是 上的一点， 、 .已知 ，求椭P210xyaba1F2是 其 左 、 右 焦 点 12FP=60圆离心率的取值范围.【解法 1】基本不等式在 ， ，12FPA中 2 21121+PF-c
3、os60F2()-3221121213(PF+)3PF(+PF)-422443aacA2ace01e又1e【点睛之笔】基本不等式，让数学学习更有激情！【解法 2】有界性设 ，又0Px,y1020F,Paexaex12Fc在 ， ，12A中 212+-cos6，200004aexexc【点睛之笔】坐标有界，思想无界！【解法 3】极端情况当点 位于短轴端点 或 处时，点 对两焦点的张角最大P1B2P故 ( 为坐标原点 )122F=60， 2OF30在 ， ，2OBFA中 21sinOBFsin302cea01又 2e【点睛之笔】极端解法，剑走偏锋！【解后反思】解法 1:套用公式省时又省力！解法 2
4、：利用坐标的有界性巧妙构造不等式！解法 3：极端解法，投“极”取巧，尽显思维的灵气！典例 3【2016 浙江理科第 19 题】如图，设椭圆21()xya（）求直线 1kxy被椭圆截得的线段长（用 k,表示）;（）若任意以 ),0(A为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围。第（1）小题：第（2）小题：【解法 1】：零点存在定理设圆方程为 221ryx，与椭圆联立方程 22)1(ayxr消去 得 01)( aa由题设知方程在 ,上最多一解，记22()1)fyyr 当 4r时， 0(f，2(1)40fr()f0，所以方程在 ,上只有一解， 1a均可 那么当 2r时，第一种情况：只需
5、 0)(1422ra，得 024r解得442rra，即2a，得 a第二种情况：假设方程在 1,上有两解2(1)01fa，得 10422ar，则 2a，由于方程在 ,上最多一解，所以 上述两种情况均可得到 12a，离心率221ceaa，因此椭圆离心率的取值范围0【点睛之笔】零点存在定理，走遍天下都有理！【点睛之笔】方程法，缩短思维旅程的好方法！【解法 3】点差法因此，任意以 (0,1)A为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是 21a，离心率2cae，因此椭圆离心率的取值范围02eyxMQAOP【点睛之笔】点差法，一点都不差的好方法！【解法 4】单调性法易知，弦长 从 到 逆时针旋转半圈处处
6、不相等，即弦长在 轴单侧单调。PABy|424422(1)11()akka，设 2kt，24()tgka，则 ()gt在 0,)上单调递增。只需 421t，即 421at成立得 21a，得 2，因此椭圆离心率的取值范围 20e【点睛之笔】单调性法，解起题来不单调！【解法 5】：弦长的最值性【点睛之笔】利用弦长的最值性，最有价值！【解后反思】解法 1：零点存在定理，剪不断那就理来乱！解法 2：利用方程思想构造不等式，妙哉！解法 3：点差法，代点作差，肯定不会差！解法 4：单调性法，其实很有情调，一点都不不单调！解法 5：利用最值性，直奔目标，不走寻常路！二、精选试题，能力升级1.【2012 全国
7、，理 4】设 F1， F2是椭圆 E： (a b0)的左、右焦点， P 为直线 上一21xy32ax点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )A B C D345【答案】C 【解析】设直线 与 轴交于点 ，则 ，在 中， 2axM260PF 2RtPFMA21Fc ， ，故 ，解得 ，故离心率 23FMc231os60acFP34ca34e2.【2011 全国新课标，理 14】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为_2【答案】 68xy【解析】
